2021版新高考數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值含答案.doc

教學(xué)資料范本2021版新高考數(shù)學(xué)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值含答案編 輯：_時(shí) 間：_第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值考點(diǎn)要求1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得的極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁(yè))1函數(shù)的極值函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小、f(a)0、而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0、右側(cè)f(x)0、則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)、f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大、f(b)0、而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0、右側(cè)f(x)0、則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)、f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)、極大值、極小值統(tǒng)稱為極值2函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a、b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a、b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a、b上單調(diào)遞增、則f(a)為函數(shù)的最小值、f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a、b上單調(diào)遞減、則f(a)為函數(shù)的最大值、f(b)為函數(shù)的最小值1若函數(shù)在開區(qū)間(a、b)內(nèi)的極值點(diǎn)只有一個(gè)、則相應(yīng)極值點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn)2若函數(shù)在閉區(qū)間a、b的最值點(diǎn)不是端點(diǎn)、則最值點(diǎn)亦為極值點(diǎn)一、思考辨析(正確的打“”、錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)、f(x0)0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件()(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值()(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽、導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示、則函數(shù)f(x)()A無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)C設(shè)f(x)的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)從左至右依次為x1、x2、x3、x4.當(dāng)xx1時(shí)、f(x)0、f(x)為增函數(shù)、當(dāng)x1xx2時(shí)、f(x)0、f(x)為減函數(shù)、則xx1為極大值點(diǎn)、同理、xx3為極大值點(diǎn)、xx2、xx4為極小值點(diǎn)、故選C.2設(shè)函數(shù)f(x)ln x、則()Ax為f(x)的極大值點(diǎn)Bx為f(x)的極小值點(diǎn)Cx2為f(x)的極大值點(diǎn)Dx2為f(x)的極小值點(diǎn)Df(x)(x0)、當(dāng)0x2時(shí)、f(x)0、當(dāng)x2時(shí)、f(x)0、所以x2為f(x)的極小值點(diǎn)3函數(shù)yxex的最小值是_因?yàn)閥xex、所以yexxex(1x)ex.當(dāng)x1時(shí)、y0；當(dāng)x1時(shí)、y0、所以當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得最小值、且ymin.4函數(shù)f(x)xa ln x(a0)的極小值為_aa ln a因?yàn)閒(x)xa ln x(a0)、所以f(x)的定義域?yàn)?0、)、f(x)1(a0)、由f(x)0、解得xa.當(dāng)x(0、a)時(shí)、f(x)0；當(dāng)x(a、)時(shí)、f(x)0、所以函數(shù)f(x)在xa處取得極小值、且極小值為f(a)aa ln a(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁(yè))考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)、其導(dǎo)函數(shù)為f(x)、且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示、則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D由題圖可知、當(dāng)x2時(shí)、f(x)0；當(dāng)2x1時(shí)、f(x)0；當(dāng)1x2時(shí)、f(x)0；當(dāng)x2時(shí)、f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值、在x2處取得極小值可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零、是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求已知函數(shù)的極值已知函數(shù)f(x)(x2)(exax)、當(dāng)a0時(shí)、討論f(x)的極值情況解f(x)(exax)(x2)(exa)(x1)(ex2a)、a0、由f(x)0得x1或xln 2a.當(dāng)a時(shí)、f(x)(x1)(exe)0、f(x)在R上單調(diào)遞增、故f(x)無極值當(dāng)0a時(shí)、ln 2a1、當(dāng)x變化時(shí)、f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(、ln 2a)ln 2a(ln 2a、1)1(1、)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)有極大值f(ln 2a)a(ln 2a2)2、極小值f(1)ae.當(dāng)a時(shí)、ln 2a1、當(dāng)x變化時(shí)、f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(、1)1(1、ln 2a)ln 2a(ln 2a、)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)有極大值f(1)ae、極小值f(ln 2a)a(ln 2a2)2.