力學(xué)(漆安慎)習(xí)題解答.pdf

第1章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 1 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 力學(xué)力學(xué) 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1043 2 xxy 100cos8sin7 1 xxxy bxabaxy 2 1sinxy x ey sin xey x 100 xx x eey xey xxx xxxy bxabay xxxxy xy 100100 1 cos 1 1cos 2 1 1cos sin8cos7 2 1 46 sin 22 2 12 2 1 2 12 222 解 2 已知某地段地形的海拔高度h因水平坐標(biāo)x而變 h 100 0 0001x2 1 0 005x2 度量x和h的單位為 米 問何處的高度將取極大值和極小值 在這些地方的高度為多少 解 先求出h x 對x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 426436 43647242 102106 102102 102102 1051010 2 2 xxx xxxx dx d dx hd dx d dx dh 令 dh dx 0 解得在 x 0 10 10 處可能有極值 d2h dx2 x 00 x 10是極小值點 h 10 99 0005米 顯然 x 10亦是極小值點 h 10 h 10 3 求下列不定積分 dxxdxxx x 2 13 23 dxxdx dxxexdxx dxe dxbaxdx dxxxdxe x x x bax dx x x x xx x x ln 2 2 2 1 13 12 cos 11 cossin sin cos sin 2 2 2 2 解 第1章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 2 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 cxxxddx cxxdxxxdx cexdedxxe cxxxdxdxx cbaxbaxdbax cexdedxe cbaxbaxdbaxdxbax carctgxxdxdxdx cxxxdxxdxdxxx cex dxxdxedxe cxdxxdxdxx cxxxdxxdxdxxdxxx x x xxx aa bax dx xxx aa x dx x x x x x x x x dx xx x x x x 2 2 1ln 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3 3 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 11 11 11 1 2 2 3 13 3 3 1 2ln 2 2x2 2 2 3 4 4 1 33 ln lnln 12 2sin 2cos1 cos 11 sin sinsincossin 2 cos sin sin sincoscossin cos sin 2ln3 23 2 2 2 3 13 222 22 2 2 2 4 求下列定積分 4 1 2 8 3 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 1 0 1 1 4 3 2 1 4 6 4 6 2 1 2 1 4 6 22 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ln1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 5 5 1 1 0 5 5 1 4 1 0 4 3 5 3 242 1 2 13 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 1 1 4 6 2 1 1 1 ln1 2 1 2 1 1 1 0 4 2 1 2cos1 3 sin3 454 2sin 2 2cos2cos 2ln ln 5 1 ln1 ln1 ln1 60 arcsin 1 1 1 1 1 1 sin3 2cos 1 1 2 2 2 3 2 2 dxxxdxdxxx arctgxdx xxxdxdx eexedxe xxdxdx x eeededxee xxdxdxxdxx dxxxdxxdxdxe dxdxeedxx x x x x e e e x x x dx xxxxx x x x e x x x dx xx 解 第1章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 3 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 示這些定積分 的函數(shù)圖形上用面積表 并在以及 計算 xxf xdxxdxxdx sin sinsinsin 5 2 2 0 2 2 0 解 1 cossin 2 0 2 0 xxdx 2 2 0 2 0sin1sin xdxxdx 6 計算由y 3x和y x2所圍成的平面圖形的面積 解 如圖所示 令3x x2 得兩 條曲線交點的x坐標(biāo) x 0 3 面積 5 4 3 3 0 3 3 12 2 3 3 0 3 0 2 xx dxxxdxA 7 求曲線y x2 2 y 2x x 0和x 2諸線所包圍的面積 解 面積A 3 8 2 0 23 3 1 2 0 2 0 2 2 2 2 xxx xdxdxx 8 一物體沿直線運動的速度為v v0 at v0和a為常量 求物體在t1至t2時間內(nèi)的位移 解 位移S 2 1 0 t t dtatv 2 1 2 22 1 120 2 2 1 0 2 1 ttattvattv t t y 2 0 2 x y 0 3 x y A 0 2 x v v0 t t1 t2 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 4 