第五講-全等三角形與角平分線(綜合、拔高).doc

此文檔收集于網絡，僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網站刪除 第五講 全等三角形與角平分線 (綜合與拔高)一選擇題（共10小題）1如圖四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90，AB=BC+AD，DAC=45，E為CD上一點，且BAE=45若CD=4，則ABE的面積為（）ABCD2如圖，點P為定角AOB的平分線上的一個定點，且MPN與AOB互補，若MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數為（）A4B3C2D13如圖，在RtABC中，C=90，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則ABD的面積是（）A15B30C45D604如圖，AD是ABC中BAC的角平分線，DEAB于點E，SABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）A3B4C6D55如圖，在ABC中，ABC=50，ACB=60，點E在BC的延長線上，ABC的平分線BD與ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結論中不正確的是（）ABAC=70BDOC=90CBDC=35DDAC=556如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結論的個數是（）A1個B2個C3個D4個7如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B下列結論中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP8如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（）A1處B2處C3處D4處9如圖，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則三個結論AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正確B僅和正確C僅正確D僅和正確10如圖，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4B3C2D1二填空題（共10小題）11如圖，已知ABEACF，E=F=90，CMD=70，則2= 度12已知ABC中，AB=BCAC，作與ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出 個13AB是四邊形ACBE的對角線，AB=AC，過點C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45，BD=1，CD=5，則AE= 14如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，ABOADO下列結論：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所有正確結論的序號是 15如圖，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動 分鐘后CAP與PQB全等16如圖，ABC中，C=90，CA=CB，點M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點H若MH=8cm，則BG= cm17如圖，已知在ABC中，A=90，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，則DEB的周長為 cm18在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，則D到邊AB的距離是 19如圖，已知RtABCRtDEC，連結AD，若1=20，則B的度數是 20如圖，ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm點P從A點出發(fā)沿AC路徑向終點C運動；點Q從B點出發(fā)沿BCA路徑向終點A運動點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動，其中一點到達終點時另一點也停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PEl于E，QFl于F則點P運動時間為 時，PEC與QFC全等三解答題（共15小題）21如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖l），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段（不需要添加輔助線），并說明理由22如圖，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，BPD與CQP是否全等，請說明理由（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使BPD與CQP全等？23已知ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E（1）若BDAC，CFAB，如圖1所示，試說明BAC+BEC=180；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如圖2所示，試說明此時BAC與BEC的數量關系；（3）在（2）的條件下，若BAC=60，試說明：EF=ED24如圖，四邊形ABCD中，B=90，ABCD，M為BC邊上的一點，且AM平分BAD，DM平分ADC求證：（1）AMDM；（2）M為BC的中點25如圖，已知1=2，P為BN上的一點，PFBC于F，PA=PC求證：PCB+BAP=18026如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值27如圖1，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系答：AB與AP的數量關系和位置關系分別是 、 （2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結AP，BQ請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系答：BQ與AP的數量關系和位置關系分別是 、 （3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結AP、BQ你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由28如圖，ABC=90，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由29如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN30問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數量關系小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結論，他的結論應是 ；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時兩艦艇之間的距離31如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作ADAB交BE的延長線于點D，CG平分ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE32如圖，點E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，垂足分別為C、D求證：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是線段CD的垂直平分線33如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長34四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180求證：2AE=AB+AD35如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是 ；設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是 （2）猜想論證當DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DEAB交BC于點E（如圖4）若在射線BA上存在點F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應的BF的長參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1如圖四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90，AB=BC+AD，DAC=45，E為CD上一點，且BAE=45若CD=4，則ABE的面積為（） ABCD【解答】解：如圖取CD的中點F，連接BF延長BF交AD的延長線于G，作FHAB于H，EKAB于K作BTAD于TBCAG，BCF=FDG，BFC=DFG，F(xiàn)C=DF，BCFGDF，BC=DG，BF=FG，AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，AB=AG，BF=FG，BFAF，ABF=G=CBF，F(xiàn)HBA，F(xiàn)CBC，F(xiàn)H=FC，易證FBCFBH，F(xiàn)AHFAD，BC=BH，AD=AH，由題意AD=DC=4，設BC=TD=BH=x，在RtABT中，AB2=BT2+AT2，（x+4）2=42+（4x）2，x=1，BC=BH=TD=1，AB=5，設AK=EK=y，DE=z，AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，42+z2=2y2，（5y）2+y2=12+（4z）2由得到2510y+2y2=58z+z2，代入可得z=代入可得y=（負根已經舍棄），SABE=5=，故選D2如圖，點P為定角AOB的平分線上的一個定點，且MPN與AOB互補，若MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數為（） A4B3C2D1【解答】解：如圖作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90，EPF+AOB=180，MPN+AOB=180，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正確，SPEM=SPNF，S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正確，MN的長度是變化的，故（4）錯誤，故選B3如圖，在RtABC中，C=90，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則ABD的面積是（） A15B30C45D60【解答】解：由題意得AP是BAC的平分線，過點D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面積=ABDE=154=30故選B4如圖，AD是ABC中BAC的角平分線，DEAB于點E，SABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（） A3B4C6D5【解答】解：如圖，過點D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分線，DEAB，DE=DF，由圖可知，SABC=SABD+SACD，42+AC2=7，解得AC=3故選：A5如圖，在ABC中，ABC=50，ACB=60，點E在BC的延長線上，ABC的平分線BD與ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結論中不正確的是（）ABAC=70BDOC=90CBDC=35DDAC=55【解答】解：ABC=50，ACB=60，BAC=180ABCACB=1805060=70，故A選項正確，BD平分ABC，ABO=ABC=50=25，在ABO中，AOB=180BACABO=1807025=85，DOC=AOB=85，故B選項錯誤；CD平分ACE，ACD=（18060）=60，BDC=1808560=35，故C選項正確；BD、CD分別是ABC和ACE的平分線，AD是ABC的外角平分線，DAC=（18070）=55，故D選項正確故選：B6如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結論的個數是（） A1個B2個C3個D4個【解答】解：連接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90，DFE是等腰直角三角形（故正確）；當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CEDF是正方形（故錯誤）；如圖2所示，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N，可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故錯誤）；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，當EFAB時，AE=CF，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，故EF是ABC的中位線，EF取最小值=2 ，CE=CF=2，此時點C到線段EF的最大距離為EF=（故正確）；故正確的有2個，故選：B7如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B下列結論中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP【解答】解：OP平分AOB，PAOA，PBOBPA=PBOPAOPBAPO=BPO，OA=OBA、B、C項正確設PO與AB相交于EOA=OB，AOP=BOP，OE=OEAOEBOEAEO=BEO=90OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故選D8如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（）A1處B2處C3處D4處【解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個內角平分線的交點，共一處；（2）三個外角兩兩平分線的交點，共三處故選：D9如圖，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，則三個結論AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正確B僅和正確C僅正確D僅和正確【解答】解：PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，AP=APARPASP（HL）AS=AR，RAP=SAPAQ=PQQPA=SAPRAP=QPAQPAR而在BPR和QSP中，只滿足BRP=QSP=90和PR=PS，找不到第3個條件，所以無法得出BPRQSP故本題僅和正確故選B10如圖，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（） A4B3C2D1【解答】解：過P作PEOA于點E，則PD=PE，PCOBOPC=POD，又OP平分AOB，AOB=30，OPC=COP=15，ECP=COP+OPC=30，在直角ECP中，PE=PC=3，則PD=PE=3故選B二填空題（共10小題）11如圖，已知ABEACF，E=F=90，CMD=70，