三2000年2003年新課程高考試題及解答回放.doc

“概率”和“概率與統(tǒng)計(jì)”考點(diǎn)分析與復(fù)習(xí)建議長(zhǎng)興中學(xué) 陳光明“概率”一章（俗稱古典概率），包括隨機(jī)事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；“概率與統(tǒng)計(jì)”一章包括離散型隨機(jī)變量的分布列，離散型隨機(jī)變量的期望值與方差，抽樣方法，總體分布的估計(jì)，正態(tài)分布，總體特征數(shù)的估計(jì)，線性回歸。因此，兩章以十分重要的內(nèi)容進(jìn)入高中數(shù)學(xué)新教材，并且從2000年起進(jìn)入了高考數(shù)學(xué)新課程卷，歷經(jīng)四年的命題實(shí)踐，高考對(duì)“概率”和“概率與統(tǒng)計(jì)”的考查的思路已基本成熟，2004年高考對(duì)兩章的考查內(nèi)容有哪些？要求如何？命題以怎樣的形式出現(xiàn)，是我們每一位高三教師必須思考的問題，也是每一位高三學(xué)生關(guān)注的問題。為此，本文以2004數(shù)學(xué)新課程考試說明為依據(jù)，以近四年全國(guó)新課程試題及部分省市03、04年高考模擬試題為背景進(jìn)行說明，期望在復(fù)習(xí)時(shí)有所啟迪。一、考試要求1、 高考對(duì)“概率”考查的要求可分為三個(gè)層次：第一層次是主要是考查“概率”的幾個(gè)事件的基本求法，明確用什么方法解決各種事件的公式，明確必然事件和不可能事件的概率的和為1，明確互斥事件，對(duì)立事件的集合表示及相互關(guān)系，主要運(yùn)用手段是排列組合。第二層次是“至多”、“至少”、“或”、“且”等情況在某些事件中的概率求法。第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將電路圖、摸獎(jiǎng)、抽獎(jiǎng)等實(shí)際問題與幾個(gè)事件整合在一起的綜合題。2、 高考對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”考查的要求可分為二個(gè)層次：理科：第一層次：了解離散型隨機(jī)變量的意義，即P1+P2+=1了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義（特別是實(shí)際問題的說明）；了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)；了解線性回歸方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。第二層次：會(huì)在一些實(shí)際問題中求出離散型隨機(jī)變量的分布列，編制分布列，并根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值與方差；會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用方法從總體中抽出樣本，會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布。特別強(qiáng)調(diào)正態(tài)分布和線性回歸的有關(guān)計(jì)算沒有列入考試內(nèi)容。文科：第一層次：了解隨機(jī)抽樣，了解分層抽樣的意義第二層次：會(huì)解決隨機(jī)抽樣、分層抽樣的一些簡(jiǎn)單問題會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；會(huì)用樣本估計(jì)總體期望值和方差二、考點(diǎn)分析下面是近4年全國(guó)新課程卷對(duì)“概率”和“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容考查的情況：科別年份題型題量分值考查內(nèi)容文科2000填空題解答題13174分10分本題主要考查抽樣方法的概率計(jì)算的能力本題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及解決實(shí)際問題的能力2001填空題解答題14194分12分本題主要考查分層抽樣的個(gè)體數(shù)的計(jì)算能力本題主要考查獨(dú)立事件和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率及解決實(shí)際問題的能力2002填空題解答題14204分12分本題主要考查標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際問題中的解釋能力本題主要考查對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在實(shí)際問題中的解決能力2003填空題解答題14204分12分本題主要考查分層抽樣方法計(jì)算的能力本題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力理科2000填空題解答題13174分10分本題主要考查等可能事件及離散型隨機(jī)分布列的能力本題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及解決實(shí)際問題的能力2001填空題解答題14184分12分本題主要考查等可能事件的概率、分列分布列和期望的能力本題主要考查獨(dú)立事件的概率及解決實(shí)際問題的能力2002填空題解答題14194分12分本題主要考查抽樣問題的能力本題主要考查對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在實(shí)際問題中的解決能力2003填空題解答題14204分12分本題主要考查分層抽樣方法計(jì)算的能力本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力綜觀以上表格，兩章題目均以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，且題量趨于穩(wěn)定，題型逐步后移，分值從原來的14分增加到16分。2004年將仍會(huì)保持16分左右，要以說解答題的位置的后移，難度逐年在增加。考查的熱點(diǎn)主要是等可能事件、互斥事件、獨(dú)立事件的概率的求法，離散型隨機(jī)分布列的求法、期望和方差的求法、抽樣方法的計(jì)算。