三角形“心”的向量關(guān)系.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除三角形 “心”的向量關(guān)系我們都知道，在三角形中，因為有三邊和三角，故有很多的心。其中作為學(xué)生應(yīng)掌握的四個心：重心，內(nèi)心，外心，垂心。不僅要理解其定義、性質(zhì)，還需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一種研究幾何圖形的另一種工具，所以我們有必要對它們進行整理和歸納，讓同行借鑒。一 各心的定義。1 重心：三角形三條邊的中線的交點。其性質(zhì)一是連接重心和頂點，延長后必交于對應(yīng)邊的中點。其性質(zhì)二是重心把中線長分成2：1。2 垂心：三角形三邊的高線的交點。其性質(zhì)為垂心與頂點的連線必與對應(yīng)的邊垂直。3 外心：三角形三邊的中垂線的交點，即三角形的外接圓的圓心。其性質(zhì)是外心到三頂點等距離。4 內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線的交點，即三角形的內(nèi)切圓的圓心。其性質(zhì)是內(nèi)心到三邊等距離。二 各心的向量表示。在三角形ABC中，點為平面內(nèi)一點，若滿足：1，則點為三角形的重心。 分析：由，以為鄰邊作一平行四邊形， 點D為BC中點，如圖，由向量的平行四邊形法則，有，交BC于D，從而有故為重心。2，則點為三角形的外心。3，或者，則點為三角形的垂心。分析：由有三個等式，其中一個如， 則有，有，故。同理可證，點為三角形的垂心。 而在三角形ABC中，記，則由 ，展開為，則 故 ，同理可證，從而點為三角形的垂心。4，則點為三角形的內(nèi)心。 分析：若點為三角形的內(nèi)心。如圖，延長，過點C作，由于相似，有，由AD為角A的平分線，有，從而有，故 同理可得，而BO為角B的內(nèi)角平分線， 有，故 而，所以，有三 動點的軌跡過三角形心的問題：設(shè)點P為三角形所在平面內(nèi)的一個定點，點Q為平面內(nèi)的一個動點，若滿足：1，（其中），則動點Q一定過的重心。2，（其中），則動點Q一定過的內(nèi)心。 分析：由于表示方向的單位向量之和，由菱形性質(zhì)可知， 為角A的內(nèi)角平分線。3（其中），則動點Q一定過 的垂心。 分析：下面只需說明的性質(zhì)。 如圖，在中，延長AD，過點B作記 則，故有 ， 由，從而有，有與共線，從而，與垂直。4（其中），則動點Q一定過的外心。四三角形的外心與它的垂心H的關(guān)系： 。在中，以BC所在的直線為x軸，BC的中點為原點建立坐標系。設(shè)，。則不難求得它的外心坐標，從而有 。它的垂心坐標，從而有 。 向量作為一