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平面向量應(yīng)用舉例 2 5 1平面幾何中的向量方法 平面幾何中的向量方法 向量概念和運(yùn)算 都有明確的物理背景和幾何背景 當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后 向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為 代數(shù) 的計(jì)算 這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來(lái)極大的方便 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景 平面幾何的許多性質(zhì) 如平移 全等 相似 長(zhǎng)度 夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái) 因此 利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題 問題 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型 如圖 你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎 猜想 1 長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系 2 類比猜想 平行四邊形有相似關(guān)系嗎 例1 證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和 已知 平行四邊形abcd 求證 解 設(shè) 則 1 建立平面幾何與向量的聯(lián)系 用向量表示問題中涉及的幾何元素 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo) 2 通過向量運(yùn)算 研究幾何元素之間的關(guān)系 如距離 夾角等問題 3 把運(yùn)算結(jié)果 翻譯 成幾何元素 用向量方法解決平面幾何問題的 三步曲 簡(jiǎn)述 形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形 例2如圖 平行四邊形abcd中 點(diǎn)e f分別是ad dc邊的中點(diǎn) be bf分別與ac交于r t兩點(diǎn) 你能發(fā)現(xiàn)ar rt tc之間的關(guān)系嗎 猜想 ar rt tc 又因?yàn)楣簿€ 所以設(shè) 因?yàn)樗?解 設(shè)則 由于與共線 故設(shè) 線 故at rt tc 練習(xí)1 證明直徑所對(duì)的圓周角是直角 分析 要證 acb 90 只須證向量 即 解 設(shè)則 由此可得 即 得 acb 90 思考 能否用向量坐標(biāo)形式證明 簡(jiǎn)解

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