湖南省長沙市瀏陽市瀏陽一中、株洲二中等湘東六校2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文.docx

湖南省湘東六校2019年上學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)U1，2，5，7，9，A1，2，5，B2，5，7，則下列結(jié)論中正確的是（）A. ABB. AB2C. AB1，2，5，7，9D. AUB1【答案】D【解析】【分析】計算出各集合，再利用集合之間的包含關(guān)系與基本運(yùn)算律進(jìn)行判斷?！驹斀狻?，則，則，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。2.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則的實(shí)部與虛部之差為()A. 1B. 0C. -2D. 2【答案】D【解析】【分析】先利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出，確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再將實(shí)部與虛部作差可得出答案?！驹斀狻?，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，因此，的實(shí)部與虛部之差為，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與共軛復(fù)數(shù)的定義，意在考查學(xué)生對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。3.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化為，在將表示為，利用誘導(dǎo)公式并結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)果?！驹斀狻?，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，利用誘導(dǎo)公式求值是，首先利用誘導(dǎo)公式將角化為內(nèi)的角，然后考查變化后所在的象限，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。4.某所學(xué)校在一個學(xué)期的開支分布的餅圖如圖1所示，在該學(xué)期的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該學(xué)期的水電費(fèi)開支占總開支的百分比為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圖計算出水、電支出占水、電、交通支出的比例，再將這個比例與餅圖中水、電、交通支出占學(xué)校一學(xué)期總開支比例相乘可得出答案?！驹斀狻坑蓤D知，水、電支出占水、電、交通支出比例為，由圖知，水、電、交通支出占學(xué)校一個學(xué)期總開支的比例為，因此，該學(xué)期的水電費(fèi)開支占總開支的百分比為，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查餅圖與條形統(tǒng)計圖，考查頻率的計算，意在考查對這些圖形性質(zhì)的理解，屬于基礎(chǔ)題。5.已知，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、與零的大小，得出這三個數(shù)的正負(fù)，在利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將三個數(shù)中的正數(shù)與進(jìn)行大小比較，可得出、的大小關(guān)系。【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，即，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，因此，故選：C?！军c(diǎn)睛】對數(shù)函數(shù)值大小關(guān)系的比較一般有三種方法：單調(diào)性法：在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先利用換底公式化為同底；中間值法：即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“”、 “”或其他特殊值進(jìn)行“大小關(guān)系的傳遞”；圖象法：根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系。6.在空間中,下列命題為真命題的是().A. 對于直線,若則B. 對任意直線,在平面中必存在一條直線b與之垂直C. 若直線,b與平面所成的角相等,則bD. 若直線,b與平面所成的角互余,則b【答案】B【解析】【分析】通過空間直線與直線的位置關(guān)系判斷選項的正誤即可?！驹斀狻咳魟t與可能平行，相交，異面，所以，A假；若直線在平面內(nèi),則在平面內(nèi)必可作出其垂線，若直線在平面外，作出直線在平面內(nèi)的射影，在平面內(nèi)只要作射影的垂線即可垂直于此直線，B真；設(shè)當(dāng)、與平面所成角都為45，則，都有可能，C、D均為假，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，屬于中等題。7.曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為()A. 135B. 135C. 45D. 【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再根據(jù)斜率的值求出切線的傾斜角。【詳解】，所以，所求切線的斜率為，因此，曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求切線的傾斜角，把握兩個基本點(diǎn)；（1）切線的斜率等于導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；（2）當(dāng)傾斜角不為直角時，直線傾斜角的正切值等于直線的斜率。8.已知向量，若，則等于（）A. 10B. 16C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出實(shí)數(shù)的值，得出向量的坐標(biāo)，并計算出向量，最后利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)果。詳解】，則，得，則，因此，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示以及向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些公式的理解掌握情況，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。9.要得到函數(shù)ysin（2x+）的圖象，只需將函數(shù)ycos（2x）的圖象上所有點(diǎn)（）A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合兩函數(shù)解析式進(jìn)行對比，得出結(jié)論?！驹斀狻亢瘮?shù)要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個單位長度，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象變化規(guī)律，關(guān)鍵在于能利用誘導(dǎo)公式將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，再根據(jù)左右平移規(guī)律得出結(jié)論。