三、2000年2003年新課程高考試題及解答回放1 2000年試題及答案（1）（理）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品的概率分布是0120.90250.0950.0025（2）（文理）甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)。甲、乙二人依次各抽一題。 （I）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？ （II）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。 或 ，所求概率為。（3）（文）從含有500個(gè)個(gè)體的總體中一次性地抽取25個(gè)個(gè)體，假定其中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，那么總體中的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率等于_0.05_。22001年高考試題及答案（1）（理）一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 1.2 .（用數(shù)字作答）(2)(文理) N1N2N1N2如圖，用A、B、C三類不同的無件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1、P2 A B C B C A 解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件 P（A）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90. （I）因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率 P1=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.800.900.90=0.648. 故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648. （II）系統(tǒng)N2正常工作的概率 故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.(3)(文) 一個(gè)工廠在若干個(gè)車間，今采用分層抽樣方法從全廠某天的2048件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為128的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若一車間這一天生產(chǎn)256件產(chǎn)品，則從該車間抽取的產(chǎn)品件數(shù)為 16 32002年高考試題及答案(1)（文理）某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立），1）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；2）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？解： 1）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率，即 。2）至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為，因此，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于 。（2）（文）甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2 ）: 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲種。4 2003年高考試題及答案（1）（文理）某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取_6_，_30_，_10_輛。（2）（理）A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3 。按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1對(duì)B1A2對(duì)B2A3對(duì)B3現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng), 每場(chǎng)勝隊(duì)得1分, 負(fù)隊(duì)得0分。設(shè)A隊(duì)、B隊(duì)最后總分分別為 x、h。 () 求 x、h 的概率分布；() 求Ex、Eh。解：() x、h 的可能取值分別為3, 2, 1, 0. P(x = 3) = （即A隊(duì)連勝3場(chǎng)） P(x = 2) = （即A隊(duì)共勝2場(chǎng)） P(x = 1) = （即A隊(duì)恰勝1場(chǎng)） P(x = 0) = （即A隊(duì)連負(fù)3場(chǎng)）根據(jù)題意知 x + h = 3，所以 P(h = 0) = P(x = 3) = ，P(h = 1) = P(x = 2) = ， P(h = 2) = P(x = 1) = ，P(h = 3) = P(x = 0) = 。() Ex = ； 因?yàn)閤 + h = 3，所以Eh = 3 Ex =。（3）（文）在三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn). （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有兩件不合格的概率. （精確到0.001）四、考點(diǎn)例析及復(fù)習(xí)建議1、理清脈絡(luò)體系從結(jié)構(gòu)化觀點(diǎn)看，概率論與集合論、數(shù)理邏輯中相應(yīng)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：集合論數(shù)理邏輯概率論子集命題事件全集真命題必然事件（樣本空間）空集假命題不可能事件AB若A發(fā)生，則B發(fā)生A=BAB（事件）等價(jià)A= BA + B（至少發(fā)生一個(gè)）AB（同時(shí)發(fā)生）A的補(bǔ)集A（對(duì)立事件）事件這一概念對(duì)應(yīng)集合論中的子集、數(shù)理邏輯中的命題概念，在復(fù)習(xí)中注意三者的聯(lián)系與思想方法轉(zhuǎn)化更有利于學(xué)生掌握三者本質(zhì)及三者之間的聯(lián)系，對(duì)解決概率與統(tǒng)計(jì)問題受益匪淺。