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 1 2 3 4 5 6 7 略 8 二矢量如圖所示 A 4 B 5 25 36 87 直接根據(jù)矢量標(biāo)積定義和正交分解法求 BA 解 直接用矢量標(biāo)積定義 4 90cos ABBA 用正交分解法 Ax 4cos 3 6 Ay 4sin 1 7 Bx 5cos 90 5sin 3 By 5sin 90 5cos 4 447 1 3 6 3 yyxx BABABA 9 的夾角 與求已知B 2 2 AkjiBjiA 解 由標(biāo)積定義 AB BA BABAABBA cos cos 而 135 cos 3 32 2 1 21 1 2 2 23 3 22222 BABA BABA 兩矢量夾角 10 已BAkjiBAkjiBA 與求 知 4 4 5 3 的夾角 解 將已知兩式相加 可求得jiA 5 0 5 3 再將已知兩式相減 可求得 5 35 05 3 5 4 5 0 22 AkjiB 5 0 5 3 64 4 1 5 4 5 0 222 BAB 0 5 4 5 0 5 24 88 0308 0 cos BABA AB BA 夾角 11 已知 0ACCBBACBA 求證 證明 用已知等式分別叉乘 ACABAACBA 有 0 0 0 CCCBCABCBBBA 其中 ACCBBACCBBAA 均為零 y B A 0 x 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 5 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 12 計算以 P 3 0 8 Q 5 10 7 R 0 2 1 為頂點的三角形的面積 解 據(jù)矢積定義 PRQ 的面積 OPORPRPQPRA 2 1 OPOQPQkji 9 2 3 kji 10 2 kji kji PQPR 34 21 88 1102 923 3 48 6 96342188 2 6 96 222 APRQPQPR面積 13 化簡下面諸式 解 BCBAABACCCBA 0 BCBAABACCBCA kjikkijkji ikijikjk 2 2 2 BACBACBA CA BCACABABCBCA BACBABACBACA 2 2 14 計算下面諸式 解 ikjjikkji 3 jjkkii 0 AABABA 15 求證 CBABCABA 證明 BCABA y R 0 2 1 Q 5 10 7 o x z P 3 0 8 j i k j i k 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 6 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 CBABCA BBCBBABCAAAB BCBBABBCABAA BCBABBCBAA 16 21 2 2 2 dt Ad dt Ad t kjeitA 求已知 解 jei tkjeit tt dt d dt Ad 4 21 2 jeijei t tt dt d dt Ad 4 4 2 2 17 已知j titBk tjttieA t 3 4 4 3 23 BA dt d 求 解 zzyyxx BABABABA 242 32 31212 4 343 ttet tttte t t 31212 242 ttetBA t dt d dt d ttett t 648 2 12 32 第二章基本知識小結(jié) 基本概念 2 2 dt rd dt vd a dt rd vtrr tatvtr 向右 箭頭 表示求 導(dǎo)運 算 向左 箭頭表 示積 分運 算 積分運 算需 初始 條件 000 vvrrtt 直角坐標(biāo)系 222 zyxrkzj yi xr r 與 x y z 軸夾角的余弦分別為 rzryrx vvvvvkvjvivv zyxzyx 222 與 x y z 軸 夾 角 的 余 弦 分 別 為 vvvvvv zyx 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 7 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 aaaaakajaiaa zyxzyx 222 與 x y z 軸 夾 角 的 余 弦 分 別 為 aaaaaa zyx 2 2 2 2 2 2 dt zd dt dv a dt yd dt dv a dt xd dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x zyx zyxzyx aaavvvzyx 自然坐標(biāo)系 vv dt ds vvvsrr 2 2 2 22 v a dt sd dt dv aaaanaaa nnn tatvts 極坐標(biāo)系 22 vvvvrvvr rr rr dt d rv dt dr vr 相對運動 對于兩個相對平動的參考系 0 ttrrr 時空變換 0 vvv 速度變換 0 aaa 加速度變換 若兩個參考系相對做勻速直線運動 則為伽利略變換 在圖示情況下 則有 zzyyxx zzyyxx aaaaaa vvvvVvv ttzzyyVtxx 2 1 1 質(zhì)點運動學(xué)方程為 jitr 5 23 y y V o x o x z z 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 8 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 jtitr 14 32 求質(zhì)點軌跡并用圖表示 解 5 23 ytx軌跡方程為5 y的直線 14 32 tytx 消去參數(shù) t 得軌跡方程0534 yx 2 1 2 質(zhì)點運動學(xué)方程為kjeier tt 2 22 求質(zhì)點軌跡 求自 t 1 到 t 1 質(zhì)點 的位移 解 由運動學(xué)方程可知 1 2 22 xyzeyex tt 所以 質(zhì)點是在 z 2 平面 內(nèi)的第一像限的一條雙曲線上運動 jeeieerrr 1 1 2222 ji 