2019屆高考數(shù)學復習專題二第1講三角函數(shù)學案.docx

第1講三角函數(shù)1三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查；3三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式是解決計算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心1常用三種函數(shù)的圖象性質(zhì)(下表中)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象遞增區(qū)間遞減區(qū)間奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心對稱軸xkxk周期性222三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k()時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk()求得(2)yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數(shù)；當k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由xk()求得(3)yAtan(x)，當k()時為奇函數(shù)3三角函數(shù)的兩種常見變換(1)ysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)yAsin(x)(A0，0)4三角函數(shù)公式(1)同角關(guān)系：sin2cos21，(2)誘導公式：對于“，的三角函數(shù)值”與“角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：；(4)二倍角公式：，(5)輔助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中熱點一三角函數(shù)的圖象【例1】(1) (2018清流一中)已知函數(shù)，（1）用“五點法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；（2）函數(shù)圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到的圖象？(2)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()ABCD(1)解(1)列表02002【注：列表每行1分，該行必須全對才得分；圖象五點對得1分，圖象趨勢錯扣1分】（2）把的圖象向左平移個單位得到的圖象，再把的圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象，最后把的圖象橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象(2)由(1)知，根據(jù)圖象平移變換，得因為ysin x的對稱中心為，令2x2k，解得，由于函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱，令，解得，由0可知，當k1時，取得最小值(2)解析(1)由題意知A2，2，因為當時取得最大值2，所以，所以，解得，因為|0，0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置【訓練1】(1) (2018孝感期末)已知函數(shù)，的圖像在軸上的截距為1，且關(guān)于直線對稱若對于任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為_(2)(2017貴陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(，)的部分圖象如圖所示求函數(shù)f(x)的解析式；將函數(shù)yf(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值解析(1)因為的圖像在軸上的截距為1，且關(guān)于直線對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為，所以，若對于任意的，存在，使得，則，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為，答案為答案(2)解設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由題圖可知A1，即T，所以，解得2，故f(x)sin(2x)由0sin可得2k，則2k，kZ，因為|，所以，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)sin根據(jù)條件得g(x)sin，當x時，4x，所以當x時，g(x)取得最小值，且g(x)min熱點二三角函數(shù)的性質(zhì)【例2】(2018哈爾濱三中)已知函數(shù)的圖象與軸的交點為，它在軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為和（1）求解析式及的值；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍解（1）由題意知，；又圖象過點，；又，；又是在軸右側(cè)的第1個最高點，解得（2）由，得，的單調(diào)增區(qū)間為；（3）在時，函數(shù)有兩個零點，有兩個實數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個交點在上有兩個根，結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù)有兩個零點的范圍是探究提高1討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)2求函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間，是將x作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A0，0時，需先利用誘導公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間【訓練2】(2017浙江卷)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，則f 2sin2(2)f(x)的最小正周期為由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ熱點三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(2017西安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2sin2x(0)的最小正周期為(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10個零點，求b的最小值解(1)f(x)2sin xcosx(2sin2x1)sin 2xcos 2x2sin由最小正周期為，得1，所以f(x)2sin，由2k2x2k，整理得kxkx，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)2sin 2x1的圖象；所以g(x)2sin 2x1令g(x)0，得xk或xk()，所以在0，上恰好有兩個零點，若yg(x)在0，b上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可所以b的最小值為4探究提高1研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復合函數(shù)的性質(zhì)求解2函數(shù)yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T應(yīng)特別注意y|Asin(x)|的最小正周期為T【訓練3】函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，請選擇適當?