人教版初中數(shù)學(xué)九上24.1.4圓周角.docx

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)（第四課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容圓周角概念，圓周角定理及其推論.2.內(nèi)容解析與圓心角一樣，圓周角也是研究圓時重點(diǎn)研究的一類角.頂點(diǎn)在圓上并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.圓周角定理（即一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）揭示了一條弧所對的圓周角與圓心角之間的數(shù)量關(guān)系.從而把圓周角與相對應(yīng)的弧、弦聯(lián)系起來.圓周角定理及其推論為與圓有關(guān)的角的計算，證明角相等，弧、弦相等等數(shù)學(xué)問題提供了十分便捷的方法和思路，即是圓心角、弦、弧之間關(guān)系的繼續(xù)，又是后續(xù)研究圓與其他平面圖形的橋梁和紐帶.圓周角定理得證明，采用完全歸納法，通過分類討論，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊情況來證明，滲透了分類討論和化一般為特殊的化歸思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：圓周角定理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）了解圓周角的概念，會證明圓周角定理及其推論.（2）結(jié)合圓周角定理的探索與證明的過程，進(jìn)一步體會分類討論、化歸的思想方法.2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能在具體的圖形中正確識別一條弧所對的圓周角；知道一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，知道同弧或等弧所對的圓周角相等，能夠正確識別直徑所對的圓周角，并會結(jié)合具體問題構(gòu)造直徑所對的圓周角；能夠應(yīng)用定理和推論解決簡單問題.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：能通過畫圖、觀察、度量、歸納等方式發(fā)現(xiàn)一條弧所對圓周角與圓心角之間的關(guān)系；能根據(jù)圓心與圓周角的位置關(guān)系對同弧所對的圓周角進(jìn)行分類，理解證明圓周角定理需要分三種情況的必要性；理解證明圓周角定理時，可以把圓心在圓周角的內(nèi)部和外部兩種情況轉(zhuǎn)化成特殊情況，從而證明定理.三、教學(xué)問題診斷分析圓心與圓周角具有三種不同的位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上， 圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部.所以，圓周角定理的證明要采用完全歸納法,分情況證明.學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理能力，但對于一個幾何命題要分情況證明的經(jīng)驗(yàn)還很缺乏.因此，教學(xué)的關(guān)鍵是:在學(xué)生明確圓周角的概念后，讓學(xué)生動手畫圓周角，一方面讓學(xué)生深入了解圓周角，另一方面，讓學(xué)生在動手操作中體會圓心與圓周角具有三種不同的位置關(guān)系,為后面證明中的分類討論做好鋪墊.學(xué)生合作交流，通過度量事先畫的一條弧所對的圓周角與圓心角的度數(shù)，探究并猜想他們之間的數(shù)量關(guān)系，然后教師在利用計算機(jī)軟件來驗(yàn)證，讓學(xué)生進(jìn)一步明確他們之間的關(guān)系，從而得到命題：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.從特殊的位置關(guān)系圓心在圓周角一邊上的情形入手，先證明猜想，再將其他兩種情形轉(zhuǎn)化為圓心在圓周角一邊上的情形.基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：分情況證明圓周角定理.四、教學(xué)過程設(shè)計1.了解圓周角的概念問題1 如圖1，ACB的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)？師生活動：學(xué)生觀察圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形認(rèn)識到：ACB的頂點(diǎn)在上，角的兩邊分別交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn).教師進(jìn)而指出：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角與圓心角都是圓有關(guān)的角.設(shè)計意圖：結(jié)合圖形，獲得圓周角定義，理解圓周角的概念.練習(xí) 教科書第88頁練習(xí)第一題.師生活動：學(xué)生思考并回答問題.設(shè)計意圖：同時呈現(xiàn)有關(guān)圓周角的正例和反例，有利于學(xué)生對圓周角概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較，鞏固對概念的理解.2.探索圓周角定理問題2 在圖2中，ACB是圓周角，作出弧AB所對的圓心角AOB.分別測量ACB和AOB的度數(shù).他們之間有什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生畫圖，連接OA,OB得到圓心角AOB.跳時指出ACB和AOB都對著弧AB提出以下問題.教師追問1：圖2中，ACB和AOB有怎樣的關(guān)系？師生活動：學(xué)生通過觀察，度量，猜想.即一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.