2537 7 2537 7 所以 位移大小 900arccos arccosz 45 2 2 arccos arccosy 135 2 2 arccos arccosx 22537 72537 7 2537 7 2222 r z r y r x yxr 軸夾角與 軸夾角與 軸夾角與 2 1 3 質(zhì)點運動學(xué)方程為jtitr 32 4 2 求質(zhì)點軌跡 求質(zhì)點自 t 0 至 t 1 的 位移 解 32 4 2 tytx 消去參數(shù) t 得 2 3 yx jijjirrr 2 4 3 5 4 0 1 2 2 1 雷達站于某瞬時測得飛機位置為 7 33 4100 11 mR 0 75s 后測得 3 29 4240 22 mR R1 R2均在鉛直面內(nèi) 求飛機瞬 時速率的近似值和飛行方向 角 x y 5 x y 5 5 R 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 9 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 解 t R t RR vv 12 在圖示的矢量三角形中 應(yīng)用余弦 定理 可求得 m RRRRR 58 349 4 4cos42004100242404100 cos 2 22 2121 2 2 2 1 smtRvv 8 46575 0 58 349 據(jù)正弦定理 180sin sin 1221 RR 89 34 41 111180 931 0 58 349 4 4sin4240 sin 180sin 1 2121 RR 2 2 2 一圓柱體沿拋物線軌道運動 拋物線軌道為 y x2 200 長度 毫 米 第一次觀察到圓柱體在 x 249mm 處 經(jīng)過時間 2ms 后 圓柱體移 到 x 234mm 處 求圓柱體瞬時速度的近似值 解 由于 t 很小 所以 t r vv 其中 15249234 2 12 xxxj yi xrmst 2 36200 249234 200 22 2 1 2 212 xxyyy jijtyitxv 1 18 5 7 其大小 msmmv 6 19 1 18 5 7 22 與 x 軸夾角 5 112 38265 0arccos 6 19 5 7 arccosarccos v vx 2 2 3 一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂 離演奏者 17m 另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播 廣州離北京 2320km 收聽者離收音機 2m 問誰先聽到聲音 聲速為 340m s 電磁波傳播 的速率為 3 0 108m s 解 聲音傳播情況如圖所示 北京人聽到演奏聲音所需時間 st05 0340 17 1 y x 0 x 1 x2 1 R1 R2 R 1 2 17m 340m s 2320km 3 108m s 340m s 2m 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 10 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 廣州人聽到演奏聲音所需時間 st0136 0 340 2 100 3 102320 8 3 2 2 2 5 火車進入彎道時減速 最初列車向正北以 90km h 速率行駛 3min 后以 70km h 速 率向北偏西 30 方向行駛 求列車的平均加速度 解 t v t vv a 12 對矢量三角形應(yīng)用余弦定理 smhkm vvvvv 69 12 69 45 37090709030cos2 22 21 2 2 2 1 2 07 0 603 69 12 sm t v a 由正弦定理 30sinsin 2 vv 50 766 069 45 5 070 30sinsin 2 vv 2 2 6 k tj tRi tRr 2 sin cos R 為正常數(shù) 求 t 0 2 時的速度和加速度 ktjti tr 6 5 4 3 32 求 t 0 1 時的速度和加速度 寫出正交分解式 解 kj tRi tRdtrdv 2 cos sin jRakiRv iRakjRvj tRi tRdtvda tt tt 2 2 sin cos 2 2 00 k tjdtvdaktj tidtrdv 36 9 18 9 3 2 kjakjivjaiv tttt 36 9 18 9 3 9 3 1100 2 3 1 圖中 a b 和 c 表示質(zhì)點沿直線運動三種不 同情況下的 x t 圖像 試說明每種運動的特點 即速度 計時起點時質(zhì)點的位置坐標(biāo) 質(zhì)點位于坐標(biāo)原點的 時刻 解 質(zhì)點直線運動的速度 dtdxv 在 x t 圖像中為曲線斜率 由于三種圖像 都是直線 因此三種運動都是勻速直線運動 設(shè)直線 v2 30 v1 90km h v2 70km h v 西 北 10 20 30 10 20 30 45 120 10 20 0 x m t s a b c 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 11 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 與 x 軸正向夾角為 則速度txtgv 對于 a 種運動 stgtmxsmtgv xt 55 113020 20 3120 00 對于 b 種運動 stgtmxmstgv xt 32 1730 10 10 3 330 00 1 對于 c 種運動 mtgxstmstgv tx 254525 25 145 00 1 2 3 2 質(zhì)點直線運動的運動學(xué)方程為 x acost a 為正常數(shù) 求質(zhì)點速度和加速度 并討論 運動特點 有無周期性 運動范圍 速度變化情況等 解 tadtdvatadtdxvtax xxx cos sin cos 顯然 質(zhì)點隨時間按余弦規(guī)律作周期性運動 運動范圍 aaaavaaxa xx 2 3 3 跳傘運動員的速度為 qt qt e