數(shù)學(xué)系結(jié)業(yè)論文.doc

天 津 師 范 大 學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)命題的直接證明學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生姓名: 朱志宗學(xué) 號(hào)：07505143專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)年 級(jí)：07級(jí)完成日期：2011年4月28日指導(dǎo)教師：王玉玉實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)命題的直接證明 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 朱志宗 07505143實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)命題的直接證明摘要：連續(xù)性是實(shí)數(shù)集的許多重要特性之一。由于有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的方法很多，故對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的敘述也多種多樣。但彼此等價(jià)。因此可用等價(jià)命題互相代替。在本論文中我們整理并證明了實(shí)數(shù)連續(xù)性的六個(gè)等價(jià)命題。指出若把其中之一做為公理，其余均可由這一公理和其他公理推出。直接證明的方法是應(yīng)用每一個(gè)命題直接去證明其余命題，而不用其他命題過渡。通過這種證明方法，可以讓學(xué)者深刻體會(huì)每個(gè)命題怎樣從不同角度表示實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性，使實(shí)數(shù)連續(xù)性命題的邏輯關(guān)系和結(jié)構(gòu)框架更加清楚。由此可以獲得使用各個(gè)命題的一點(diǎn)技巧。關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)；連續(xù)性；等價(jià)命題；區(qū)間套；上確界The Direct Proof of Continuity Is Equivalent to PropositionAbstract : Continuity is the set of real numbers is one of many important features. As rational set of real numbers expanded to many ways, Therefore the continuity of the real numbers are also a variety of narrative. But they are equivalent. Therefore, the equivalent statements can replace each other.In this paper, we organize and prove the continuity of the six real equivalent propositions. It is pointed that if one of them as truth, the documents can be introduced to this axiom, and other axioms. Direct proof of the method is applied directly to prove each of the remaining proposition, instead of the other propositions transition. In this proof, allowing scholars have realized how each proposition that the real number from a different perspective of continuity and completeness, so that the continuity of the real logic of propositions and structural framework more clearly. It can be obtained using various techniques that proposition.Key words : real number; continuity; equivalent proposition; interval sets;目 錄一、描述實(shí)數(shù)連續(xù)性的命題（1）（一）確界定理（1）（二）單調(diào)有界定理（1）（三）區(qū)間套定理（1）（四）有限覆蓋定理（1）（五）聚點(diǎn)定理（1）（六）（柯西準(zhǔn)則）充分性（1）二、實(shí)數(shù)連續(xù)性六個(gè)等價(jià)命題的證明方法一（2）（一）.