三2000年2003年新課程高考試題及解答回放.doc

“概率”和“概率與統(tǒng)計”考點分析與復習建議長興中學 陳光明“概率”一章（俗稱古典概率），包括隨機事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，獨立重復試驗；“概率與統(tǒng)計”一章包括離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的期望值與方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計，線性回歸。因此，兩章以十分重要的內(nèi)容進入高中數(shù)學新教材，并且從2000年起進入了高考數(shù)學新課程卷，歷經(jīng)四年的命題實踐，高考對“概率”和“概率與統(tǒng)計”的考查的思路已基本成熟，2004年高考對兩章的考查內(nèi)容有哪些？要求如何？命題以怎樣的形式出現(xiàn)，是我們每一位高三教師必須思考的問題，也是每一位高三學生關注的問題。為此，本文以2004數(shù)學新課程考試說明為依據(jù)，以近四年全國新課程試題及部分省市03、04年高考模擬試題為背景進行說明，期望在復習時有所啟迪。一、考試要求1、 高考對“概率”考查的要求可分為三個層次：第一層次是主要是考查“概率”的幾個事件的基本求法，明確用什么方法解決各種事件的公式，明確必然事件和不可能事件的概率的和為1，明確互斥事件，對立事件的集合表示及相互關系，主要運用手段是排列組合。第二層次是“至多”、“至少”、“或”、“且”等情況在某些事件中的概率求法。第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將電路圖、摸獎、抽獎等實際問題與幾個事件整合在一起的綜合題。2、 高考對“概率與統(tǒng)計”考查的要求可分為二個層次：理科：第一層次：了解離散型隨機變量的意義，即P1+P2+=1了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義（特別是實際問題的說明）；了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)；了解線性回歸方法和簡單應用。第二層次：會在一些實際問題中求出離散型隨機變量的分布列，編制分布列，并根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值與方差；會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用方法從總體中抽出樣本，會用樣本頻率分布去估計總體分布。特別強調(diào)正態(tài)分布和線性回歸的有關計算沒有列入考試內(nèi)容。文科：第一層次：了解隨機抽樣，了解分層抽樣的意義第二層次：會解決隨機抽樣、分層抽樣的一些簡單問題會用樣本頻率分布估計總體分布；會用樣本估計總體期望值和方差二、考點分析下面是近4年全國新課程卷對“概率”和“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容考查的情況：科別年份題型題量分值考查內(nèi)容文科2000填空題解答題13174分10分本題主要考查抽樣方法的概率計算的能力本題主要考查等可能事件的概率計算及解決實際問題的能力2001填空題解答題14194分12分本題主要考查分層抽樣的個體數(shù)的計算能力本題主要考查獨立事件和互斥事件有一個發(fā)生的概率及解決實際問題的能力2002填空題解答題14204分12分本題主要考查標準差在實際問題中的解釋能力本題主要考查對立事件和獨立重復試驗在實際問題中的解決能力2003填空題解答題14204分12分本題主要考查分層抽樣方法計算的能力本題主要考查相互獨立事件概率的計算及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力理科2000填空題解答題13174分10分本題主要考查等可能事件及離散型隨機分布列的能力本題主要考查等可能事件的概率計算及解決實際問題的能力2001填空題解答題14184分12分本題主要考查等可能事件的概率、分列分布列和期望的能力本題主要考查獨立事件的概率及解決實際問題的能力2002填空題解答題14194分12分本題主要考查抽樣問題的能力本題主要考查對立事件和獨立重復試驗在實際問題中的解決能力2003填空題解答題14204分12分本題主要考查分層抽樣方法計算的能力本題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念及運用概率知識解決實際問題的能力綜觀以上表格，兩章題目均以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，且題量趨于穩(wěn)定，題型逐步后移，分值從原來的14分增加到16分。2004年將仍會保持16分左右，要以說解答題的位置的后移，難度逐年在增加?？疾榈臒狳c主要是等可能事件、互斥事件、獨立事件的概率的求法，離散型隨機分布列的求法、期望和方差的求法、抽樣方法的計算。三、2000年2003年新課程高考試題及解答回放1 2000年試題及答案（1）（理）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品的概率分布是0120.90250.0950.0025（2）（文理）甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個。甲、乙二人依次各抽一題。 （I）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。 或 ，所求概率為。（3）（文）從含有500個個體的總體中一次性地抽取25個個體，假定其中每個個體被抽到的概率相等，那么總體中的每個個體被抽取的概率等于_0.05_。22001年高考試題及答案（1）（理）一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望為 1.2 .（用數(shù)字作答）(2)(文理) N1N2N1N2如圖，用A、B、C三類不同的無件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2當元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2 A B C B C A 解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件 P（A）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90. （I）因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率 P1=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.800.900.90=0.648. 故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648. （II）系統(tǒng)N2正常工作的概率 故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.