e v 1 1 v 鉛直向下 q 為正常量 求其加速度 討論時間足夠長時 即 t 速度 加速度的變化趨勢 解 22 1 2 1 1 1 1 1 qt qt qt qtqttqtqt qt qt e qe e qeeqee e e dt d dt dv a 因為 v 0 a 0 所以 跳傘員做加速直線運動 但當(dāng) t 時 v a 0 說明經(jīng) 過較長時間后 跳傘員將做勻速直線運動 2 3 4 直線運行的高速列車在電子計算機控制下減 速 進 站 列 車 原 運 行 速 率 為v0 180km h 其速 率變化規(guī)律如圖所示 求列車行至x 1 5km 時的加速 度 解 sin 5 cos 5050 xvdxdvxvv dx dv dt dx dx dv va xv 5 2 2 010 1 sin 將 v0 180km h x 1 5km 代入 222 10 1 75 0 9676108sin18014 3smhkma v km h v v0cos x 5 x km 1 5 v0 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 12 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 2 3 5 在水平桌面上放置 A B 兩物體 用一根不可伸 長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來 C 點與桌面固定 已知物體 A 的加速度 aA 0 5g 求物體B 的加速度 解 設(shè)整個繩長為 L 取圖示坐標(biāo) o x 則 3xA 4xB L 對時間求兩次導(dǎo)數(shù) 3aA 4aB 所以 aB 3aA 4 3 0 5g 4 3g 8 2 3 6 質(zhì)點沿直線的運動學(xué)方程為 x 10t 3t2 將坐標(biāo)原點沿 o x 正方向移動 2m 運動 學(xué)方程如何 初速度有無變化 將計時起點前移 1s 運動學(xué)方程如何 初始坐標(biāo)和初速 度發(fā)生怎樣的變化 加速度變不變 解 x 10t 3t2 v dx dt 10 6t a dv dt 6 t 0 時 x 0 v 10 將坐標(biāo)原點向 x 軸正向移動 2m 即令 x x 2 x x 2 則運動學(xué)方程為 x 10t 3t2 2 v dx dt 10 6t v v 將計時起點前移 1s 即令 t t 1 t t 1 則運動學(xué)方程變?yōu)?x 10 t 1 3 t 1 2 10t 10 3t 2 6t 3 4t 3t 2 7 v dx dt 4 6t t 0 時 x 7 v 4 加速度 a 不變 2 4 1 質(zhì)點從坐標(biāo)原點出發(fā)時開始計時 沿 x 軸運動 其加速度 ax 2t cms 2 求在下列 兩種情況下質(zhì)點的運動學(xué)方程 出發(fā)后 6s 時質(zhì)點的位置 在此期間所走過的位移及路程 初速度 v0 0 初速度 v0的大小為 9cm s 方向與加速度方向相反 解 2 0 0 2 2 0 tvvtdtdvtdtdtadv x t v v xxx x 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 0 ttvxdttdtvdxdttvdtvdx ttx x cmxtxtvv x 726 6 0 2 3 1 3 3 1 2 0 時 cmxSmxxx7272 0 6 路程 ttxtvv x 9 99 3 3 1 2 0 時 cmxxx18 0 6 令 vx 0 由速度表達式可求出對應(yīng)時刻 t 3 由于 3 秒前質(zhì)點沿 x 軸反向運動 3 秒后 質(zhì)點沿 x 軸正向運動 所以路程 cm xxxxxxS 543618 393 218 3 2 6 3 6 0 3 3 3 1 2 4 2 質(zhì)點直線運動瞬時速度的變化規(guī)律為 vx 3 sint 求 t1 3 至 t2 5 時間內(nèi)的位移 解 5 3 sin3 sin3 5 3 tdtdxtdtdtvdx x x x A B aA 0 5g 0 x 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 13 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 mxxx82 3 3cos5 cos3 35 2 4 3 一質(zhì)點作直線運動 其瞬時加速度的變化規(guī)律為 ax A 2cos t 在 t 0 時 vx 0 x A 其中 A 均為正常數(shù) 求此質(zhì)點的運動學(xué)方程 解 tdtAdvtAdtdva xxx cos cos 22 tvt x ttdAtdtAdv x 000 2 coscos tAxtAtAAx ttdAtdtAdx tdtAdxdtdxtAv t ttx A x cos 1 cos cos sinsin sin sin 0 00 2 4 4 飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動 剛著陸時 t 0 時速度為 v0 且坐標(biāo) x 0 假設(shè)其加速度為 ax bvx2 b 常量 求飛機速度和坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律 解 btvdtbdvvdtbvdtadv x x v vx t v v xxxxx 0 0 1 0 22 btv v v v btv bt v bt vv x xxv0 0 0 0 00 1 1 11 11 1ln 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 btv b x btv btvd bbtv dtv dx btv dtv dtvdx ttx x 2 4 5 在 195m 長的坡道上 一人騎自行車以 18km h 的速度和 20cm s2的加速度上坡 另一自行車同時以 5 4km h 的初速度和 0 2m s2的加速度下坡 問 經(jīng)多長時間兩人相遇 