高中數學《拋物線的簡單性質的應用》導學案 北師大版選修11(1).doc

第6課時拋物線的簡單性質的應用1.根據拋物線的幾何性質進行一些簡單問題的應用,會利用幾何性質求拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程、焦半徑和通徑.2.能判斷拋物線與直線的位置關系,理解拋物線的焦點弦的特殊意義,結合定義得到焦點弦的公式,并利用該公式解決一些相關的問題.我們已經學習了拋物線及拋物線的簡單幾何性質,拋物線的幾何性質應用非常廣泛,通過類比橢圓、雙曲線的幾何性質,結合拋物線的標準方程討論研究拋物線的幾何性質,再一次體會用曲線的方程研究曲線性質的方法,拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等性質不難掌握,而拋物線幾何性質的應用是學習的難點,學習中應注重幾何模型與數學問題的轉換.問題1:直線和拋物線的位置關系的判定方法聯(lián)立直線和拋物線方程得:ax2+bx+c=0.當a0時,0;=0;0)為例,根據拋物線的定義,可以將焦點弦長轉化為|ab|=,這樣在求解時可以大大簡化運算量.過焦點且垂直于對稱軸的弦叫通徑.直接應用拋物線定義,得到通徑:d=2p.問題3:關于拋物線的幾個結論設ab是過拋物線y2=2px(p0)焦點f的弦,過點a(x1,y1),b(x2,y2)的直線的傾斜角為,p(x0,y0)是拋物線上任意一點,則(1)以ab為直徑的圓必與準線l相切;(2)a,b兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值.即x1x2=p24,y1y2=-p2;(3)焦半徑(拋物線上一點與拋物線焦點f的線段)為|pf|=x0+p2;(4)焦點弦|ab|=x1+x2+p=2psin2,1|fa|+1|fb|=2p;(5)焦點三角形面積為soab=p22sin;(6)若點p(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)或x2=2py(p0)的內部(含焦點區(qū)域),則y022px0或x020),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于a,b兩點,若線段ab的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為().a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-22.若點(3,1)是拋物線y2=2px(p0)的一條弦的中點,且弦所在直線的斜率為2,則p等于().a.1b.2c.12d.43.已知o為坐標原點,f為拋物線y2=4x的焦點,a是拋物線上一點,若oaaf=-4,則點a的坐標是.4.已知頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為15,求拋物線的方程.(2013年新課標卷)設拋物線c:y2=2px(p0)的焦點為f,點m在c上,|mf|=5.若以mf為直徑的圓過點(0,2),則c的方程為().a.y2=4x或y2=8xb.y2=2x或y2=8xc.y2=4x或y2=16xd.y2=2x或y2=16x考題變式(我來改編):第6課時拋物線的簡單性質的應用知識體系梳理問題1:直線與拋物線相交,有兩個不同的交點直線與拋物線相切,只有一個公共點直線與拋物線相離相交問題2:x1+x2+p基礎學習交流1.a設直線l的方程為3x-2y+c=0,拋物線y2=2x的焦點f(12,0),所以312-20+c=0,所以c=-32,故直線l的方程是6x-4y-3=0.選a.2.b不妨設a,b兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),其中x1x2.由直線ab斜率為-2,且過點(1,0)得直線ab的方程為y=-2(x-1),代入拋物線方程y2=8x,得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+3,x2=2-3,|ab|=1+(-2)2|x1-x2|=215.3.x2=16y過焦點且與對稱軸y軸垂直的弦長等于p的2倍.所求拋物線的方程為x2=16y.4.解:設r(x,y),相應的p(x1,y1),則x+x12=-1+02,y+y12=2+02x1=-x-1,y1=-y+2,由x1=-x-10,得x-1.又點p在拋物線x2=y上,(-x-1)2=-y+2,即(x+1)2=-y+2(x0,即a4.x1+x2=a-2,x1x2=1,oaob=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1=a+1.a+1=a2-1,解得a=-1或a=2(舍去).所求方程y2=-x,焦點坐標為(-14,0),準線方程為x=14.【小結】這類問題的一般方法: (1)用直線方程和拋物線方程列方程組;(2)消元化為一個一元二次方程后,利用韋達定理得到x1+x2 ,x1x2 ;(3)將x1+x2 ,x1x2 代入題中的條件,從而得到關系式,使問題得到解決.