解二元一次方程組.docx

8.1二元一次方程組教材分析本節(jié)課是在學(xué)生對一元一次方程已有認(rèn)識的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)二元一次方程與二元一次方程組的相關(guān)概念.由于求多個未知數(shù)的問題是普遍存在的，而方程組是解決這些問題的有力工具，因此有必要研究未知數(shù)多于一個的方程或方程組。本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是使學(xué)生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數(shù)值是否是某個二元一次方程組的解為使學(xué)生順利掌握新知識，教學(xué)中利用實(shí)際問題背景，將抽象概念具體化，類比一元一次方程的相關(guān)概念學(xué)習(xí)，重點(diǎn)研究二元一次方程的定義及其解的意義、求法，這樣處理有利于學(xué)生掌握二元一次方程組的相關(guān)概念.本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是求二元一次方程的特殊解，如正整數(shù)解，非負(fù)整數(shù)解等由于二元一次方程有無數(shù)個解，而實(shí)際問題中常常需要求滿足條件的部分解.為此，需要在理解二元一次方程解的定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體問題引導(dǎo)學(xué)生探索“不重不漏”的求法.找到解決問題的通法后，再結(jié)合題目特點(diǎn)、個人的經(jīng)驗尋找更簡捷的方法，努力做到：嘗試次數(shù)少，方程的解丟不了.本課的教學(xué)首先從學(xué)生熟悉的實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生直接用x和y表示兩個未知數(shù)，并進(jìn)一步表示問題中的等量關(guān)系，列出方程。然后，以這兩個具體方程為例，讓學(xué)生類比一元一次方程的特征分析歸納二元一次方程的特征，得出二元一次方程的定義，并進(jìn)一步探究二元一次方程的解。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例說明二元一次方程組及其解的含義，并在應(yīng)用中逐步加深對概念的理解?！菊n時分配】1課時【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解的意義，以及檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解教學(xué)難點(diǎn)：求二元一次方程的特殊解【教學(xué)目標(biāo)】1. 能說出二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念，會檢驗所給的一組未知數(shù)的值是否是二元一次方程、二元一次方程組的解2. 通過實(shí)例認(rèn)識二元一次方程和二元一次方程組都是反映數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，能設(shè)兩個未知數(shù)并列方程組表示實(shí)際問題中的兩種相關(guān)的等量關(guān)系3通過對本課知識的探究與應(yīng)用，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力。設(shè)計方案（一）【教學(xué)方法】以學(xué)生熟悉的問題為背景設(shè)計問題，引領(lǐng)學(xué)生積極思考、認(rèn)真探究，在探索問題解決途徑的過程中類比學(xué)習(xí)新概念.問題的解決采取以學(xué)生獨(dú)立思考、相互交流為主，教師講解點(diǎn)撥、歸納提煉為輔的方式進(jìn)行，使教學(xué)過程成為在教師指導(dǎo)下學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)活動過程.【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題（設(shè)計說明：從學(xué)生熟悉的文具、藍(lán)球比賽中提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，自然進(jìn)入新課）問題：1.文具盒中有紅、黃兩種顏色的彩筆共10支，請猜一猜紅色、黃色彩筆各多少支?2. 籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù).在一次比賽中， 甲隊共參加了22場比賽，你知道在這次比賽中甲隊勝、負(fù)場數(shù)分別是多少嗎?先放開讓學(xué)生說，接著提出下面的問題：思考：（1）第1題中，若用x,y分別表示紅色彩筆、黃色彩筆的支數(shù)，則可以得到怎樣的一個方程? xy=10第2題中，若用x,y分別表示甲隊在全部比賽中的勝、負(fù)場數(shù)，則可以得到怎樣的一個方程?xy=22（2）你得到的兩個方程是一元一次方程嗎?與一元一次方程比較有什么不同?如果讓你給它起名字，你認(rèn)為應(yīng)該叫它什么合適?（教學(xué)說明：學(xué)生對這兩個問題的猜想會有多種答案，教師盡量讓學(xué)生多說，為下一步理解二元二次方程解的不唯一性做準(zhǔn)備，思考中的兩個問題引導(dǎo)學(xué)生初步體會二元一次方程的特點(diǎn)）二、探索新知 解決問題1.