用確界存在定理證明其余五個(gè)定理（2） 1 . 用確界存在定理證明單調(diào)有界定理（2） 2 . 用確界存在定理證明區(qū)間套定理（2） 3 . 用確界存在定理證明有限覆蓋定理（2）4 . 用確界存在定理證明聚點(diǎn)定理（2） 5 用確界存在定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理（3）（二）用單調(diào)有界定理證明其余五個(gè)定理（3）1 . 用單調(diào)有界定理證明確界存在定理（3） 2 . 用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理（3）3 . 用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理（4） 4 . 用單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理（4） 5 . 用單調(diào)有界定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理（4）（三）. 用區(qū)間套定理證明其余五個(gè)定理（5）1.用區(qū)間套定理證明確界存在定理（5）2.用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理（5）3.用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理（5）4.用區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理（6）5.用區(qū)間套定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理（6）（四）. 用有限覆蓋定理證明其余五個(gè)定理（6） 1 . 用有限覆蓋定理推出確界存在定理（6） 2 . 用有限覆蓋定理推出單調(diào)有界定理（7） 3 . 用有限覆蓋定理推出區(qū)間套定理（8） 4 . 用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理（8） 5 . 用有限覆蓋定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理（8）(五). 用聚點(diǎn)定理證明其余五個(gè)定理（9） 1 . 用聚點(diǎn)定理推出確界存理（9） 2 . 用聚點(diǎn)定理推出單調(diào)有界定理（9） 3 . 用聚點(diǎn)定理推出區(qū)間套定理（9） 4 . 用聚點(diǎn)定理推出有限覆蓋定理（10） 5 . 用聚點(diǎn)定理推出Cauchy準(zhǔn)則定理（10）（6） . 用定理1.6 (柯西準(zhǔn)則)充分性證明其余五理（10） 1 . 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出確界存在定理（10） 2 . 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出單調(diào)有界定理（11） 3 . 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出區(qū)間套定理（11） 4 . 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出有限覆蓋定理（11） 5 . 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出聚點(diǎn)定理（11）三、關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的一點(diǎn)注記（12）四、實(shí)數(shù)連續(xù)性六個(gè)等價(jià)命題的證明方法三（12）（一）第一個(gè)循環(huán)：（13）（二）第二個(gè)循環(huán)：（14）五、實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的應(yīng)用 （15）（一）.確界定理在解題中的應(yīng)用（15）（二）有限覆蓋定理在解題中的應(yīng)用（16）（三）柯西收斂準(zhǔn)則在解題中的應(yīng)用（16）17 一、描述實(shí)數(shù)連續(xù)性的命題（一）定理1.1（確界存在定理） 非空有上（下）界的數(shù)集，必有上（下）確界。