探究二:【解析】若拋物線開口向右,如圖,依題意設拋物線方程為y2=2px(p0),則直線方程為y=-x+12p.設直線交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2),則由拋物線定義,得|ab|=|af|+|fb|=|ac|+|bd|=x1+p2+x2+p2=8.又a(x1,y1),b(x2,y2)是拋物線和直線的交點,由y=-x+12p,y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p,p=2,所求拋物線方程為y2=4x.同理,當拋物線開口向左時,可求得拋物線方程為y2=-4x.【小結】(1)在解決與焦點弦有關的問題時,一是注意焦點弦所在的直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組,再結合根與系數的關系解題;二是注意焦點弦、焦半徑公式的應用,解題時注意整體代入的思想,可使運算、化簡簡便.(2)在解決直線與拋物線的問題中經常遇到中點弦的問題,處理的基本方法是點差法、利用根與系數的關系快速地求出中點弦所在直線的斜率.探究三:【解析】設直線l的方程為y=kx+3,將其代入y2=4x,整理得k2x2+(6k-4)x+9=0,則=(6k-4)2-49k2=16-48k=0,解得k=13,直線l的方程為y=13x+3.問題直線l的斜率一定存在嗎?結論上述解法只考慮了直線的斜率k存在的情況,而忽視了k不存在以及直線l平行拋物線對稱軸時兩種情形.于是,正確解答為:當斜率k存在且k0時,直線l的方程為y=13x+3,當k=0時,直線l:y=3,此時l平行于對稱軸,且與拋物線只有一個交點(94,3),當k不存在時,直線l與拋物線也只有一個公共點,此時l的方程為x=0,綜上,過點(0,3)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線的方程為y=13x+3,y=3,x=0.【小結】要判斷直線與拋物線的位置關系,通常是通過討論直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的情況來判斷,對于直線與拋物線只有一個公共點的情況,應特別注意平行于拋物線對稱軸的直線與拋物線只有一個公共點,但它不是切線,不能用=0求解,此時應分類討論.思維拓展應用應用一:橢圓的方程可化為x24+y29=1,其短軸在x軸上,拋物線的對稱軸為x軸,設拋物線的方程為y2=2px或y2=-2px(p0).拋物線的焦點到頂點的距離為3,即p2=3,p=6.拋物線的標準方程及其準線方程分別為y2=12x,x=-3或y2=-12x,x=3.應用二:設以q為中點的弦ab端點坐標為a(x1,y1),b(x2,y2),由題意,得x1x2,則有y12=8x1,y22=8x2,x1+x2=8,y1+y2=2.-,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),將代入,得y1-y2=4(x1-x2),即4=y1-y2x1-x2,k=4.所求弦ab所在直線方程為y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.應用三:設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx-2,將其代入y2=-12x,整理得ky2+12y+24=0,當k=0時,直線l:y=-2,此時l平行于對稱軸,直線與拋物線只有一個交點(-13,-2),當k0時,由于=122-424k=0,解得k=32,直線l的方程為y=32x-2.當k不存在時,直線l與拋物線相切與頂點,此時只有一個公共點,此時l的方程為x=0.綜上,過點(0,-2)且與拋物線y2=-12x只有一個公共點的直線的方程為y=32x-2,y=-2,x=0.基礎智能檢測1.b拋物線的焦點為f(p2,0),所以過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px得y2=2p(y+p2)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根與系數的關系得y1+y22=p=2(y1,y2分別為點a,b的縱坐標),所以拋物線方程為y2=4x,準線方程為x=-1.2.b設弦的兩個端點為p1(x1,y1),p2(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,兩式相減得y1-y2x1-x2=2py1+y2=2.又因為y1+y2=2,所以p=2.3.(1,2)或(1,-2)拋物線的焦點為f(1,0),設a(y024,y0),則oa=(y024,y0),af=(1-y024,-y0),由oaaf=-4,得y0=2,點a的坐標是(1,2)或(1,-2).4.解:設拋物線的方程為y2=2px,則y2=2px,y=2x+1,消去y,得4x2-(2p-4)x+1=0,設a(x1,y1),b(x2,y2),x1+x2=p-22,x1x