二元一次方程的概念（設(shè)計說明：由實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生開始對二元一次方程概念的探索。學(xué)生自己歸納總結(jié)出方程的特點(diǎn)之后給出二元一次方程的概念，比直接定義印象會更深刻，有助于學(xué)生對概念的理解）學(xué)生給方程xy=10,xy=22命名之后，類比一元一次方程進(jìn)一步討論下面的問題：問題1：請你寫出幾個二元一次方程，和同桌交流，判斷寫出的方程是否符合要求問題2：請找出二元一次方程的特點(diǎn)含有兩個未知數(shù) 含未知數(shù)項的次數(shù)是一次 是整式方程問題3：二元一次方程的定義(類比一元一次方程的定義由學(xué)生歸納得出)含有兩個未知數(shù)且含未知數(shù)項的最高次數(shù)都是1的方程叫二元一次方程練一練：請判斷下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是?并說明理由2x5y=10 2xyz=1 y=20 （4） x22x1=0 2a3b=5 2x10xy =0解析：（2）中含有三個未知數(shù)，（3）中含有分式，（4）中 x2的次數(shù)是2，（5）中10xy的次數(shù)是2，所以，（2）、（3）、（4）、（6）都不是二元一次方程，(1)、(5)是二元一次方程（教學(xué)說明：本環(huán)節(jié)設(shè)計的問題引導(dǎo)學(xué)生用類比法分析二元一次方程的特征，逐步得出二元一次方程的定義，并在應(yīng)用中進(jìn)一步鞏固對定義的理解）2. 二元一次方程的解（設(shè)計說明：用類比的方法學(xué)習(xí)二元一次方程解的意義，在求解的過程中體會二元一次方程解的不唯一性，在正確理解的基礎(chǔ)上歸納出解決問題的一般方法）問題1 ：滿足方程xy=22且符合問題實(shí)際意義的x,y的值有哪些?把它們填入表中xy問題2：二元一次方程的解結(jié)合問題1中的表格信息，類比一元一次方程解的意義歸納出二元一次方程的解的意義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.同時指出：(1)一元一次方程只有一個解，而二元一次方程有無限多解（本題中需要考慮x,y的實(shí)際意義），其中一個未知數(shù)（x或y）每取一個值，另一個未知數(shù)（x或y）就有惟一的值與它相對應(yīng) x=a(2) 二元一次方程的每一個解是一對數(shù)值，記為 y=b（教學(xué)說明：用填表的方式學(xué)生容易找到x,y的值，然后結(jié)合表格數(shù)據(jù)得出二元一次方程解的意義，并進(jìn)一步體會二元一次方程解的不唯一性）3.二元一次方程組（設(shè)計說明：利用兩個問題進(jìn)一步熟悉如何列二元一次方程，如何找二元一次方程的解，同時為下面探究方程組的解做好準(zhǔn)備，在此基礎(chǔ)上利用問題3學(xué)習(xí)二元一次方程組的意義，學(xué)生很容易理解）問題1:：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分,負(fù)一場得1. 已知甲隊在一次比賽中共得40分，若用x,y分別表示甲隊在全部比賽中的勝負(fù)場數(shù),可以得出怎樣的方程?2xy=40問題2: 請將方程2xy=40的解填入表格中xy問題3：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分.負(fù)一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少?思考：（1）設(shè)勝的場數(shù)是x，負(fù)的場數(shù)是y，你能用方程把題目中的相等關(guān)系表示出來嗎?xy=22 2xy=40（2）在上面的方程xy=22和2xy=40中,x的含義相同嗎?y呢?x,y的含義分別相同.因而x,y必須同時滿足方程xy=22和2xy=40.把它們聯(lián)立起來,得:xy=222xy=40像這樣，把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.說明：方程組各方程中，同一字母必須代表同一數(shù)量，才能合在一起練習(xí) 已知x、y都是未知數(shù)，判別下列方程組是否為二元一次方程組?解析：是二元一次方程組，中第一個方程是二元二次方程，中的兩個方程共含有3個未知數(shù)，所以不是二元一次方程組（教學(xué)說明：學(xué)生獨(dú)立思考列出方程，找出方程的解，結(jié)合實(shí)際問題逐步體會二元一次方程組的概念，做練習(xí)時不僅要得出結(jié)論還要說明理由，借此進(jìn)一步加深對概念的理解）4.二元一次方程組的解（設(shè)計說明：結(jié)合實(shí)例體會二元一次方程組解的意義的，表示方法）問題1: 請找出同時滿足方程xy=22與2xy=40的x,y的值.指導(dǎo)學(xué)生利用前面的表格找出x,y的值，并進(jìn)一步說明這一組數(shù)值就是方程組的解問題2：二元一次方程組的解二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解xy62x31y11結(jié)合實(shí)例說明二元一次方程組的解的含義、表示方法，并利用下面的問題歸納找方程組的解的步驟.