則2=20度【解答】解：AME=CMD=70在AEM中1=1809070=20ABEACF，EAB=FAC，即1+CAB=2+CAB，2=1=20故填2012已知ABC中，AB=BCAC，作與ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出7個【解答】解：以AB為公共邊有三個，以CB為公共邊有三個，以AC為公共邊有一個，所以一共能作出7個故答案為：713AB是四邊形ACBE的對角線，AB=AC，過點C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45，BD=1，CD=5，則AE=【解答】解：連接AD，過A分別作DC、BE的垂線，垂足分別為F、G，過E作EHAD于H，AE=DE，ADE=DAE，CDAE，CDA=DAE，ADE=CDA，AGBE，AFCD，AG=AF，AGD=AFD=90，AD=AD，AGDAFD，DG=FD，AGB=AFC=90，AB=AC，AGBAFC，ABG=ACD=45，F(xiàn)AC=45，F(xiàn)AC=ACF，AF=CF，DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5，設DG=t，則AG=5t，AG=BG=5t，BG=BD+DG=1+t，5t=1+t，t=2，DG=2，AG=3，AD=，在ADE中，AE=DE，EHAD，AH=AD=，在RtAEH中，cosDAE=，在RtADG中，cosADE=，AE=14如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，ABOADO下列結論：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所有正確結論的序號是【解答】解：ABOADO，AOB=AOD=90，OB=OD，ACBD，故正確；四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，COB=COD=90，在ABC和ADC中，ABCADC（SAS），故正確BC=DC，故正確；故答案為15如圖，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動4分鐘后CAP與PQB全等【解答】解：CAAB于A，DBAB于B，A=B=90，設運動x分鐘后CAP與PQB全等；則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12x）m，分兩種情況：若BP=AC，則x=4，AP=124=8，BQ=8，AP=BQ，CAPPBQ；若BP=AP，則12x=x，解得：x=6，BQ=12AC，此時CAP與PQB不全等；綜上所述：運動4分鐘后CAP與PQB全等；故答案為：416如圖，ABC中，C=90，CA=CB，點M在線段AB上，GMB=A，BGMG，垂足為G，MG與BC相交于點H若MH=8cm，則BG=4cm 【解答】解：如圖，作MDBC于D，延長MD交BG的延長線于E，ABC中，C=90，CA=CB，ABC=A=45，GMB=A，GMB=A=22.5，BGMG，BGM=90，GBM=9022.5=67.5，GBH=EBMABC=22.5MDAC，BMD=A=45，BDM為等腰直角三角形BD=DM，而GBH=22.5，GM平分BMD，而BGMG，BG=EG，即BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90，MHD=E，GBD=90E，HMD=90E，GBD=HMD，在BED和MHD中，BEDMHD（AAS），BE=MH，BG=MH=4故答案是：417如圖，已知在ABC中，A=90，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，則DEB的周長為15cm【解答】解：CD平分ACBACD=ECDDEBC于EDEC=A=90CD=CDACDECDAC=EC，AD=EDA=90，AB=ACB=45BE=DEDEB的周長為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm18在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，則D到邊AB的距離是6【解答】解：BC=15，BD：DC=3：2CD=6C=90AD平分BACD到邊AB的距離=CD=6故答案為：619如圖，已知RtABCRtDEC，連結AD，若1=20，則B的度數是65【解答】解：RtABCRtDEC，AC=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=45，DEC=1+CAD=20+45=65，由RtABCRtDEC的性質得B=DEC=65故答案為：6520如圖，ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm點P從A點出發(fā)沿AC路徑向終點C運動；點Q從B點出發(fā)沿BCA路徑向終點A運動點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動，其中一點到達終點時另一點也停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PEl于E，QFl于F則點P運動時間為1或時，PEC與QFC全等【解答】解：如圖1所示；PEC與QFC全等，PC=QC6t=83t解得：t=1如圖2所示：點P與點Q重合，PEC與QFC全等，6t=3t8解得：t=故答案為：1或四解答題（共15小題）21如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點（1）直線BF垂直于CE于點F，交CD于點G（如圖l），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段（不需要添加輔助線），并說明理由【解答】解：（1）點D是AB中點，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45，CAE=BCG，又BFCE，CBG+BCF=90，又ACE+BCF=90，ACE=CBG，在AEC和CGB中，AECCGB（ASA），AE=CG；（2）BE=CM理由：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+MCH=90，CMA=BEC，又ACM=CBE=45，在BCE和CAM中，BCECAM（AAS），BE=CM22如圖，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，BPD與CQP是否全等，請說明理由（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使BPD與CQP全等？【解答】解：（1）經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，ABC中，AB=AC，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）（2）設點Q的運動速度為x（x3）cm/s，經過tsBPD與CQP全等；則可知PB=3tcm，PC=83tcm，CQ=xtcm，AB=AC，B=C，根據全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：當BD=PC，BP=CQ時，當BD=CQ，BP=PC時，兩三角形全等；當BD=PC且BP=CQ時，83t=5且3t=xt，解得x=3，x3，舍去此情況；BD=CQ，BP=PC時，5=xt且3t=83t，解得：x=；故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使BPD與CQP全等23已知ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E（1）若BDAC，CFAB，如圖1所示，試說明BAC+BEC=180；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如圖2所示，試說明此時BAC與BEC的數量關系；（3）在（2）的條件下，若BAC=60，試說明：EF=ED【解答】解：（1）BDAC，CFAB，DCE+DEC=DCE+FAC=90，DEC=BAC，DEC+BEC=180，BAC+BEC=180；（2）BD平分ABC，CF平分ACB，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180（EBC+ECB）=180（ABC+ACB）=180（180BAC）=90BAC；（3）作BEC的平分線EM交BC于M，BAC=60，BEC=90+BAC=120，F(xiàn)EB=DEC=60，EM平分BEC，BEM=60，在FBE與EBM中，F(xiàn)BEEBM，EF=EM，同理DE=EM，EF=DE24如圖，四邊形ABCD中，B=90，ABCD，M為BC邊上的一點，且AM平分BAD，DM平分ADC求證：（1）AMDM；（2）M為BC的中點 