（二）定理1.2（單調(diào)有界定理） 任何單調(diào)有界數(shù)列必定收斂。（三）定理1.3（區(qū)間套定理） 任一退縮閉區(qū)間套必存在唯一的公共點(diǎn)。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)如下：設(shè)為一個(gè)區(qū)間套： 則存在唯一點(diǎn) （四）定理1.4 （有限覆蓋定理） 有界閉區(qū)間的任一開覆集，必存在一個(gè)有限子覆蓋。即：設(shè)是閉區(qū)間的一個(gè)無限開覆蓋。即：中每一點(diǎn)都含于中至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi)則在中必存在有限個(gè)開區(qū)間，它們構(gòu)成的一個(gè)有限開覆蓋（五）定理1.5 (聚點(diǎn)定理)有界無限點(diǎn)集必有聚點(diǎn)。即：直線上任一有界無限的點(diǎn)集內(nèi)至少有一個(gè)聚點(diǎn)，即在的任意小鄰域內(nèi)都含有中無限多個(gè)點(diǎn).（本身可以屬于，也可以不屬于）（六）定理1.6 （柯西準(zhǔn)則）充分性實(shí)數(shù)基本數(shù)列必收斂。即：數(shù)列收斂的充要條件是：N，只要同時(shí)滿足n、mN，則恒有（后者又稱為柯西（Cauchy）條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為 柯西列，或基本列）這些定理構(gòu)成極限理論的基礎(chǔ)我們不僅要正確理解這六大定理的含義，更重要的還要學(xué)會(huì)怎樣用它們?nèi)プC明別的命題下面通過證明它們之間的等價(jià)性，使大家熟悉使用這些理論工具二、實(shí)數(shù)連續(xù)性六個(gè)等價(jià)命題的證明（直接證明法）(一) 用確界存在定理證明其余五個(gè)定理1. 用確界存在定理證明單調(diào)有界定理設(shè)xn是遞增且有上界的數(shù)列，由確界存在定理，Supxn存在，設(shè)為。即對(duì)有xn ，又，使-。因?yàn)閤n遞增，于是當(dāng)n時(shí)，必有，從而有 即，故單調(diào)有界定理得證。2. 用確界存在定理證明區(qū)間套定理設(shè)是一個(gè)區(qū)間套。由于，所以supan與infbn都存在，分別記為與，今證=，或設(shè)。因?yàn)?，則bn-an為常數(shù)，但這與矛盾，又設(shè)，由上下確界定義，對(duì)于（-），必存在an，bn使 （+）= 這與矛盾。令，便得。c的唯一性。3. 用確界存在定理證明有限覆蓋定理作集合P=x|具有有限開覆蓋，因?yàn)辄c(diǎn)的鄰域必含有中的點(diǎn)，設(shè)為，則開區(qū)間必覆蓋，故并且有上界。由確界存在定理，存在，記為，顯然。 今作開區(qū)間使得。由確界定義，使。已知有有限開覆蓋，添上則仍有有限開覆蓋，從而。現(xiàn)證，若，則因?yàn)?，便得到，使得，這與c是P的上確界是矛盾的，于是有限覆蓋定理得證！4. 用確界存在定理證明聚點(diǎn)定理設(shè)xn是有界數(shù)列，顯然存在，設(shè)為。若是xn的聚點(diǎn)，則問題解決。否則作集合 P=顯然P非空有界，令，由P的作法，必有。這表明xn中有無限多項(xiàng)小于。又由的性質(zhì)，必使。可見xn中只有有限多項(xiàng)小于，所以中含有xn的無限多項(xiàng)，所以是xn的聚點(diǎn)。因此聚點(diǎn)定理得證。5用確界存在定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理設(shè)xn是Cauchy數(shù)列，可證它有上界，設(shè)此界為M，由確界存在定理知，infxn存在，記為a。 1. 若，則，使得 設(shè)，相應(yīng)地必存在（）使，令，得，于是對(duì)上述，當(dāng)時(shí)有，取，注意到xn是Cauchy數(shù)列，當(dāng)k，n時(shí)便有：所以。2. 若，則做集合P=x|xn中有有限項(xiàng)小于x，顯然P非空有界，因而supP存在，記為b，由P的性質(zhì)，必有，故xn中有無限項(xiàng)小于，則仿1可證。證畢。（二）用單調(diào)有界定理證明其余五個(gè)定理1. 用單調(diào)有界定理證明確界存在定理設(shè)E是非空有上界M的數(shù)集，若，則顯然,若，則取，對(duì)作區(qū)間套使總是E的上界，總不是E的上界，由于遞增，遞減，可證明。今證就是E的上確界。 因?yàn)榭偸荅的上界，即有，令得，又由，即，而又總不是E的上界，于是必。使，從而，于是得。證畢。2. 用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理設(shè)是區(qū)間套，因?yàn)檫f增且有上界，由單調(diào)有界定理，必，又因?yàn)?