稱球問題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問題.doc

稱球問題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問題，它鍛煉著一代又一代人的智力，歷久不衰。下面幾道稱球趣題，請你先仔細(xì)考慮一番，然后再閱讀解答，想來你一定會有所收獲。經(jīng)典例題例1 有4堆外表上一樣的球，每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。解 ：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。例2 有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。解 ：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆。第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。例3 把10個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。解：把10個球分成3個、3個、3個、1個四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示。把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱，則（1）若A=B，則A、B中都是正品，再稱B、C。如B=C，顯然D中的那個球是次品；如BC，則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論。如BC，仿照BC的情況也可得出結(jié)論。（2）若AB，則C、D中都是正品，再稱B、C，則有B=C，或BC（BC不可能，為什么？）如B=C，則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結(jié)論；如BC，仿前也可得出結(jié)論。（3）若AB，類似于AB的情況，可分析得出結(jié)論。 L例4 有8個球，有一個球較重，其余球一樣重，用天平最多稱2次找出最重的球。 解析：把球分成三組3、3、2，天平每邊放三個球，如果天平平衡，再稱剩下2個球就可以找出來，如果哪邊重，就把重的那邊三個里任選兩個出來稱例5.有12個球，有一個球是壞球，用天平最多稱三次找出壞球。第一稱第二稱 第三稱=壞=11壞=輕的壞 =重的壞 =壞 輕的壞 輕的壞 =輕的壞=壞重的壞 =壞 重的壞練習(xí)有12個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，用天平只稱三次，你能找出次品嗎？2.有27個球，有一個球較重，其余球一樣重，用天平最少稱幾次找出最重的球。 （最少稱三次，方法同上：27=9+9+9 9=3+3+3 3=1+1+1。）3有12個球，其中一個重量和另外11個不同9用一架沒有砝碼的天平通過3步找出這個球，并且給出它是重還是輕（把12個球編號：ABCDEFGHIJKL，并稱要找的那個球為“優(yōu)球”先分組：ABCD EFGH IJKL第一步 前兩組比較（一）相同。那么優(yōu)球在IJKL中第二步：ABC IJK比較（1）相同 那么優(yōu)球必然是L，將其與A比較，即可知道優(yōu)球的輕重（2）大于（或小于） 所以優(yōu)球在IJK中并且較輕（或重）從中任取兩個比較，相同的話優(yōu)球就是另一個，否則就是其中較輕（或重）的一個（二）不同（不妨設(shè)為大于，否則可以將其編號互換不影響結(jié)果）第二步：稱量ABE CDF（1）相同那么“優(yōu)球”在G H中，且是較輕，相互比較即可（2）大于那么分析一下就可以知道，優(yōu)球是AB之一且重，或是F且輕將AF CD比較1。相同，那么優(yōu)球是B且重2。大于，那么優(yōu)球是A且重3。小于，那么優(yōu)球是F且輕（3）小于那么同樣地分析一下，可以知道CD之一是優(yōu)球且重或E是優(yōu)球且輕第三步可以完全類似地由上面得知 4，有14個外表一樣的球，有7個正品和7個次品，正品的重量