練習(xí)： 方程組 的解是 （ ）x6 x10 x10y9 y6 y1（教學(xué)說明：利用前面的兩個表格，學(xué)生能很快解決問題，此時教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出二元一次方程組的解的定義并歸納找方程組解的步驟，做練習(xí)時要讓學(xué)生說明自己的具體做法，比較得出那種做法更好）三、鞏固訓(xùn)練 熟練技能（設(shè)計說明：通過形式不同的練習(xí)，從不同的角度幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對相關(guān)觀念的理解，形成初步技能。）1. 若方程有一解則的值等于（ ）C答案：2. （2007湖南株州）二元一次方程組的解是：（ ）A.B.C.D.答案：A3. （1）方程（a2）x (b-1)y = 3是二元一次方程，試求a、b的取值范圍.(2)若方程x2 m1 5y3n 2= 7是二元一次方程.求m、n的值答案：（1）a-2,b1 (2)m1,n14. 買支鉛筆和5本練習(xí)本，其中鉛筆每支x元，練習(xí)本每本y元，共需用4.9元列出關(guān)于x,y的二元一次方程為_；若再買同樣的鉛筆支和同樣的練習(xí)本本，價錢是2.2元，列出關(guān)于x,y的二元一次方程為_；若鉛筆每支元，則練習(xí)本每本_元答案：12x5y=4.9 6x2y=2.2 0.55. 列出二元一次方程組，并根據(jù)問題的實(shí)際意義，找出問題的解.（1）香蕉的售價為5元千克，蘋果的售價為3元千克，小華共買了香蕉和蘋果9千克，付款33元，香蕉和蘋果各買了多少千克?解：設(shè)香蕉買了x千克，蘋果買了y千克，根據(jù)題意得xy=9 x=35x3y=33 解得 y=6答：香蕉買了3千克，蘋果買了6千克（2）教材94頁練習(xí)四、反思總結(jié) 情意發(fā)展（設(shè)計說明：圍繞三個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲。）問題1：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么?問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?問題3：通過今天的學(xué)習(xí)，你想進(jìn)一步探究的問題是什么?（教學(xué)說明：通過對三個問題的思考引導(dǎo)學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)歷程，梳理主要知識、方法，構(gòu)建知識體系）五、課堂小結(jié)1.本課主要內(nèi)容：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解，以及檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解2. 主要學(xué)習(xí)方法：類比法 類比一元一次方程的知識學(xué)習(xí)二元一次方程的有關(guān)概念，在與二元一次方程解的比較中理解二元一次方程組的解的意義.3.學(xué)習(xí)本課需要注意的幾個問題（1）二元一次方程必須同時符合三個條件:這個方程中有且只有兩個未知數(shù);含求知數(shù)項的次數(shù)是1；對未知數(shù)來說，構(gòu)成方程的代數(shù)式是整式。（2）與一元一次方程相比，二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的且有無數(shù)個解.六、布置作業(yè)1、必做題：課本95頁習(xí)題8.1中的1、2、3；2.選做題：習(xí)題8.1 中的4，5題（教學(xué)說明：及時作業(yè)是鞏固課堂學(xué)習(xí)知識的重要環(huán)節(jié)，練習(xí)題主要訓(xùn)練找方程（組）的解，分析數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組）七、拓展練習(xí)1.方程xa 1(a-2)y = 2是二元一次方程，試求a的值答案：a=-22.求二元一次方程3x2y19的正整數(shù)解答案： x=1 x=3 x=5y=8 y=5 y=23. （2007廣州）以為解的二元一次方程組是（ ）ABCD答案：C4 .（2007山東淄博）若方程組的解是則方程組的解是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：A5. 甲乙兩個牧羊人放牧歸來，甲說：“把你的羊給我3只，那么我的羊就是你的羊的2倍了.”乙說：“不，還是把你的羊分3只給我，那么我們的羊就一樣多了.”你知道他們原來各有幾只羊?答案：設(shè)甲原來有x只羊，乙原來有y只羊，根據(jù)題意得x3=2(y-3) x=21x-3=y3 解得 y=15答：甲原來有21只羊，乙原來有15只羊（設(shè)計說明：利用上述題目，一方面提高利用概念分析解答問題的能力，同時進(jìn)一步體會涉及多個未知量的問題是廣泛存在的，體會學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性，激發(fā)學(xué)生探究二元一次方程組解法的積極性）【評價與反思】1.概念課教學(xué)模式：本節(jié)課的主要內(nèi)容是二元一次方程（組）的有關(guān)概念，設(shè)計時按照“實(shí)例研究，初步體會-比較分析，把握實(shí)質(zhì)-歸納概括，形成定義-應(yīng)用提高，發(fā)展能力”的思路進(jìn)行，讓學(xué)生體會到是因為“需要”而學(xué)習(xí)新知識，逐步滲透應(yīng)用意識.2.