10.函數(shù)的大致圖象為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，以及函數(shù)的極限思想，可以排除錯誤選項得到正確答案?！驹斀狻浚懦?，B，C，當(dāng)時，則時，排除A，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用排除法結(jié)合函數(shù)的極限思想是解決本題的關(guān)鍵。11.設(shè)雙曲線C: (a,b0)的一條漸近線與拋物線y2=x的一個交點(diǎn)為A,若點(diǎn)A到直線的距離大于，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是().A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)是雙曲線的漸近線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，先將漸近線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的定義求出點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，再由公式并結(jié)合，可求出雙曲線離心率的取值范圍。【詳解】設(shè)點(diǎn)是雙曲線的漸近線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，則，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，由于點(diǎn)到直線大于，即，即，則，而，所以，因此，雙曲線的離心率的取值范圍是，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率范圍的求解，在考查離心率與漸近線之間的關(guān)系時，充分利用公式能起到簡化計算的作用，但求雙曲線的離心率時，還需注意到隱含條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題。12.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，（例如）則（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】B【解析】【分析】先由已知條件得出，可知數(shù)列為等差數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，再利用累加法求出數(shù)列的通項公式，并得出數(shù)列的通項公式，結(jié)合的意義求出的值?！驹斀狻?，且，因此，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)時，則，則，即，因此，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合問題，考查等差數(shù)列的定義、累加法求數(shù)列的通項、以及新定義問題，考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的問題，本題的關(guān)鍵在于數(shù)列通項的求解，以及新定義的理解，考查運(yùn)算分析能力的問題，屬于難題。二填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.）13.已知函數(shù)，則的值為_【答案】1【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先求出的值，再將的值代入結(jié)合分段函數(shù)解析式可得出所求的函數(shù)值?！驹斀狻浚蚀鸢笧椋??！军c(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值問題，解決這類問題就是充分利用分段函數(shù)解析式，求多層函數(shù)值的問題一般就是從內(nèi)到外逐層計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。14.在等差數(shù)列中,公差則數(shù)列an的前9項之和等于_【答案】90【解析】【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)列方程組求出和的值，并求出和公差的值，再利用等差數(shù)列前項和公式可求出數(shù)列的前項之和?！驹斀狻康炔顢?shù)列的公差，則，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由，可得，解得，因此，等差數(shù)列的前項和為，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，求解等差數(shù)列問題時，一般常用以下兩種方法：（1）性質(zhì)法：序數(shù)之和相等，項的和相等；（2）基本量法：將已知條件轉(zhuǎn)化為與首項、公差的方程組，求出這兩個基本量，利用這兩個基本量計算。靈活使用這兩種方法求解等差數(shù)列的問題，能起到簡化計算的作用。15.若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】【解析】【分析】先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)形式，確定圓心的坐標(biāo)和半徑長，然后利用圓心到直線的距離等于半徑長列出有關(guān)的方程，求解出來即可?！驹斀狻繄A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為，半徑長為，由于直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑長，即，即，解得，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與圓相切求參數(shù)問題，本題的關(guān)鍵在于將直線與圓相切這一條件等價轉(zhuǎn)化，一般轉(zhuǎn)化為以下兩種方式：（1）幾何法：轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長；（2）代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判別式為零來計算。一般而言，如果僅是考查直線與圓相切，用第一種方法較為方便。16.在四面體中，當(dāng)四面體的體積最大時，其外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】利用當(dāng)平面時，四面體的體積最大，先利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式計算出外接球的半徑，最后利用球體表面積公式可計算出答案?！驹斀狻?該三角形的外接圓半徑徑為，當(dāng)平面時，四面體的體積取最大值，此時，其外接球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計算，考查三棱錐的外接球，注意條件四面體體積最大轉(zhuǎn)化為直棱錐，另外就是直棱錐外接球半徑的計算公式為（其中為底面外接圓的半徑，可由正弦定理求出，為垂直于底面的側(cè)棱長），靈活利用公式計算，可避免找球心，起到簡化計算的目的。三解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡的制定區(qū)域內(nèi).17.