，于是又?dāng)Kn時(shí)，有，令得，至于的唯一性顯然，證畢。3. 用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理設(shè)H是的開覆蓋。若H不存在有限子覆蓋，則對(duì)作區(qū)間套，使每個(gè)閉區(qū)間都不存在有限子覆蓋，仿照單調(diào)有界定理退出區(qū)間套定理的方法，由單調(diào)有界定理可得，即， 從而這表明已被開區(qū)間所覆蓋，這與的作法矛盾，于是有限覆蓋定理成立。 4. 用單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理設(shè)是有界無限點(diǎn)集。任作數(shù)列，仿單調(diào)有界定理推出Cauchy準(zhǔn)則定理的方法，可知必存在收斂子列，使，于是的鄰域必含有的無數(shù)個(gè)點(diǎn)。因?yàn)?，所以必含有E的無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這即是說是E的聚點(diǎn)。5. 用單調(diào)有界定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理 設(shè)xn是Cauchy數(shù)列，即前已證有界，若的任一項(xiàng)之后總有最大項(xiàng)，則記于是得子列，它顯然遞減且有下界。由單調(diào)有界定理知必收斂，設(shè)收斂于，即對(duì)取，于是當(dāng)時(shí)便有此即。若xn的任一項(xiàng)后都沒有最大項(xiàng)，不妨從第一項(xiàng)起就是如此，于是記，由于不是最大項(xiàng)，在xn中必使，又因?yàn)橐膊皇亲畲箜?xiàng)，在xn中又必存在使。如此類推。必得子列，此子列遞增且有上界，由單調(diào)有界定理，必收斂，設(shè)收斂于。與上同理可證?？傊瓹auchy數(shù)列必收斂。（三）用區(qū)間套定理證明其余五個(gè)定理1. 用區(qū)間套定理證明確界存在定理設(shè)E是非空有上界M的數(shù)集，若，則顯然,若，則取，對(duì)作區(qū)間套使總是E的上界，總不是E的上界，由區(qū)間套定理可知，以下與單調(diào)有界定理推出確界定理同，可得。 2. 用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理設(shè)xn是遞增且有上界M的數(shù)列，即。對(duì)作區(qū)間套使總是xn的上界，總不是xn的上界，于是必，另一方面，由區(qū)間套定理有必使，從而，因?yàn)闀r(shí)，必有且，可見。證畢3. 用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理設(shè)存在開覆蓋H，但無有限子覆蓋，則對(duì)作區(qū)間套使每個(gè)閉區(qū)間都無有限子覆蓋，由區(qū)間套定理，必存在。今作的鄰域。因?yàn)楸赜?。這與的作法矛盾。故必存在有限子覆蓋。 4. 用區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理設(shè)是有界無限點(diǎn)集，即存在使。今對(duì)作區(qū)間套使每個(gè)都含有E的無限個(gè)點(diǎn)，由區(qū)間套定理，必，n=1,2,。今作的鄰域。因?yàn)椋十?dāng)n充分大時(shí)，必有，由的作法，可見必含E的無數(shù)個(gè)點(diǎn)，故便是E的聚點(diǎn)。5. 用區(qū)間套定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理設(shè)xn是Cauchy數(shù)列，前已證有界，即，使，今對(duì)作區(qū)間套使每個(gè)閉區(qū)間都含有xn的無數(shù)個(gè)點(diǎn)，由區(qū)間套定理必使，又由的性質(zhì)，必使于是有 從而，即又因?yàn)閤n是Cauchy數(shù)列，即， 取便有，此即，證畢。（四）用有限覆蓋定理證明其余五個(gè)定理1.用有限覆蓋定理推出確界存在定理設(shè)是非空有上界M的數(shù)集，作集合 顯然若不存在上確界，則內(nèi)任一點(diǎn)都不會(huì)是的上確界。于是必屬于下述兩種情形之一：i）不是的上界ii）是的上界，但在其左鄰域內(nèi)不含的點(diǎn)。今讓跑遍，并規(guī)定到達(dá)時(shí)使用雙邊鄰域，于是得的開覆蓋H，由定理1.4必存在有限子覆蓋 。覆蓋。我們可使其中任意三個(gè)以上鄰域無公共點(diǎn)，否則適當(dāng)縮小便可做到這一點(diǎn)。 今記，設(shè)我們說不會(huì)是情形ii）的鄰域，否則因是的上界，便是的上確界了，這與假設(shè)矛盾，于是只能是第i）.