2、幾種常見題型的解法。（1）從分類問題角度求概率例1（日本高考題）袋內(nèi)有9個(gè)白球和3個(gè)紅球，從袋中任意地順次取出三個(gè)球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。解：設(shè)A1=“三次都是白球”，則P（A1）=A2=“一、三次白球，第二次紅球”，則P（A2）=A3=“第一次紅球，二、三次為白球”，則P（A3）=;A4=“一、二次紅球，第三次白球”，則P（A4）=而A1、A2、A3、A4互斥，又記A=“第三次取出的球是白球”，則P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=說明：本題中關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分解事件A，再由互斥事件和的概率，得出結(jié)論，主要以“+”號(hào)連接，另外本題也可由P= 得出，請(qǐng)讀者琢磨。（2）從不等式大小比較的角度看概率例2 “幸運(yùn)52”知識(shí)競(jìng)猜電視節(jié)目，為每位選手準(zhǔn)備5道試題，每道題設(shè)“Yes”與“No”兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，選手每答對(duì)一題，獲得一個(gè)商標(biāo)，假設(shè)甲、乙兩位選手僅憑猜測(cè)獨(dú)立答題，是否有99%的把握斷定甲、乙兩位選手中至少有一位獲得1個(gè)或1個(gè)以上的商標(biāo)？解：設(shè)甲沒有獲得商標(biāo)的事件為A，乙沒有獲得商標(biāo)的事件為B，則P（A）=P（B）=甲、乙沒有獲得商標(biāo)的事件為C，則P（C）=P（AB）=P（A）P（B）。又設(shè)甲、乙兩選手中至少有一位獲得1個(gè)或1個(gè)以上的商標(biāo)的事件為D。P（D）=1- P（C）=1- 故有99%的把握作出如此斷定。說明：本題中關(guān)鍵要熟悉事件D對(duì)立事件是C，則P（D）=1-P（C），主要以“-”號(hào)連接，本題也可由1-進(jìn)行比較。（3）從“至多”、“至少”的角度看概率.例3 （03年高考江蘇題）有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90、0.95和0.95，各取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。（I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）。解：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件是合格產(chǎn)品的事件分別為A、B、C。（I）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，因?yàn)锳、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為（II）至少有兩件不合格的概率答：（略）。說明：本題重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件積的概率，主要以“”連接P（A）、P（B）、P（C）以及P、P、P。另外（II）也可由P=1-P（ABC）-0.176=1-P（A）P（B）P（C）-0.176得出。另外：2000年高考天津題也屬于此類題目。（4）從“或”、“且”的角度看概率例4甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或被乙解出的概率為0.92。（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B。設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙為P2則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1-P0.6+P2-0.6P2=0.92.則0.4P2=0.32 即P2=0.8（5分）（2）的概率分布列：012P0.080.440.48E=00.08 + 10.44 + 20.48 = 1.4D=（0-1.4）20.08 + (1-1.4)20.44 + (2-1.4)20.48=0.4或利用D=E（2）-（E）2 = 2.36-1.96=0.4另外如將此題中的“或”改為“且”，處理方法怎樣，請(qǐng)同學(xué)思考。（5）從概率的不穩(wěn)定性的角度看概率例5、 某種電路開關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動(dòng)，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是1/2，從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是1/3，出現(xiàn)綠燈的概率是2/3；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是3/5，出現(xiàn)綠燈的概率是2/5，問：1）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？2）三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈，兩次綠燈的概率是多少？解：（1）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是1/21/3。如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率是1/23/5以上兩種情況彼此互斥，所以，第二次出現(xiàn)紅燈概率為：1/21/3 + 1/23/5=7/15（2）題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈，兩次綠燈的情況共有如下三種方式：出現(xiàn)綠、綠、紅的概率為：1/22/53/5出現(xiàn)綠、紅、綠的概率為：1/23/52/3出現(xiàn)紅、綠、綠的概率為：1/22/32/5以上三種情況彼此互斥，所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為：1/22/53/5 + 1/23/52/3 + 1/22/33/5 = 34/753、幾種概率的熱點(diǎn)問題電路圖問題：在前面已講解，即2001年高考文理題.