(3)(文) 一個工廠在若干個車間，今采用分層抽樣方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個容量為128的樣本進行質(zhì)量檢查，若一車間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為 16 32002年高考試題及答案(1)（文理）某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立），1）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；2）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？解： 1）至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率，即 。2）至少4人同時上網(wǎng)的概率為，至少5人同時上網(wǎng)的概率為，因此，至少5人同時上網(wǎng)的概率小于 。（2）（文）甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2 ）: 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲種。4 2003年高考試題及答案（1）（文理）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取_6_，_30_，_10_輛。（2）（理）A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3 。按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率A1對B1A2對B2A3對B3現(xiàn)按表中對陣方式出場, 每場勝隊得1分, 負隊得0分。設A隊、B隊最后總分分別為 x、h。 () 求 x、h 的概率分布；() 求Ex、Eh。解：() x、h 的可能取值分別為3, 2, 1, 0. P(x = 3) = （即A隊連勝3場） P(x = 2) = （即A隊共勝2場） P(x = 1) = （即A隊恰勝1場） P(x = 0) = （即A隊連負3場）根據(jù)題意知 x + h = 3，所以 P(h = 0) = P(x = 3) = ，P(h = 1) = P(x = 2) = ， P(h = 2) = P(x = 1) = ，P(h = 3) = P(x = 0) = 。() Ex = ； 因為x + h = 3，所以Eh = 3 Ex =。（3）（文）在三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗. （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有兩件不合格的概率. （精確到0.001）四、考點例析及復習建議1、理清脈絡體系從結(jié)構化觀點看，概率論與集合論、數(shù)理邏輯中相應有如下對應關系：集合論數(shù)理邏輯概率論子集命題事件全集真命題必然事件（樣本空間）空集假命題不可能事件AB若A發(fā)生，則B發(fā)生A=BAB（事件）等價A= BA + B（至少發(fā)生一個）AB（同時發(fā)生）A的補集A（對立事件）事件這一概念對應集合論中的子集、數(shù)理邏輯中的命題概念，在復習中注意三者的聯(lián)系與思想方法轉(zhuǎn)化更有利于學生掌握三者本質(zhì)及三者之間的聯(lián)系，對解決概率與統(tǒng)計問題受益匪淺。2、幾種常見題型的解法。（1）從分類問題角度求概率例1（日本高考題）袋內(nèi)有9個白球和3個紅球，從袋中任意地順次取出三個球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。解：設A1=“三次都是白球”，則P（A1）=A2=“一、三次白球，第二次紅球”，則P（A2）=A3=“第一次紅球，二、三次為白球”，則P（A3）=;A4=“一、二次紅球，第三次白球”，則P（A4）=而A1、A2、A3、A4互斥，又記A=“第三次取出的球是白球”，則P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=說明：本題中關鍵是學會分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出結(jié)論，主要以“+”號連接，另外本題也可由P= 得出，請讀者琢磨。（2）從不等式大小比較的角度看概率例2 “幸運52”知識競猜電視節(jié)目，為每位選手準備5道試題，每道題設“Yes”與“No”兩個選項，其中只有一個是正確的，選手每答對一題，獲得一個商標，假設甲、乙兩位選手僅憑猜測獨立答題，是否有99%的把握斷定甲、乙兩位選手中至少有一位獲得1個或1個以上的商標？解：設甲沒有獲得商標的事件為A，乙沒有獲得商標的事件為B，則P（A）=P（B）=甲、乙沒有獲得商標的事件為C，則P（C）=P（AB）=P（A）P（B）。又設甲、乙兩選手中至少有一位獲得1個或1個以上的商標的事件為D。P（D）=1- P（C）=1- 故有99%的把握作出如此斷定。說明：本題中關鍵要熟悉事件D對立事件是C，則P（D）=1-P（C），主要以“-”號連接，本題也可由1-進行比較。（3）從“至多”、“至少”的角度看概率.例3 （03年高考江蘇題）有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90、0.95和0.95，各取一件進行檢驗。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）。解：設三種產(chǎn)品各抽取一件是合格產(chǎn)品的事件分別為A、B、C。（I）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，因為A、B、C相互獨立，恰有一件不合格的概率為（II）至少有兩件不合格的概率答：（略）。說明：本題重點考查相互獨立事件積的概率，主要以“”連接P（A）、P（B）、P（C）以及P、P、P。另外（II）也可由P=1-P（ABC）-0.176=1-P（A）P（B）P（C）-0.176得出。另外：2000年高考天津題也屬于此類題目。（4）從“或”、“且”的角度看概率例4甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或被乙解出的概率為0.92。（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差。解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B。設甲獨立解出此題的概率為P1，乙為P2則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1-P0.6+P2-0.6P2=0.92.