兩人相遇時各走過多長的路程 解 以上坡者出發(fā)點為原點沿其前進方向建立坐標(biāo) o x 用腳標(biāo) 1 表示上坡者 用腳標(biāo) 2 表示下坡者 兩人的加速度實際上是相同的 2 21 2 0smaa smhkmvvsmhkmvv xxxxt 5 1 4 5 5 18 195 00 202101 202101 時 初始條件 根據(jù)勻變速直線運動公式 x 0 195 a1 a2 v10 v20 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 14 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 22 22 1 202 22 12 1 101 1 05 1195195 1 05 tttatvx tttatvx 令 x1 x2 可求得相遇時間 5t 195 1 5t t 195 6 5 30s 對于上坡者 在相遇期間做的不一定是單方向直線運動 據(jù)上坡者的速度表達式 v1 5 0 2t 令 v1 0 求得對應(yīng)時刻 t 25s 所以 上坡者在 25s 前是在上坡 但 25s 后卻再下 坡 因此 上坡者在 30s 內(nèi)走過的路程 m xxxxxxS 65 301 0305 251 0255 2 30 25 2 25 30 0 25 22 1111111 對于下坡者 因為做單方向直線運動 所以 30s 內(nèi)走過的路程 mxxxxS13560195 30 0 0 30 22222 2 4 6 站臺上送行的人 在火車開動時站在第一節(jié)車廂的最前面 火車開動后經(jīng)過 t 24s 火車第一節(jié)車廂的末尾從此人的前面通過 問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時間 火車做 勻加速運動 解 設(shè)每節(jié)車廂長為 L 以地為參考系 以人 所在點為原點建立圖示坐標(biāo)o x 以第一節(jié)車廂的 前端點為研究對象 t 0 時 前端點的坐標(biāo) x 0 速 度 v 0 據(jù)勻加速運動公式 2 2 1 atx 令 x L 求得 22 24 2 2L t L a 22 24 Ltx 令 x 6L 可求得第 6 節(jié)車廂尾端通過人時所需時間 t6 624 246 24 6 6 2222 tttLtL 令 x 7L 可求得第 7 節(jié)車廂尾端通過人時所需時間 t7 724 247 24 7 7 2222 tttLtL 因此 第 7 節(jié)車廂通過人所需時間 sttt71 4 67 24 67 2 4 7 在同一鉛直線上相隔 h 的兩點以同樣速率 v0上拋二石子 但在高處的 石子早 t0秒被拋出 求此二石子何時何處相遇 解 以地為參考系 建立圖示坐標(biāo) o y 據(jù)題意 設(shè) t 0 時 上面石子坐標(biāo) y1 h 速度 v1 v0 t t0時 下面石子坐標(biāo) y2 0 v2 v0 解法 1 根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律 可知 2 1 0 x y h 0 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 15 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 4 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 00 0 2 02 1 00 2 2 1 021 2 02 1 002 2 2 1 01 gt gt h g v hy t g v gt h t ttgttvgttvhyy ttgttvygttvhy 相遇時石子坐標(biāo) 得 代入 或 中 可求求得相遇時間 有令 解法 2 可根據(jù)速度 加速度的導(dǎo)數(shù)定義和初始條件 通過積分得到 然后求解 2 4 8 電梯以 1 0m s 的勻速率下降 小孩在電梯中跳離地板 0 50m 高 問當(dāng)小孩再次落 到地板上時 電梯下降了多長距離 解 以電梯為參考系 小孩相對電梯做豎直上拋運動 他從起跳到再次落到地板所需 時間 是他從最高處自由下落到地板所需時間的 2 倍 由自由落體運動公式 2 2 1 gth 可求得從最高出落到地板所需時間 shgt32 05 0 8 92 2 所以小孩做豎 直上拋所需時間為 0 64s 在此時間內(nèi)電梯對地下落距離 L 1 0 0 64 0 64 m 2 5 1 質(zhì)點在 o xy 平面內(nèi)運動 其加速度為jti ta sin cos 位置和速度的初始條 件為 t 0 時 irjv 求質(zhì)點的運動學(xué)方程并畫出軌跡 解 j ti tj titir tdtjtdtirddtj ti tdtvrd j ti tjti tjv tdtjtdtivddtj ti tdtavd ttr i ttv j sin cos sin 1 cos cos sin cos sin cos sin 1 cos sin sin cos sin cos 00 00 1 sin cos 22 yx tytx 2 5 2 在同一豎直面內(nèi)的同一水平線上 A B 兩點分別以 30 60 為發(fā)射角同時拋出兩 球 欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點 求 A B 兩點間的距離 已知小球在 A 點 的發(fā)射速度 vA 9 8 米 秒 解 以 A 點為原點建立圖示坐標(biāo)系 取發(fā)射時刻為計時起點 兩點間距離為 S 初始條 件如圖所示 據(jù)斜拋規(guī)律有 gtvvgtvv Stvxtvx BOByAOAy BOBAOA 60sin30sin 60cos30cos Y vAO vBO 30 60 A S B x x y 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 16 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 