種情形的鄰域，即不是的上界。 設(shè)，則因?yàn)?，我們說也不會(huì)是情形ii）的鄰域，否則，因是的上界，內(nèi)不含的點(diǎn)，于是在內(nèi)便不含的點(diǎn)，這就與不是的上界，但是的上界矛盾，故也只能是情形i）的鄰域，即也不是的上界。 如此類推，則都是情形i）的鄰域，設(shè)是最后一個(gè)由作出的鄰域，于是都不是的上界了，這與是的上界矛盾，所以應(yīng)有上確界，從而有上確界，證畢。2. 用有限覆蓋定理推出單調(diào)有界定理設(shè)xn是遞增且有上界M的數(shù)列，若xn不收斂，則區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)都不會(huì)是xn的聚點(diǎn)，否則，設(shè)的鄰域內(nèi)含有xn的無數(shù)點(diǎn)，記其中之一為，并且當(dāng)k不同時(shí)，取的是不同的點(diǎn)，于是有，k=1,2，。令得又因?yàn)閤n遞增，（n充分大）必，使從而 令得這與假設(shè)xn不收斂矛盾。因?yàn)椴豢赡苁莤n的聚點(diǎn)，那么，在內(nèi)便只含xn的有限個(gè)點(diǎn)，將跑遍，得開覆蓋H，由有限覆蓋定理，H必存在有限子覆蓋這表明H覆蓋xn，但另一方面，每個(gè)開區(qū)間只含xn的有限個(gè)點(diǎn)，因而H必也只含xn的有限個(gè)點(diǎn)，這又產(chǎn)生矛盾。故xn必收斂。3. 用有限覆蓋定理推出區(qū)間套定理設(shè)是區(qū)間套，記，則是開集序列，若，則必有，即是的開覆蓋。由定理1.4，必存在有限子覆蓋。從而 這是不可能的。所以。設(shè)。即。的唯一性不必陳述。4. 用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理設(shè)是有界無限點(diǎn)集，必存在、b使。若不存在聚點(diǎn)，則在閉區(qū)間中任一點(diǎn)都不會(huì)是E的聚點(diǎn)，從而的鄰域至多只含E的有限個(gè)點(diǎn)，讓取遍便得開覆蓋，由定理1.4，H必存在有限子覆蓋 因每個(gè)只含的有限個(gè)點(diǎn)，H必也只含E的有限個(gè)點(diǎn)，這與且E是無限集矛盾，所以E至少有一個(gè)聚點(diǎn)。5. 用有限覆蓋定理證明Cauchy準(zhǔn)則定理 設(shè)xn是Cauchy數(shù)列，即 前已證xn有界，即存在，使。若xn不收斂，則內(nèi)任何一點(diǎn)都不會(huì)是xn的極限，于是必 令則對(duì)，必使這表明數(shù)列xn只有有限項(xiàng)滿足，或者說的鄰域只含xn的有限項(xiàng)。今讓取遍閉區(qū)間，得開覆蓋，由定理1.4，H必存在有限子覆蓋由于每個(gè)開區(qū)間只含xn的有限個(gè)點(diǎn)，H必也只含xn的有限個(gè)點(diǎn)，但這與且是無限集矛盾，所以Cauchy數(shù)列必收斂。（五）用聚點(diǎn)定理證明其余五個(gè)定理1. 用聚點(diǎn)定理推出確界存在定理設(shè)S是非空有上界M的數(shù)集，若，顯然，若，作的上界集 取對(duì)作區(qū)間套使，記，于是在中總可以取到屬于的點(diǎn)，記為顯然是有界點(diǎn)列。由與定理1.5等價(jià)的抽子列定理，它必存在收斂子列，設(shè)，顯然 今證，因?yàn)?，即總是S的上界，即，總有，令可得。即仍是的上界，因?yàn)?，?，且的長趨于零，以及。于是當(dāng)n充分大時(shí)必有 由于，中總含有的點(diǎn)，記這樣的一點(diǎn)為，便有，這表明。證畢。2. 用聚點(diǎn)定理推出單調(diào)有界定理設(shè)xn是遞增且有上界的數(shù)列，由與定理1.5等價(jià)的抽子列定理，它必存在收斂的子列。設(shè)因xn遞增，必使從而。令，必有，以致，因而證畢。3. 用聚點(diǎn)定理推出區(qū)間套定理設(shè)是區(qū)間套，因有界，由抽子列定理，必存在收斂于。又因遞增，必有。當(dāng)時(shí)必有由迫斂性知，又由于 ，令可得。再因時(shí)有，令使得，證畢。4. 用聚點(diǎn)定理推出有限覆蓋定理設(shè)H是的開覆蓋。若H不存在有限子覆蓋，則對(duì)作區(qū)間套，使每個(gè)閉區(qū)間都不存在有限子覆蓋，記每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)為，于是得有界點(diǎn)列xn，由抽子列定理，必存在收斂于。即 。因，故當(dāng)充分大時(shí)，以為中點(diǎn)的閉區(qū)間被所覆蓋。但總是取的無有限子覆蓋的閉區(qū)間的中點(diǎn)。這就產(chǎn)生矛盾，故H必存在有限子覆蓋，證畢。 另證：設(shè)H是的開覆蓋，。