類比法的運(yùn)用：二元一次方程及其解的意義類比一元一次方程進(jìn)行學(xué)習(xí)，一方面加深學(xué)生對方程中“元”與“次”的理解，另一方面易于理清一元一次方程與二元一次方程“解”的相關(guān)知識的異同，同時為二元一次方程組相關(guān)概念的學(xué)習(xí)掃清障礙。3.分層遞進(jìn)，循環(huán)上升：學(xué)生對知識的理解，教師對學(xué)生的要求，都是由低到高，逐步提升。題目設(shè)計從單一知識點(diǎn)的直接運(yùn)用，逐漸到多個知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用，給學(xué)生設(shè)置必要的臺階，使其一步步向前，最終達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。設(shè)計者：任秀英設(shè)計方案二【教學(xué)方法】本節(jié)課采取“動（探究）看（觀察）議（交流）講（點(diǎn)撥）”結(jié)合法，并且問題貫穿教學(xué)活動過程，合作探究共同解決問題?！窘虒W(xué)活動過程】一創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課（設(shè)計說明：由學(xué)生熟悉的問題引入，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性，同時，也為本節(jié)課的引入作好鋪墊）問題1：教師規(guī)定學(xué)生座位中的行和列，讓學(xué)生自己座位所在的行、列。問題2：請列與行的和為6的同學(xué)站起來?師板書：列行=6問題3：請列與行的差為2的同學(xué)站起來?師板書：列-行=2問題4：如果用x表示列，用y表示行，上述式子怎樣表示呢?師板書：xy=6x-y=2問題5：請觀察兩個方程的共同特點(diǎn)，給他們起一個名字。學(xué)生：二元一次方程，這就是我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容，由此導(dǎo)入新課。（教學(xué)說明：設(shè)計學(xué)生熟悉的座位中的行和列作為問題情景，讓學(xué)生由生活中的問題抽象出二元一次方程，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在身邊，同時為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了鋪墊）二探索新知：1二元一次方程和二元一次方程解的概念的探索：（設(shè)計說明：讓學(xué)生經(jīng)歷命名、舉例和下定義的過程，深層次體會二元一次方程和二元一次方程解的概念）問題1：你能舉幾個二元一次方程的例子嗎?問題2：什么叫二元一次方程呢?學(xué)生回答：含有兩個未知數(shù)，且未知項次數(shù)是1的方程，叫做二元一次方程問題3：你能找到滿足xy=6的未知數(shù)x、y的值嗎?填表：xy學(xué)生填表，并從中總結(jié)二元一次方程的解的概念。學(xué)生：滿足二元一次方程左、右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解問題4：二元一次方程與一元一次方程有什么區(qū)別?（教學(xué)說明：先讓學(xué)生命名、舉例、總結(jié)概念的過程，通過填表、觀察、類比、討論、歸納體會二元一次方程的解的概念，讓學(xué)生體會到二元一次方程的解有無數(shù)個）2二元一次方程組的解概念的探索：（設(shè)計說明：讓學(xué)生經(jīng)歷二元一次方程組的解的探索過程）問題1：發(fā)動全班同學(xué)尋找同時滿足列與行和為6 （xy=6），列與行的差為2（y-x=2）的同學(xué)。順勢引導(dǎo)，得出二元一次方程組的概念。問題2：（1）你能給它取個名字嗎?（2）什么叫二元一次方程組?學(xué)生定義：由兩個二元一次方程方程組成的方程組叫二元一次方程組。問題3：（1）請其他同學(xué)驗證自己的坐標(biāo)是否同時滿足兩個方程。（2）請畫圖表示上述方程的解與的解的關(guān)系。由此得到二元一次方程組的解的概念學(xué)生：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。（教學(xué)說明：先從學(xué)生熟悉的列和行入手，尋找符合xy=6和y-x=2的學(xué)生，從而體會二元一次方程組（解）的意義，深層次體會二元一次方程組的解就是兩個方程的公共解的含義。三、典例分析，深化應(yīng)用（設(shè)計說明：通過典型例題，深刻體會概念的含義）例1： xy=9 x-y=5判斷下列各對數(shù)值中, 不是的解? 不是的解? 是的解?x=4 x=1 x=6 x=0y=-1 y=8 y=1 y=9例2： xy=152xy=20的解是Ax=5B. y=10C. x=5或y=10D. x=7y=8（教學(xué)說明：從正面的角度，從解的意義和形式兩方面強(qiáng)化對方程組的解的理解）四 、鞏固訓(xùn)練 熟練技能（設(shè)計說明：通過形式不同的練習(xí)，從不同的角度幫助學(xué)生進(jìn)一步加深角的認(rèn)識，形成初步技能。）1.把面值為10元的人民幣換成1元或 5元人民幣有 種換法。2.寫出一個以 X=5 為解的方程組y=43.某籃球賽中，勝一場得3分，負(fù)一場得1分。咱們班共勝x場,負(fù)y場（無平局）.共得 20分。且勝場數(shù)是負(fù)場數(shù)的2倍。你能算出勝負(fù)場數(shù)各是多少嗎?(列出方程組)（教學(xué)說明：第1題換零錢：引導(dǎo)