滿足題中條件 在最高點相遇 必有 vAy vBy 0 xA xB mctg g v S tvvS vvgvt AO BOAO AOBOAO 83 2 605 030 cos 2 60cos30cos 60sin 30sin 30sin 0 2 代入 中得 把 得令 令 2 5 3 迫擊炮的發(fā)射角為 60 發(fā)射速率 150m s 炮彈擊中傾角為 30 的山坡上的目標(biāo) 發(fā)射點正在山腳 求彈著點到發(fā)射點的距離 OA 解 以發(fā)射點為原點 建立圖示坐標(biāo)o x 斜拋物體的軌跡方程 為 見教材 2 2 2 0 cos2 x v g xtgy 本題 60 v0 150m s A 點坐標(biāo) xA yA應(yīng)滿足軌跡方程 所 以 2 2 0 2 2 2 0 2 3 60cos2 60 AAAAA x v g xx v g tgxy 另外 根據(jù)圖中幾何關(guān)系 可知 OAOAxA 2 3 30cos OAOAyA 2 1 30sin 代入 中 有 m g v OAOA v g OAOA1531 8 93 1502 3 2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 3 2 1 2 5 4 轟炸機沿與鉛直方向成 53 俯沖時 在 763m 的高度投放炸彈 炸彈在離開飛機 5 0s 時擊中目標(biāo) 不計空氣阻力 轟炸機的速率是多少 炸彈在飛行中通過的水平距離 是多少 炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少 解 以投放點為原點 建立圖示坐標(biāo) o xy 設(shè)炸彈初速度 即轟 速度j ga 所以炸炸機速度 為 v0 由于炸彈在飛行過程中的加 彈在 x 方向做勻速直線運動 在 y 方向做豎直下拋運動 有 2 2 1 00 00 53cos53sin 53cos53sin gttvytvx gtvvvv yx 令 t 5 0s y 763m 由 可求得轟炸機的速率 sm t gty v 86 212 56081 0 58 95 0763 53cos 5 0 22 0 將 v0代入 中 可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的水平分量 x y A 60 30 v0 x y 0 v0 53 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 17 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 smvx 17053sin86 212 令 t 5 由 可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的豎直分量 smvy 1 17758 953cos86 212 2 5 5 雷達監(jiān)測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體 在某一時刻 他給出這樣的信息 拋射體達到最大高度且正以速率 v 沿水平方向運動 觀測員到拋射體的直線距離是 l 觀測員觀測拋體的視線與水平方向成 角 問 拋射體命中點到觀測者的距離 D 等于多 少 何種情況下拋體飛越觀察員的頭頂以后才命中目標(biāo) 何種情況下拋體在未達到觀察 員以前就命中目標(biāo) 解 以拋體所達最大高度處為計時起點和坐標(biāo)原點 建 立圖示坐標(biāo) o xy 拋體以速度 v 做平拋運動 設(shè)命中時間為 t1 由自由落體公式 gltgtl sin2 sin 1 2 12 1 命 中 點x坐 標(biāo) 為 glvvtx sin2 11 由圖中幾何關(guān)系 觀測者的 x 坐標(biāo) cos 2 lx 所以 觀測 者與命中點間的距離 sin2cos 12 glvlxxD 當(dāng) x1x2 即 sin2 cos l g lv 時 則拋體在飛越觀察員后才命中目標(biāo) 2 6 1 列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛 在我們所討論的時間范圍內(nèi) 其運動學(xué)方 程為 S 80t t2 m s t 0 時 列車在圖中 O 點 此圓弧形軌道的半徑 r 1500m 求列車駛 過 O 點以后前進至 1200m 處的速率及加速度 解 S 80t t2 v dS dt 80 2t 令 S 1200 由 可求得對應(yīng)時間 ssttt20 60 0120080 2 求得 將 t 60 代入 中 v 40 不合題意 舍去 將 t 20 代入 中 v 40m s 此即列車前 進到 1200m 處的速率 x y o v l 命 中 點 觀 測 者 x1 x2 東 北 O S a an a v 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 18 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 152 2 067 1 267 2067 1 2 067 11500 40 2 222 22 2222 arctg a a arctgva smaaa smrvasmdtdva n n n 所成夾角 與 2 6 2 火車以 200 米 小時的速度駛?cè)雸A形軌道 其半徑為 300 米 司機一進入圓弧形軌 道立即減速 減速度為 2g 求火車在何處的加速度最大 最大加速度是多少 解 沿火車運動的圓形軌道建立弧坐標(biāo) o s t 0 時 s 0 v v0 200km h 55 56m s 據(jù)題 意 a 2g v v0 a t v0 2g t an v2 R v0 2gt 2 R a a 2 an2 1 2 4g2 v0 2gt 4 R2 1 2 顯 然 t 0 時 a 最大 22 4 0 2 max 1 22 4smRvga 2 6 3 斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道上運動 當(dāng)斗車達到圖中所示位置時 