必有開區(qū)間使，今以有理點(diǎn)為中心，以正有理數(shù)為半徑作含x的鄰域，使，由于有理數(shù)集可列，故的全體可列。于是H存在可列子集。若從中不能選出有限子集覆蓋，則對(duì)每一自然數(shù)n必。顯然xn有界。由抽子列定理，必收斂于。由xn的構(gòu)造，應(yīng)有（否則，若，因，當(dāng)k充分大時(shí)，將有）。這即是說中有點(diǎn)未被覆蓋。矛盾，這就證明了定理1.4。5. 用聚點(diǎn)定理推出Cauchy準(zhǔn)則定理設(shè)xn是Cauchy數(shù)列，即。前已證次數(shù)列有界，由抽子列定理，必存在收斂于即對(duì)，取。于是當(dāng)時(shí)便有，此即。（六）用定理1.6 (柯西準(zhǔn)則)充分性證明其余五個(gè)定理1. 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出確界存在定理設(shè)E是非空有上界M的數(shù)集，若，則，若，則取，對(duì)作區(qū)間套使總是E的上界，總不是E的上界。則我們可構(gòu)造Cauchy數(shù)列。由定理1.6可設(shè)即又由Cauchy數(shù)列定義，對(duì)取，于是對(duì)上述此即，又由于，可得。余下的工作與單調(diào)有界定理推出確界定理同。從而得。2. 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出單調(diào)有界定理設(shè)xn是遞增且有上界M的數(shù)列。若xn不收斂，必非Cauchy數(shù)列，即，取使，取，必使，如此繼續(xù)下去，一般地取必使把上述幾個(gè)不等式相加得可見當(dāng)時(shí)，可使。這與M是xn的上界矛盾，所以xn收斂。3. 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出區(qū)間套定理設(shè)是區(qū)間套，作數(shù)列在上述證明中我們已證它是Cauchy數(shù)列。由定理1.6可設(shè)。在定理1.6推出定理1.1中已證。由區(qū)間套作法，當(dāng)時(shí)必有，令便得。的唯一性不必?cái)⑹觥?. 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出有限覆蓋定理設(shè)有開覆蓋H。若H不存在有限子覆蓋，則對(duì)作區(qū)間套, 使每個(gè)閉區(qū)間都不存在有限子覆蓋，由(柯西準(zhǔn)則)充分性可得數(shù)列收斂，設(shè)收斂于，于是有， 可見。這與無有限子覆蓋矛盾。則定理1.4得證。5. 用(柯西準(zhǔn)則)充分性推出聚點(diǎn)定理設(shè)是有界無限點(diǎn)集，即存在、b使，今對(duì)作區(qū)間套，使每個(gè)區(qū)間都含有E的無數(shù)點(diǎn)。前已證是Cauchy數(shù)列，由定理1.6可令，又已證 即有。即。由的性質(zhì)，的鄰域必含E的 無數(shù)個(gè)點(diǎn)，故是E的聚點(diǎn)。三、關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)命題證明中的注記在以上六個(gè)等價(jià)命題中，最便于推廣至中點(diǎn)集的，當(dāng)屬聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理為加深對(duì)聚點(diǎn)概念的認(rèn)識(shí)，下例所討論的問題是很有意義的例 證明“是點(diǎn)集的聚點(diǎn)”的以下三個(gè)定義互相等價(jià)：(i) ,在內(nèi)含有中無限多個(gè)點(diǎn)(原始定義)；(ii) ，在內(nèi)含有中至少一個(gè)點(diǎn)；(iii) ，時(shí)，使證 (i) (ii)顯然成立(ii) (iii)由(ii），取，；再?。灰话闳?；由的取法，保證，四、實(shí)數(shù)理論等價(jià)性命題的證明方法（三）實(shí)數(shù)連續(xù)性六個(gè)基本定理重述如下：（1）確界存在定理。（2）單調(diào)有界定理。（3）區(qū)間套定理。（4）有限覆蓋定理（5）聚點(diǎn)定理。（6）(柯西準(zhǔn)則)充分性本節(jié)中我們將采用一種新的方式，對(duì)下述六個(gè)定理的等價(jià)性加以嚴(yán)格的證明。此處我們通過下面的兩個(gè)小循環(huán)來加以證明。第一個(gè)循環(huán)：第二個(gè)循環(huán)：（一）.首先我們先來證第一個(gè)循環(huán)：證：對(duì)于給定的單調(diào)遞增有界數(shù)列xn，考慮一個(gè)新的非空數(shù)集E。若任一個(gè)數(shù)x在E中，即表示E中有有限多個(gè)數(shù)小于，則由實(shí)數(shù)稠密性知，這樣的為無窮個(gè)。