新高考最大的特點(diǎn)就是取消文理分科，除語文、數(shù)學(xué)、外語之外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對全文（選擇政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關(guān)，從某學(xué)校高一年級的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生，女生各人進(jìn)行模擬選科經(jīng)統(tǒng)計，選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人（1）估計在男生中，選擇全文的概率.（2）請完成下面的列聯(lián)表；并估計有多大把握認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān)，并說明理由；附：，其中【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求出男生的總數(shù)，然后再利用古典概型的概率公式計算出事件“選擇全文的男生”的概率；（2）列出列聯(lián)表，計算的值，利用臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可下結(jié)論?！驹斀狻浚?）由題中數(shù)據(jù)可知，男生總共25人，選擇全文的5人，故選擇全文的概率為 （2）選擇全文不選擇全文全計男生52025女生151025合計203050因為，所以至少有99.5%的把握認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān)?！军c(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗的思想，考查列聯(lián)表的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對獨(dú)立性檢驗思想的理解與應(yīng)用，屬于中等題。18.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列， （1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和為【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，并檢驗是否滿足，于此得出數(shù)列的通項公式，根據(jù)條件求出、，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可可求出等比數(shù)列的通項公式；（2）先得出數(shù)列的通項公式，裂項，然后利用裂項法求數(shù)列的前項和?！驹斀狻浚?）當(dāng)時，；當(dāng)時，。時也適合上式，所以，。由題意可得，所以，設(shè)正項等比數(shù)列的公比為（），則，所以故；（2）由（1）可求得，?！军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、裂項法求和，再利用與的關(guān)系求通項時，一般有以下三步：（1）先利用時，求出數(shù)列的初始項的值；（2）令，將兩式作差得出的通項或的遞推公式，再選擇合適的方法求出；（3）就時數(shù)列的初始項的值是否滿足（2）中的通項公式進(jìn)行檢驗。結(jié)合以上三步得出數(shù)列的通項公式。19.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知,（1）求的值，(2)若a=3,，求的面積.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）在等式利用邊化角的思想，并結(jié)合兩角和的正弦公式、三角形內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式得出，再利用角化邊的思想得出的值；（2）由再對角使用余弦定理求出、的值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，最后利用三角形的面積公式可得出答案?！驹斀狻浚?）由，由正弦定理得，化簡得，由；（2）由，且，解得，又由，可解得，所以?！军c(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用，在利用邊角互化思想來解三角形類型的問題時，一般是優(yōu)先邊化角的思想，即在等式、分式或不等式，當(dāng)邊的次數(shù)一致時，可將邊化為角的正弦值，充分結(jié)合兩角和的正余弦公式、內(nèi)角和定理以及誘導(dǎo)公式來計算，可起到簡化計算的作用。20.如圖，在直三棱柱中，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：（2）若,求所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用平行四邊形對角線互相平分得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出結(jié)論；（2）連接，過點(diǎn)作交與點(diǎn)，證明出平面，于是找出為與平面所成的角，再設(shè)，計算出，然后利用銳角三角函數(shù)求出答案?！驹斀狻浚?）連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，又面，面，故面；（2）連接，過點(diǎn)作交與點(diǎn)，由于三棱柱為直三棱柱，故面，面，故，又，為的中點(diǎn)，又，、面，面，面，故，又，平面，為在平面內(nèi)的攝影，故為與平面所成的角，設(shè)，則，。【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行以及直線與平面所成角的計算，利用定義求平面所成的角，需找到相應(yīng)的線面垂直，按照“一作”、“二證”、“三計算”三個步驟進(jìn)行，最后在計算所求角時，需計算出三角形的各條邊長，利用正弦、余弦定理或在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計算。21.已知動點(diǎn)G(x,y)滿足（1）求動點(diǎn)G的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)Q(1,1)作直線L與曲線交于不同的兩點(diǎn),且線段中點(diǎn)恰好為Q.求的面積；【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由橢圓的定義得知軌跡為橢圓，并利用橢圓定義求出，從已知條件中得出，并求出值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)位置得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由已知條件得知直線的斜率存在，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由為的中點(diǎn)求出的值，從而得出直線的方程，再利用弦長公式求出，由點(diǎn)到直線的距離公式計算出原點(diǎn)到直線的距離，再利用三角形的面積公式可求出的面積?！驹斀狻浚?）由動點(diǎn)滿足可知，動點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其方程為；（2）由于直線與曲線相交所得線段中點(diǎn)恰好為可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程