軌 道曲率半徑為 150m 斗車速率為 50km h 切向加速度 a 0 4g 求 斗車的加速度 解 2 92 38 94 04 0smga 22 3600 1050 2 286 1150 3 msvan nnaaa n 286 1 92 3 222 22 126 4286 192 3smaaa n 加速度a 與切向單位矢量 夾角 16 18 92 3 286 1 arctgarctg a an 2 8 1 飛機在某高度的水平面上飛行 機身的方向是自東北向西南 與正西夾 15 角 風(fēng)以 100km h 的速率自西南向東北方向吹來 與正南夾 45 角 結(jié)果飛機向正西方向運動 求飛機相對于風(fēng)的速度及相對于地面的速度 解 風(fēng)地機風(fēng)機地 vvv 由矢量圖可知 15sin135sin30sin 風(fēng)地機風(fēng)機地 vvv 其中 v風(fēng) 地 100km h 27 78m s 可求得 smvvsmvv 67 53 15sin 30sin 89 75 15sin 135sin 風(fēng)地機地風(fēng)地機風(fēng) 2 8 3 一卡車在平直路面上以恒速度 30 米 秒行駛 在此車上射出一個拋體 要求在車 前進 60 米時 拋體仍落回到車上原拋出點 問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方 向 空氣阻力不計 解 以卡車為參考系 設(shè)拋體初速為 v0 由于要落回原拋出點 故方向只能豎直向上 即拋體相對車只能作豎直上拋運動 取向上方向為正 拋體相對車任意時刻速度 v v0 g t B 120m C B v u L v 1 u 2 A A 第一次渡河矢量圖 第二次渡河矢量圖 n a 30 北 東 45 15 v風(fēng)地 v機地 v機風(fēng) 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 19 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 由題意 拋體落回原地所需時間 t 60 30 2 s 落到車上時的速度 v v0 把數(shù)值代入 中 可求得 v0 9 8 m s 2 8 4 河的兩岸互相平行 一船由 A 點朝與岸垂直的方向勻速駛?cè)?經(jīng) 10min 到達對岸 C 點 若船從 A 點出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達彼岸的 B 點 需要 12 5min 已知 BC 120m 求 河寬 L 第二次渡河時船的速度u 水流速度 v 解 以船為運動質(zhì)點 水為動系 岸為靜系 由相對運動公式 vu vuvvvvvv 則上式可改寫為 令 在這里 船岸船水水岸水岸船水船岸 由第一次渡河矢量圖可知 v BC t1 120 600 0 2m s u L t1 L u t1 由第二次渡河矢量圖可知 2 L t2 cos 2 u v u sin 把 代入 求得 cos t1 t2 600 750 4 5 sin 1 cos2 1 2 3 5 把 代入 求得 u 0 2 5 3 1 3 m s 再把 u 的數(shù)值代入 求得 L 600 3 200 m 答 河寬 200 米 水流速度 0 2 米 秒 第二次渡河時 船對水的速度是 1 3 米 與河 岸垂直方向所成角度 arccos 4 5 36 52 2 8 5 圓形公路與沿半徑方向的東西向公路相交如圖 某瞬時汽車甲向東以 20km h 的速率行駛 汽車乙在 30 的位置向東北方向以速率 20km h 行駛 求此瞬時甲車相對 乙車的速度 解 由相對運動公式 2121 vvv 2112 vvv 顯然矢量三角形為等邊三角形 所以 v12 20km h 方向向東偏南 60 第三章基本知識小結(jié)第三章基本知識小結(jié) 牛頓運動定律適用于慣性系 質(zhì)點 牛頓第二定律是核心 矢量式 2 2 dt rd m dt vd mamF 分量式 弧坐標(biāo) 直角坐標(biāo) 2 v mmaF dt dv mmaF maFmaFmaF nn zzyyxx 動量定理適用于慣性系 質(zhì)點 質(zhì)點系 導(dǎo)數(shù)形式 dt pd F 微分形式 pddtF v1 v2 v12 v1 30 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 20 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 積分形式 pdtFI 注意分量式的運用 動量守恒定律適用于慣性系 質(zhì)點 質(zhì)點系 若作用于質(zhì)點或質(zhì)點系的外力的矢量和始終為零 則質(zhì)點或質(zhì)點系的動量保持不變 即 恒矢量 則 若 外 pF 0 注意分量式的運用 在非慣性系中 考慮相應(yīng)的慣性力 也可應(yīng)用以上規(guī)律解題 在直線加速參考系中 0 amf 在轉(zhuǎn)動參考系中 2 2 mvfrmf kc 質(zhì)心和質(zhì)心運動定理 iiciiciic amamvmvmrmrm c amF 注意分量式的運用 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 21 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 3 5 1 質(zhì)量為 2kg 的質(zhì)點的運動學(xué)方程為 jttitr 133 16 22 單位 米 秒 求證質(zhì)點受恒力而運動 并求力的方向 大小 解 jidtrda 6 12 22 jiamF 12 24 為一與時間無關(guān)的恒矢量 質(zhì)點受恒力而運動 F 242 122 1 2 125N 力與 x 軸之間夾角為 34265 0 arctgFarctgF xy 3 5 2 質(zhì) 量 為 m 的 質(zhì) 點 在 o xy 平 面 內(nèi) 運 動 質(zhì) 點 的 運 動 學(xué) 方 程 為 jtbitar sin