綜上、當(dāng)0a時(shí)、f(x)有極大值a(ln 2a2)2、極小值ae；當(dāng)a時(shí)、f(x)無極值；當(dāng)a時(shí)、f(x)有極大值ae、極小值a(ln 2a2)2.求函數(shù)極值的一般步驟(1)先求函數(shù)f(x)的定義域、再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)(2)求f(x)0的根(3)判斷在f(x)0的根的左、右兩側(cè)f(x)的符號(hào)、確定極值點(diǎn)(4)求出具體極值教師備選例題設(shè)函數(shù)f(x)ln (x1)a(x2x)、其中aR.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)、并說明理由解f(x)a(2x1)(x1).令g(x)2ax2axa1、x(1、).當(dāng)a0時(shí)、g(x)1、此時(shí)f(x)0、函數(shù)f(x)在(1、)上單調(diào)遞增、無極值點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)、a28a(1a)a(9a8).a當(dāng)0a時(shí)、0、g(x)0、f(x)0.函數(shù)f(x)在(1、)上單調(diào)遞增、無極值點(diǎn)b當(dāng)a時(shí)、0、設(shè)方程2ax2axa10的兩根為x1、x2(x1x2)、因?yàn)閤1x2、所以x1、x2.由g(1)10、可得1x1.所以當(dāng)x(1、x1)時(shí)、g(x)0、f(x)0、函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x1、x2)時(shí)、g(x)0、f(x)0、函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x2、)時(shí)、g(x)0、f(x)0、函數(shù)f(x)單調(diào)遞增因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)、0、由g(1)10、可得x11x2.當(dāng)x(1、x2)時(shí)、g(x)0、f(x)0、函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x2、)時(shí)、g(x)0、f(x)0、函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)綜上所述、當(dāng)a0時(shí)、函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0a時(shí)、函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)、函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0、則ab_(2)若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間(、3)上有極值點(diǎn)、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)7(2)(2、)(1)由題意得f(x)3x26axb、則解得或經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a1、b3時(shí)、函數(shù)f(x)在x1處無法取得極值、而a2、b9滿足題意、故ab7.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(、3)上有極值點(diǎn)等價(jià)于f(x)0有2個(gè)不相等的實(shí)根且在(、3)內(nèi)有根、由f(x)0有2個(gè)不相等的實(shí)根、得a2或a2.由f(x)0在(、3)內(nèi)有根、得ax在(、3)內(nèi)有解、又x2、)、所以2a、綜上、a的取值范圍是(2、).已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組、利用待定系數(shù)法求解(2)驗(yàn)證：因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件、所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性教師備選例題若函數(shù)f(x)exa ln x2ax1在(0、)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)、則a的取值范圍為()A(e2、e)BC D(、e)Df(x)ex2a、(x0)由f(x)0得a.令g(x)(x0).由題意可知g(x)a在(0、)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)又g(x)(x0)、由g(x)0得0x1、且x.由g(x)0得x1.函數(shù)g(x)在、上遞增、在(1、)上遞減又g(0)0、g(1)e、結(jié)合圖形(圖略)可知a(、e)、故選D.1.若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)、則f(x)的極小值為()A1B2e3C5e3 D1A因?yàn)閒(x)(x2ax1)ex1、所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因?yàn)閤2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)、所以2是x2(a2)xa10的根、所以a1、f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0、解得x2或x1、令f(x)0、解得2x1、所以f(x)在(、2)上單調(diào)遞增、在(2、1)上單調(diào)遞減、在(1、)上單調(diào)遞增、所以當(dāng)x1時(shí)、f(x)取得極小值、且f(x)極小值f(1)1.2已知函數(shù)f(x)x(xc)2在x2處有極小值、則實(shí)數(shù)c的值為()A6 B2C2或6 D0B由f(2)0可得c2或6.當(dāng)c2時(shí)、結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)先增后減再增、在x2處取得極小值；當(dāng)c6時(shí)、結(jié)合圖象(圖略)可知、函數(shù)在x2處取得極大值故選B.3(20xx市質(zhì)量監(jiān)測(cè))若函數(shù)f(x)(x2ax3)ex在(0、)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(、2 B(、2)C(、3 D(、3)Cf(x)(2xa)ex(x2ax3)exx2(a2)xa3ex、令g(x)x2(a2)xa3.由題意知、g(x)在(0、)內(nèi)先減后增或先增后減、結(jié)合函數(shù)g(x)的圖象特征知、或解得a3.故選C.考點(diǎn)2用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)在a、b上的最大值、最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a、b)內(nèi)的極值(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)、f(b)比較、其中最大的為最大值、最小的為最小值(20xx全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2x3ax2b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a、b、使得f(x)在區(qū)間0、1的最小值為1且最大值為1？