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù)的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上填寫下表，作出在區(qū)間上的圖象性質(zhì)理由結(jié)論得分定義域值域奇偶性周期性單調(diào)性對稱性作圖解1-sinx0且1+sinx0，在R上恒成立，函數(shù)的定義域為R；，由|cosx|0，1，f2（x）2，4，可得函數(shù)的值域為2，2；，函數(shù)的最小正周期為，當時，在上為減函數(shù)，當時，在上為增函數(shù)，在上遞增，在上遞減，且，在其定義域上為偶函數(shù)，結(jié)合周期為得到圖象關(guān)于直線對稱，因此，可得如下表格：性質(zhì)理由結(jié)論得分定義域定義域值域值域奇偶性偶函數(shù)周期性周期單調(diào)性在上遞增，在上遞減對稱性f（-x）=f（x），關(guān)于直線x=k2對稱作圖熱點四三角恒等變換及應(yīng)用【例4】(1)(2015重慶卷)若tan 2tan ，則()A1B2C3D4解析3答案C探究提高1三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值2解決條件求值問題的三個關(guān)注點(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示(3)解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小【訓練4】 (1) (2018泰安一中)平面直角坐標系中，點在單位圓上，設(shè)，若，且，則的值為_(2)(2017石家莊質(zhì)檢)若cos(2)，sin(2)，0，則的值為_解析(1)點在單位圓O上，且，cosx0，siny0，又，且，則，x0coscos（+6）-6cos（+6）cos6+sin（+6）sin故答案為(2)因為cos(2)且2，所以sin(2)因為sin(2)且2，所以cos(2)所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)因為，所以答案(1)；(2)1(2018全國I卷)已知函數(shù)，則（）A的最小正周期為，最大值為3B的最小正周期為，最大值為4C的最小正周期為，最大值為3D的最小正周期為，最大值為42(2018全國II卷)若在是減函數(shù)，則的最大值是（）ABCD3(2018全國III卷)函數(shù)的最小正周期為（）ABCD4(2018全國III卷)函數(shù)在的零點個數(shù)為_5(2018全國II卷)已知tan(-54)=15，則tan=_1(2018余江一中)已知函數(shù)時有極大值，且為奇函數(shù)，則，的一組可能值依次為（）（A），（B），（C），（D），2(2018湖師附中)若函數(shù)fxasinxbcosx (00)，滿足：f(x1)=0，f(x2)=-2，且x1-x2的最小值為2，則的值為（）A1B2C3D42(2018濱州期末)已知函數(shù)fx=sinx+0，2的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)gx=sin2x的圖象，只需把fx上所有的點（）A向右平移6個單位長度B向右平移12個單位長度C向左平移6個單位長度D向左平移12個單位長度3(2017池州模擬)已知sin，則sin_4(2018煙臺期中)已知函數(shù)fx=3sinxcosx+cos2x的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為4（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移6個單位后，再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x（-12，3）時，求函數(shù)g（x）的值域5(2017西安模擬)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x(1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解為x1，x2，求cos(x1x2)的值參考答案1【解題思路】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項【答案】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B2【解題思路】先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值，【答案】因為，所以由，得，因此-a，a-4，34-aa，-a-4，a3400，0)的性質(zhì)：(1)ymax=A+B，ymin=A-B(2)周期T=2(3)由x+=2+k(kZ)求對稱軸，(4)由-2+2kx+2+2k(kZ)求增區(qū)間；由2+2kx+32+2k(kZ)求減區(qū)間3【解題思路】將函數(shù)進行化簡即可【答案】由已知得，的最小正周期，故選C4【解題思路】求出3x+6的范圍，再由函數(shù)值為零，得到3x+6的取值可得零點個數(shù)【答案】，由題可知3x+6=2，3x+6=32，或3x+6=52，解得x=9，49，或79，故有3個零點5【解題思路】利用兩角差的正切公式展開，解方程可得tan=32【答案】tan(-54)=tan-tan541+tantan54=tan-11+tan=15，解方程得tan=321【解題思路】由極值點的導數(shù)為0確定，由奇函數(shù)確定【答案】，因為當時有極大值，所以=0，解得，當時，；因為為奇函數(shù)，所以，當時，故選D2【解題思路】根據(jù)題意得到acos4-sin4=0，得=1，得出fx=2sinx+4，即可求解函數(shù)的最小正周期，得到答案【答案】由題設(shè)，有f4=a2+b2，即22a+b=a2+b2，得a=b，又f4=0，所以acos4-sin4=0，從而tan4=1，所以4=k+4，kZ，即=4k+1，kZ，又由00)，因為x1-x2的最小值為T4=2，所以T=2，則由T=2得=12【解題思路】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)fx的解析式，再利用y=Asinx+的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【答案】由函數(shù)y=Asinx+(其中A0，2)的部分圖象可得A=1，T4=142=712-3，求得=2，再根據(jù)五點法作圖可得23+=，=3，fx=sin2x+3，故把fx=sin2x+3的圖象向右平移6個長度單位，可得y=sin2x-6+3=gx=sin2x的圖象，故選A3【解題思路】已知角度與所求角度互余【答案】sin，coscossin；又0，sin故填4【解題思路】（1）根據(jù)題意得到1422=4，從而得到=1，f（x）=sin（2x+6）+12，令2x+6=k+2，求得x=k2+6，即對稱軸；（2）根據(jù)圖像的變換得到g（x）=sin（4x6）+12，當x（-12，3）時，4x6（2，76），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到值域【答案】（1）函數(shù)fx=3sinxcosx+cos2x32sin2x+1+cos2x2=sin（2x+6）+12的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1422=4，=1，f（x）=sin（2x+6）+12令2x+6=k+2，求得x=k2+6，故函數(shù)f（x）的對稱軸方程為得，（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，可得y=sin（2x3+6）+12=sin（2x6）+12的圖象；再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得