cos a b 為正常數(shù) 證明作用于質(zhì)點的合力總指向原點 證明 rj tbi tadtrda 2222 sin cos rmamF 2 作用于質(zhì)點的合力總指向原點 3 5 3 在脫粒機中往往裝有振動魚鱗篩 一方面由篩孔漏出谷粒 一方面逐出秸桿 篩 面微微傾斜 是為了從較低的一邊將秸桿逐出 因角度很小 可近似看作水平 篩面與谷粒 發(fā)生相對運動才可能將谷粒篩出 若谷粒與篩面靜摩擦系數(shù)為 0 4 問篩沿水平方向的加速 度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運動 解 以地為參考系 設(shè)谷物的質(zhì)量為 m 所受到的最大靜摩擦力為 mgf o 谷 物能獲得的最大加速度為 2 92 38 94 0 smgmfa o 篩面水平方向的加速度至少等于 3 92 米 秒 2 才能使谷物與篩面發(fā)生相對運動 1 2 3 5 3 題圖 3 5 4 題圖 3 5 4 桌面上疊放著兩塊木板 質(zhì)量各為 m1 m2 如圖所示 m2和桌面間的摩擦系數(shù)為 2 m1和 m2間的摩擦系數(shù)為 1 問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來 解 以地為參考系 隔離 m1 m2 其受力與運動情況如圖所示 m2 m1 F m1g f1 N1 a1 a2 N2 N1 m2g F f1 f2 x y 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 22 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 其中 N1 N1 f1 f1 1N1 f2 2N2 選圖示坐標(biāo)系 o xy 對 m1 m2分別應(yīng)用牛頓二定律 有 0 0 212222211 111111 gmNNamNNF gmNamN 解方程組 得 2221211211 mgmgmgmFaga 要把木板從下面抽出來 必須滿足 12 aa 即 gmgmgmgmF 12221211 gmmF 2121 3 5 5 質(zhì)量為 m2的斜面可在光滑的水平面上滑動 斜面傾角為 質(zhì) 量為 m1的運動員與斜面之間亦無摩擦 求運動員相對于斜面的加速度及其 對斜面的壓力 解 以相對地面向右作加速直線運動的斜面為參考系 非慣性系 設(shè)斜面相對地的加速度 為 a2 取 m1為研究對象 其受力及運動情況如左圖所示 其中 N1為斜面對人的支撐力 f 為慣性力 a 即人對斜面的加速度 方向顯然沿斜面向下 選如圖所示的坐標(biāo)系 o x y 應(yīng) 用牛頓第二定律建立方程 2 cossin 1 0sincos 1211 2111 amamgm amgmN 再以地為參考系 取 m2為研究對象 其受力及運動情況如右圖所示 選圖示坐標(biāo) o xy 應(yīng)用牛頓第二定律建立方程 4 0cos 3 sin 122 221 NgmN amN 1 2 3 聯(lián) 立 即 可 求 得 g mm mm ag mm mm N 2 12 21 2 12 21 1 sin sin sin cos 3 5 6 在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為 m1 m2 物體之間及 物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為 求在力 F的作用下兩物體的加速 度及繩內(nèi)張力 不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦 繩不可伸長 解 以地為參考系 隔離 m1 m2 受力及運 動情況如圖示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 N1 m2g m1 m2 g 在水平方向?qū)蓚€質(zhì) 點應(yīng)用牛二定律 m1 m2 m1 m2 F f1 N1 m1g T a F N2 m2g T a N1 f1 f2 y N2 a2 x N1 N1 m2g x N1 a f m1a2 y m1g 第 1 章 物 理 學(xué) 力 學(xué) 數(shù) 學(xué) 微 積 分 初 步 習(xí) 題 解 答 23 第 1 章物理學(xué)力學(xué)數(shù)學(xué) 微積分初步習(xí)題解答 amTgmmgmFamgmT 221111 可求得 g mm gmF a 21 1 2 將 a 代入 中 可求得 21 11 2 mm gmFm T 3 5 7 在圖示的裝置中 物體 A B C的質(zhì)量各為 m1 m2 m3 且兩兩不相等 若物體 A B 與桌面間的摩擦系數(shù)為 求三個 物體的加速度及繩內(nèi)的張力 不計繩和滑輪質(zhì)量 不計軸承摩 擦 繩不可伸長 解 以地為參考系 隔離 A B C 受力及運動情況如圖 示 其中 f1 N1 m1g f2 N2 m2g T 2T 由于A的位移加B的位移除2等于C 的 位 移 所 以 a1 a2 2 a3 對 A B C 分別在其加速度方向上應(yīng)用牛頓第二定 律 2 2 2133 222111 aamTgm amgmTamgmT 聯(lián)立 可求得 g mmmmm mmm a g mmmmm mm a g mmmmm mm a 21321 321 3 21321 31 2 21321 32 1 4 1 4 1 2 4 1 2 3 5 8 天平左端掛一定滑輪 一輕繩跨過定滑輪 繩的兩端分別系上質(zhì)量為 m1 m2的物 體 m1 m2 天平右端的托盤上放有砝碼 問天平托盤和砝碼共重若干 天平才能保持平 衡 不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦 繩不伸長 解 隔離 m1 m2及定滑輪 受力及運動情況如圖示 應(yīng)用牛頓 第二定律 2 2211 TTamTgmamgmT 由 可求得 C A B T f1 N1 m1g a1 T f2 N2 m2g a2 T m3g a3 m1 m2 T m1g