分房問題：例6、 有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去?。╪N），求下列事件的概率.1）指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人?。?）恰好有n個(gè)房間，其中各住一人。分析 因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇，所以n個(gè)人住的方式有Nn種，它們是等可能的，在1）式中，指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人住，其可能總數(shù)為n！，于是P1=在2）中，n個(gè)房間可以在N個(gè)房間中任意選取，然后對(duì)選定的n個(gè)房間，按1）的方式分配，于是P2 =“分房問題”所描述的模型在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中有重要應(yīng)用例7、 某班有n個(gè)人（n365），那么至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？假定一年365天，把365當(dāng)作365個(gè)“房間”，則問題就可以歸結(jié)為“分房問題”，這時(shí)，“n個(gè)人的生日全不相同”就相當(dāng)于：“恰有n個(gè)房間，其中各住一人”。令A(yù) =n個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同，則=n個(gè)人的生日全不相同，而這個(gè)例子中，直接求P（A），比較麻煩，而利用對(duì)立事件求解就簡(jiǎn)單多了，這是有名的“生日問題”，對(duì)不同的一些n值，計(jì)算得相應(yīng)的P（A）值如下表： N102023304050P（A）0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案可能會(huì)引起多數(shù)人的驚奇，這件事情發(fā)生的概率，并不如大多數(shù)人直覺中想象的那樣小，而是相當(dāng)大，這說明了“直覺”并不可靠，也說明了研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要性。抽獎(jiǎng)問題前面已有例2所舉。期望和方差問題期望和方差的現(xiàn)實(shí)生活中的解釋，歷年高考只涉及求值，而沒有涉及到解釋，這方面應(yīng)引起高度重視。（一）、商品流通問題例9、 春節(jié)期間，某鮮花店某種鮮花的進(jìn)貨價(jià)為每束2.5元，銷售價(jià)為每束5元，若在春節(jié)期間內(nèi)沒有售完，則在春節(jié)期間營(yíng)業(yè)結(jié)束后以每束1.5元的價(jià)格處理，據(jù)前5年的有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，春節(jié)期間這種鮮花的需求量X服從以下分布：X20304050P0.200.350.300.15問該鮮花店今年春節(jié)前應(yīng)進(jìn)該鮮花多少束為宜？分析 售出一束鮮花能得利潤(rùn)2.5元，處理一束鮮花則將虧損1元，由于鮮花的需求量X為隨機(jī)變量，為決定進(jìn)貨量y，應(yīng)先求出在不同進(jìn)貨量時(shí)利潤(rùn)的期望值E。解 若進(jìn)貨量y=20，則P得利潤(rùn)的期望值E1=1202.5=50（元）；若進(jìn)貨量y=30，由P 得利潤(rùn)的期望值E2=0.20（202.5-101） + 0.8302.5=68(元)；若進(jìn)貨量y=40，由P 得利潤(rùn)的期望值E3=0.20（202.5-201）+ 0.35（302.5-101）+ 0.45402.5= 73.75（元）；若進(jìn)貨量y=50，得利潤(rùn)的期望值E4= 0.20(202.5-301)+ 0.35(302.5-201)+ 0.3(402.5-101)+ 0.15502.5=69(元)。故利潤(rùn)期望值的最大值為E3 = 73.75（元），因此，鮮花的最佳進(jìn)貨量為40束。2、資金投資問題例10、 某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息，買股票的收益主要取決于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，假設(shè)可分三種狀態(tài)；形勢(shì)好、形勢(shì)中等、形勢(shì)不好（即經(jīng)濟(jì)衰退），若形勢(shì)好可獲利40000元；若形勢(shì)中等可獲利10000元；若形勢(shì)不好要損失20000元。如果是存入銀行，假設(shè)年利率為8%，即可得利息8000元，又設(shè)年經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中等、不好的概率分別為30%，50%和20%，試問該投資者應(yīng)選擇哪一種投資方案？分析 購買股票的收益與經(jīng)濟(jì)形勢(shì)有關(guān)，存入銀行的收益與經(jīng)濟(jì)形勢(shì)無關(guān)，因此，要確定選擇哪一種方案，就必須通過計(jì)算這兩種投資方案對(duì)應(yīng)的收益期望值E來進(jìn)行判斷。解 由題設(shè)，一年中兩種投資方式在不同的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)下對(duì)應(yīng)的收益與概率如下表所示：購買股票狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好收益4000010000-20000概率0.30.50.2存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好收益800080008000概率0.30.50.2從上表可以初步看出，如果購買股票在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好和經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等的情況下是合算的，但如果經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，則采取存入銀行的方案比較好，下面通過計(jì)算加以分析。如果購買股票，其收益的期望值E1=400000.3+ 100000.5+（-20000）0.2=13000（元）；如果存入銀行，其收益的期望值E2=80000.3+ 80000.