由于xn有下界m,因此E有下界，同時(shí)有上界M，則E也有上界。這樣E為有界的無窮數(shù)集。由聚點(diǎn)定理知E必存在一個(gè)聚點(diǎn)。證明有極限，只要證明為的極限即可。若不是的極限，那么，使對(duì)任何一個(gè)自然數(shù)n，當(dāng)，均有。又由為單調(diào)遞增的數(shù)列，那么以之后有無窮多個(gè)均不在內(nèi)，與為聚點(diǎn)矛盾。命題得證。顯然證：是E為非空有上界b的數(shù)集。從E中任取一個(gè)數(shù)a，則將二等分為，。若數(shù)為E的一個(gè)上界，則取為，否則取右半?yún)^(qū)間為。有。且。同樣，將二等分，中點(diǎn)為，若為E的一個(gè)上界，則取為。否則取為。那么有，。以此類推，有一串滿足以下條件：1）2）則由區(qū)間套定理知，存在唯一的，使那么由的取法知，為E的上界，且為上確界。若不為E的上確界，設(shè)E的上確界為，則則=因此而與為常數(shù)，因此，即為E的上確界。證：設(shè)S為直線L上有界無限點(diǎn)集構(gòu)造，則E為非空，有下界。所以E有下確界。設(shè)，不在E內(nèi)，而也在L上，那么在的右邊有無窮多項(xiàng)，而為E的下確界，那么必存在一個(gè)，使，那么，則在E中只有有限項(xiàng)，使，則中含有S的無窮多項(xiàng)。由聚點(diǎn)的定義知，為S的聚點(diǎn)，命題得證。（二）.證第二個(gè)循環(huán)（僅證充分性）證：設(shè)為Cauchy數(shù)列，取，當(dāng)時(shí)，有，取，令，則，此時(shí)，對(duì)均有。而前N項(xiàng) 必存在最小值，最大值，那么任意，使，令則因此有一個(gè)開覆蓋。則必存在有限個(gè)區(qū)間覆蓋住。即，的某個(gè)開鄰域中含有的無限多項(xiàng)。假如這樣的不存在，那么任意一個(gè)，都存在某個(gè)，使中只有的有限項(xiàng)。由開覆蓋的構(gòu)成知，當(dāng)時(shí)，必有，使從第項(xiàng)起，那么此與假設(shè)矛盾。因而這樣的一定存在，使中含有中無窮多項(xiàng)。下證為數(shù)列的極限。由于任意的，當(dāng)時(shí)，。而在中，必有某個(gè)，且，成立證：設(shè)為單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列，若不滿足柯西數(shù)列的條件，即使任意自然數(shù)N有時(shí)，即或成立，而為單調(diào)遞增數(shù)列，因此當(dāng)或時(shí)，有或，從而有，當(dāng)時(shí)為無界數(shù)列與為有界數(shù)列矛盾，因而數(shù)列為柯西數(shù)列，則從柯西收斂準(zhǔn)則知有極限。證：設(shè)E為非空有上界數(shù)集，且E中各數(shù)均不相同，那么任取則有1）不為E的上界，那么存在中也有E的無窮多項(xiàng)，可取到一個(gè)，使。同樣，在中含有E的無窮多項(xiàng)，可取到一個(gè)，使，依此法可得一個(gè)遞增數(shù)列2）為E的上界，則可在中取到一個(gè)，又中含有E的無窮多項(xiàng)，那么中也有E的無窮項(xiàng)，同樣有，因此得一個(gè)遞減數(shù)列且。則由單調(diào)有界定理知，下證知，當(dāng)時(shí)，有，那么則令，則必有一個(gè) 為E的上確界。證：設(shè)I為R的給定的子集，則I的有界知I含在某個(gè)中，則要證明H中至少有I的一個(gè)極限點(diǎn)。若不如此，那么每個(gè)，有鄰域，其中或不含I的點(diǎn)或只有有限個(gè)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)所構(gòu)造的這些鄰域的總體形成I的一個(gè)開區(qū)間覆蓋，從中可取出有限個(gè)，來仍覆蓋I，但，這有限個(gè)也覆蓋I，但只含有I的有限個(gè)點(diǎn)與I為無限集矛盾。綜上所述，本節(jié)完成了實(shí)數(shù)理論的六個(gè)等價(jià)命題的循環(huán)證明，采用的路徑是五、實(shí)數(shù)連續(xù)性等價(jià)命題的應(yīng)用（一）.確界定理在解題中的應(yīng)用確界定理的作用是確定一個(gè)數(shù)（上確界或下確界），在證明問題中需要找到一個(gè)性質(zhì)P的數(shù)，這時(shí)可考慮使用確界定理。它的基本步驟是：首先根據(jù)給出的條件構(gòu)造一個(gè)有界數(shù)集，使其確界就是證明問題中需要找到的具有性質(zhì)P的數(shù)；其次再證明次數(shù)合乎需要。如：例一：若在上連續(xù)，且有無窮多個(gè)零點(diǎn)，則必有最大的零點(diǎn)。分析：不妨設(shè)。即需證，