則0.4P2=0.32 即P2=0.8（5分）（2）的概率分布列：012P0.080.440.48E=00.08 + 10.44 + 20.48 = 1.4D=（0-1.4）20.08 + (1-1.4)20.44 + (2-1.4)20.48=0.4或利用D=E（2）-（E）2 = 2.36-1.96=0.4另外如將此題中的“或”改為“且”，處理方法怎樣，請同學思考。（5）從概率的不穩(wěn)定性的角度看概率例5、 某種電路開關閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是1/2，從開關第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是1/3，出現(xiàn)綠燈的概率是2/3；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是3/5，出現(xiàn)綠燈的概率是2/5，問：1）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？2）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈，兩次綠燈的概率是多少？解：（1）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是1/21/3。如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率是1/23/5以上兩種情況彼此互斥，所以，第二次出現(xiàn)紅燈概率為：1/21/3 + 1/23/5=7/15（2）題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈，兩次綠燈的情況共有如下三種方式：出現(xiàn)綠、綠、紅的概率為：1/22/53/5出現(xiàn)綠、紅、綠的概率為：1/23/52/3出現(xiàn)紅、綠、綠的概率為：1/22/32/5以上三種情況彼此互斥，所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為：1/22/53/5 + 1/23/52/3 + 1/22/33/5 = 34/753、幾種概率的熱點問題電路圖問題：在前面已講解，即2001年高考文理題.分房問題：例6、 有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住（nN），求下列事件的概率.1）指定的n個房間各有一個人??；2）恰好有n個房間，其中各住一人。分析 因為每一個人有N個房間可供選擇，所以n個人住的方式有Nn種，它們是等可能的，在1）式中，指定的n個房間各有一個人住，其可能總數(shù)為n！，于是P1=在2）中，n個房間可以在N個房間中任意選取，然后對選定的n個房間，按1）的方式分配，于是P2 =“分房問題”所描述的模型在統(tǒng)計物理學中有重要應用例7、 某班有n個人（n365），那么至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？假定一年365天，把365當作365個“房間”，則問題就可以歸結(jié)為“分房問題”，這時，“n個人的生日全不相同”就相當于：“恰有n個房間，其中各住一人”。令A =n個人中至少有兩個人的生日相同，則=n個人的生日全不相同，而這個例子中，直接求P（A），比較麻煩，而利用對立事件求解就簡單多了，這是有名的“生日問題”，對不同的一些n值，計算得相應的P（A）值如下表： N102023304050P（A）0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案可能會引起多數(shù)人的驚奇，這件事情發(fā)生的概率，并不如大多數(shù)人直覺中想象的那樣小，而是相當大，這說明了“直覺”并不可靠，也說明了研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的重要性。抽獎問題前面已有例2所舉。期望和方差問題期望和方差的現(xiàn)實生活中的解釋，歷年高考只涉及求值，而沒有涉及到解釋，這方面應引起高度重視。（一）、商品流通問題例9、 春節(jié)期間，某鮮花店某種鮮花的進貨價為每束2.5元，銷售價為每束5元，若在春節(jié)期間內(nèi)沒有售完，則在春節(jié)期間營業(yè)結(jié)束后以每束1.5元的價格處理，據(jù)前5年的有關資料統(tǒng)計，春節(jié)期間這種鮮花的需求量X服從以下分布：X20304050P0.200.350.300.15問該鮮花店今年春節(jié)前應進該鮮花多少束為宜？分析 售出一束鮮花能得利潤2.5元，處理一束鮮花則將虧損1元，由于鮮花的需求量X為隨機變量，為決定進貨量y，應先求出在不同進貨量時利潤的期望值E。解 若進貨量y=20，則P得利潤的期望值E1=1202.5=50（元）；若進貨量y=30，由P 得利潤的期望值E2=0.20（202.5-101） + 0.8302.5=68(元)；若進貨量y=40，由P 得利潤的期望值E3=0.20（202.5-201）+ 0.35（302.5-101）+ 0.45402.5= 73.75（元）；若進貨量y=50，得利潤的期望值E4= 0.20(202.5-301)+ 0.35(302.5-201)+ 0.3(402.5-101)+ 0.15502.5=69(元)。故利潤期望值的最大值為E3 = 73.75（元），因此，鮮花的最佳進貨量為40束。2、資金投資問題例10、 某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息，買股票的收益主要取決于經(jīng)濟形勢，假設可分三種狀態(tài)；形勢好、形勢中等、形勢不好（即經(jīng)濟衰退），若形勢好可獲利40000元；若形勢中等可獲利10000元；若形勢不好要損失20000元。如果是存入銀行，假設年利率為8%，即可得利息8000元，又設年經(jīng)濟形勢好、中等、不好的概率分別為30%，50%和20%，試問該投資者應選擇哪一種投資方案？分析 購買股票的收益與經(jīng)濟形勢有關，存入銀行的收益與經(jīng)濟形勢無關，因此，要確定選擇哪一種方案，就必須通過計算這兩種投資方案對應的收益期望值E來進行判斷。解 由題設，一年中兩種投資方式在不同的經(jīng)濟形勢下對應的收益與概率如下表所示：購買股票狀態(tài)經(jīng)濟形勢經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益4000010000-20000概率0.30.50.2存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟形勢經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益800080008000概率0.30.50.2從上表可以初步看出，如果購買股票在經(jīng)濟形勢好和經(jīng)濟形勢中等的情況下是合算的，但如果經(jīng)濟形勢不好，則采取存入銀行的方案比較好，下面通過計算加以分析。如果購買股票，其收益的期望值E1=400000.3+ 100000.5+（-20000）0.2=13000（元）；如果存入銀行，其收益的期望值E2=80000.3+ 80000.