【解答】解：（1）ABCD，BAD+ADC=180，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180，MAD+ADM=90，AMD=90，即AMDM；（2）作NMAD交AD于N，B=90，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M為BC的中點25如圖，已知1=2，P為BN上的一點，PFBC于F，PA=PC求證：PCB+BAP=180 【解答】證明：如圖，過點P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90，在RtPEA與RtPFC中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=18026如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C點的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰RtAPD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值【解答】解：（1）如圖1，過C作CMx軸于M點，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，則MAC=OBA，在MAC和OBA中MACOBA（AAS），CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，點C的坐標為（6，2）（2）如圖2，過D作DQOP于Q點，則DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90，APO+OAP=90，QPD=OAP，在AOP和PQD中，AOPPQD（AAS）PQ=OA=2即OPDE=227如圖1，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系答：AB與AP的數量關系和位置關系分別是AB=AP、ABAP（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結AP，BQ請你觀察、測量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系答：BQ與AP的數量關系和位置關系分別是BQ=AP、BQAP（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結AP、BQ你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由【解答】解：（1）AB=AP，ABAP；（2）BQ=AP，BQAP；（3）成立證明：如圖，EPF=45，CPQ=45ACBC，CQP=CPQ，CQ=CP在RtBCQ和RtACP中，RtBCQRtACP（SAS）BQ=AP；延長QB交AP于點N，PBN=CBQRtBCQRtACP，BQC=APC在RtBCQ中，BCQ+CBQ=90，APC+PBN=90PNB=90QBAP28如圖，ABC=90，D、E分別在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由【解答】（1）證明：ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點，DFAE，DF=AF=EF，又ABC=90，DCF，AMF都與MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，F(xiàn)MC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，F(xiàn)DE=FMC=45，DECM，ADMC29如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN 【解答】證明：（1）BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，F(xiàn)CBC，BCF=90，ACF=9045=45，B=ACF，BAC=90，F(xiàn)AAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如圖，過點E作EHAB于H，則BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC；由題意得，CAE=45+45=67.5，CEA=1804567.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=45=22.5，又DAE=45=22.5，DAE=ECM，BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN30問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數量關系小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結論，他的結論應是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時兩艦艇之間的距離【解答】解：問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的條件，結論EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此時兩艦艇之間的距離是210海里31如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作ADAB交BE的延長線于點D，CG平分ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE 【解答】證明：（1）ACB=90，CG平分ACB，ACG=BCG=45，又ACB=90，AC=BC，CAF=CBF=45，CAF=BCG，在AFC與CGB中，AFCCBG（ASA），AF=CG；（2）延長CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，ADAB，ADCG，D=EGC，在ADE與CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，CH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE32如圖，點E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，垂足分別為C、D求證：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是線段CD的垂直平分線 【解答】證明：（1）OE平分AOB，ECOA，EDOB，ED=EC，即CDE為等腰三角形，ECD=EDC；（2）點E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，DOE=COE，ODE=OCE=90，OE=OE，OEDOEC（AAS），OC=OD；（3）OC=OD，且DE=EC，OE是線段CD的垂直平