教師追問2：在上任取一條弧，做出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數(shù)，你能得出同樣的結(jié)論嗎？師生活動：除學(xué)生動手畫圖度量，并驗(yàn)證猜想外，教師也可以利用幾何畫板軟件的動態(tài)功能和度量功能進(jìn)行演示，從更廣泛的角度驗(yàn)證猜想：拖動圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧AB上運(yùn)動；改變弧的大??；改變圓的大小后分別進(jìn)行和的掩演示.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在演示過程中，ACB和AOB度數(shù)的比值保持不變.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想、操作、分析、驗(yàn)證、交流等基本數(shù)學(xué)活動，探索圓周角的性質(zhì)：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.教師使用幾何畫板做進(jìn)一步演示與驗(yàn)證，在動態(tài)環(huán)境中研究圓周角與圓心角的關(guān)系，即在某些量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解一條弧所對的圓周角與圓心角的數(shù)量關(guān)系.3.證明圓周角定理問題3 如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？教師追問1：在圓上任取弧BC，畫出圓心角BAC和圓周角BOC,圓心與圓周角有幾種位置關(guān)系？師生活動：學(xué)生動手畫圖、交流、思考，得到圓心與圓周角的三種位置關(guān)系（圖3）：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部.設(shè)計意圖：把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使得推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).同時進(jìn)一步明確證明的必要性和證明的方法.教師追問2：第種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？師生活動：學(xué)生結(jié)合三種位置的圖形，認(rèn)識到第種情況屬于特殊情況，另外兩種情況比第種情況復(fù)雜.研究數(shù)學(xué)問題一般從特殊情況開始，再考慮其他情況能否轉(zhuǎn)化成特殊情況.師生結(jié)合圖3（1），分析第種情況，得到教師指出：符號表示由條件A推出B，可以用方式給出推理過程.設(shè)計意圖：從特殊情況入手，證明猜想G便于學(xué)生的學(xué)習(xí)又為其他兩種情況的證明提供了轉(zhuǎn)化的方向.教師追問3: 在第種情況下，如何證明一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半？師生活動：學(xué)生思考，嘗試解決.如果學(xué)生有困難，教師可提示學(xué)生：將第種情況轉(zhuǎn)化成第種情況.根據(jù)學(xué)生的情況，師生共同研究完成第種情況的證明.證明：如圖4，連接AO并延長交O于點(diǎn)D.同理,.學(xué)生獨(dú)立完成第種情況的證明.從而得到定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.設(shè)計意圖：將一般情況化為特殊情況，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生通過證明三種情況，感受分類證明的必要性，有利于邏輯推理能力的提升.4.探究特殊情況，獲得推論問題4 我們知道，一條弧，可以對著不同的圓周角，這些圓周角之間有什么關(guān)系？也就是說，同弧或等弧所對的圓周角之間有什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生畫出弧BC所對的幾個圓周角和圓心角（圖5），先觀察、猜想，根據(jù)定理得到結(jié)論：一條弧所對的圓周角相等.再思考同弧或等弧的情況.如果學(xué)生遇到困難，教師可根據(jù)情況提示學(xué)生：考慮圓周角與圓心角之間的關(guān)系、弧與圓心角之間的關(guān)系，通過弧相等得到結(jié)論.設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明得出推論的探索過程，得到圓周角定理的推論，進(jìn)一步認(rèn)識與圓有關(guān)的角和弧之間的關(guān)系.問題5 半圓或直徑所對的圓周角有什么特殊性？師生活動：學(xué)生畫出弧AB所對的幾個圓周角和圓心角（圖6），通過觀察、猜想，根據(jù)定理得到結(jié)論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出：90的圓周角所對的弦是直徑.設(shè)計意圖：由一般到特殊進(jìn)一步認(rèn)識定理，加深對定理的理解，獲得推論.5.應(yīng)用圓周角定理與推論例 如圖7，的直徑AB的長為10cm.弦AC長為6cm，ACB的平分線交于點(diǎn)D, 求BC,AD,BD的長.師生活動：師生共同分析已知條件、所求和解題思路.如圖8，欲求BC的長，由BC所在的ABC中AB為的直徑，可知ACB=90.又AB和AC已知，在RtABC中，由勾股定理可求BC的長.由CD平分ACB得ACD=BCD，連接OD，可得AOD=BOD=90,進(jìn)而由勾股定理可求AD,BD的長.學(xué)生解答，一名學(xué)生板書，教師組織學(xué)生交流.設(shè)計意圖： 應(yīng)用圓周角定理及其推論解決問題，鞏固所學(xué)的內(nèi)容.6.小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課的主