若存在、求出a、b的所有值；若不存在、說明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa).令f(x)0、得x0或x.若a0、則當(dāng)x(、0)時(shí)、f(x)0；當(dāng)x時(shí)、f(x)0.故f(x)在(、0)、單調(diào)遞增、在單調(diào)遞減若a0、f(x)在(、)單調(diào)遞增若a0、則當(dāng)x(0、)時(shí)、f(x)0；當(dāng)x時(shí)、f(x)0.故f(x)在、(0、)單調(diào)遞增、在單調(diào)遞減(2)滿足題設(shè)條件的a、b存在()當(dāng)a0時(shí)、由(1)知、f(x)在0、1單調(diào)遞增、所以f(x)在區(qū)間0、1的最小值為f(0)b、最大值為f(1)2ab.此時(shí)a、b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b1、2ab1、即a0、b1.()當(dāng)a3時(shí)、由(1)知、f(x)在0、1單調(diào)遞減、所以f(x)在區(qū)間0、1的最大值為f(0)b、最小值為f(1)2ab.此時(shí)a、b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab1、b1、即a4、b1.()當(dāng)0a3時(shí)、由(1)知、f(x)在0、1的最小值為fb、最大值為b或2ab.若b1、b1、則a3、與0a3矛盾若b1、2ab1、則a3或a3或a0、與0a3矛盾綜上、當(dāng)且僅當(dāng)a0、b1或a4、b1時(shí)、f(x)在0、1的最小值為1、最大值為1.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)、一要注意函數(shù)的定義域；二要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)、做到不重不漏(2)對(duì)于探索性問題、求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn)教師備選例題已知函數(shù)f(x)ln xax(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)、求函數(shù)f(x)在1、2上的最小值解(1)f(x)a(x0)、當(dāng)a0時(shí)、f(x)a0、即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0、).當(dāng)a0時(shí)、令f(x)a0、可得x、當(dāng)0x時(shí)、f(x)0；當(dāng)x時(shí)、f(x)0、故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為、單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上可知、當(dāng)a0時(shí)、函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0、)；當(dāng)a0時(shí)、函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為、單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)01、即a1時(shí)、函數(shù)f(x)在區(qū)間1、2上是減函數(shù)、所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.當(dāng)2、即0a時(shí)、函數(shù)f(x)在區(qū)間1、2上是增函數(shù)、所以f(x)的最小值是f(1)a.當(dāng)12、即a1時(shí)、函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)、在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a、所以當(dāng)aln 2時(shí)、最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a1時(shí)、最小值為f(2)ln 22a.綜上可知、當(dāng)0aln 2時(shí)、函數(shù)f(x)的最小值是f(1)a；當(dāng)aln 2時(shí)、函數(shù)f(x)的最小值是f(2)ln 22a.(20xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)k ln x、k、求函數(shù)f(x)在、e上的最大值和最小值解f(x).若k0、則f(x)在、e上恒有f(x)0、所以f(x)在、e上單調(diào)遞減若k0、則f(x).()若k0、則在、e上恒有0.所以f(x)在、e上單調(diào)遞減、()若k0、由k、得e、則x0在、e上恒成立、所以0、所以f(x)在、e上單調(diào)遞減綜上、當(dāng)k時(shí)、f(x)在、e上單調(diào)遞減、所以f(x)minf(e)k1、f(x)maxf()ek1.考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系、列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型、寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)、解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小、最大(小)者為最大(小)值(4)回歸實(shí)際問題、結(jié)合實(shí)際問題作答某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明、該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2、其中3x6、a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)、每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克、試確定銷售價(jià)格x的值、使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大解(1)因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)、y11、所以1011、解得a2.(2)由(1)可知、該商品每日的銷售量為y10(x6)2.所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2、3x6.則f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).于是、當(dāng)x變化時(shí)、f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(3、4)4(4、6)f(x)0f(x)極大值42由上表可得、當(dāng)x4時(shí)、函數(shù)f(x)取得極大值、也是最大值所以、當(dāng)x4時(shí)、函數(shù)