微分方程及其解的定義.doc

微分方程什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？這是首先要回答的問題.300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學，是人類科學史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關.這是因為，微積分產(chǎn)生的一個重要動因來自于人們探求物質世界運動規(guī)律的需求.一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認識清楚，因為人們不太可能觀察到運動的全過程.然而，運動物體(變量)與它的瞬時變化率(導數(shù))之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們容易捕捉到這種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學語言表達出來，其結果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會使你看到微分方程是表達自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學語言.例1 物體下落問題設質量為m的物體，在時間t=0時，在距地面高度為H處以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物體下落時距離與時間的關系.解 如圖1-1建立坐標系，設為t時刻物體的位置坐標.于是物體下落的速度為 加速度為質量為m的物體，在下落的任一時刻所受到的外力有重力mg和空氣阻力，當速度不太大時，空氣阻力可取為與速度成正比.于是根據(jù)牛頓第二定律F = ma (力=質量加速度)可以列出方程(= ）(1.1)其中k 0為阻尼系數(shù)，g是重力加速度.(1.1)式就是一個微分方程，這里t是自變量，x是未知函數(shù)，是未知函數(shù)對t導數(shù).現(xiàn)在，我們還不會求解方程(1.1)，但是，如果考慮k=0的情形，即自由落體運動，此時方程(1.1)可化為(1.2)將上式對t積分兩次得(1.3)其中和是兩個獨立的任意常數(shù)，它是方程(1.2)的解.一般說來，微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)之間的關系式.如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導數(shù)，則稱為偏微分方程.本書所介紹的都是常微分方程，有時就簡稱微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程（1.4） （1.5）(= )（1.6）(= )（1.7）在一個常微分方程中，未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階.這樣，一階常微分方程的一般形式可表為（1.8）如果在(1.8)中能將y解出，則得到方程 （1.9）或 （1.10）(1.8)稱為一階隱式方程,(1.9)稱為一階顯式方程，(1.10)稱為微分形式的一階方程.n 階隱式方程的一般形式為（1.11）n 階顯式方程的一般形式為(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函數(shù)F對未知函數(shù)y和它的各階導數(shù)y,y,y(n)的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個以y為未知函數(shù)，以x為自變量的n階線性微分方程具有如下形式： （1.13）顯然，方程(1.4)是一階線性方程；方程(1.5)是一階非線性方程；方程(1.6)是二階線性方程；方程(1.7)是二階非線性方程.通解與特解微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下.定義1. 設函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，且有直到n階的導數(shù).如果把代入方程(1.11)，得到在區(qū)間I上關于x的恒等式， 則稱為方程(1.11)在區(qū)間I上的一個解.這樣，從定義1.1可以直接驗證：1. 函數(shù)y = x2是方程(1.4)在區(qū)間(-，+)上的解，其中C是任意的常數(shù).2. 函數(shù)是方程(1.5)在區(qū)間（-1,+1）上的解，其中C是任意常數(shù).又方程(1.5)有兩個明顯的常數(shù)解y =，這兩個解不包含在上述解中.3. 函數(shù)是方程(1.6)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨立的任意常數(shù). 4. 函數(shù)是方程(.)在區(qū)間(-，+)上的解，其中和是獨立的任意常數(shù).這里，我們僅驗證3，其余留給讀者完成.事實上，在(-，+)上有 所以在（，）上有 從而該函數(shù)是方程(1.6)的解.從上面的討論中，可以看到一個重要事實，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等，也可以不含任意常數(shù).我們把n階常微分方程(1.11)的含有n個獨立的任意常數(shù)C1，C2，Cn的解 ，稱為該方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常數(shù)，則稱它為特解.由隱式表出的通解稱為通積分，而由隱式表出的特解稱為特積分. 由上面的定義，不難看出，函數(shù)和分別是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函數(shù)是方程(1.7)的通積分，而函數(shù)y =是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可對通解中的任意常數(shù)以定值確定，這種確定過程，需要下面介紹的初始值條件，或簡稱初值條件. 初值問題例 1中的函數(shù)(1.3)顯然是方程(1.2)的通解，由于和是兩個任意常數(shù)，這表明方程(1.2)有無數(shù)個解，解的圖像見下面的圖a和圖b所示. 圖a（C1固定，C20）圖b（C1=0,C20）而實際經(jīng)驗表明，一個自由落體運動僅能有一條運動軌跡.產(chǎn)生這種多解性的原因是因為方程(1.2)所表達的是任何一個自由落體，在任意瞬時t所滿足的關系式，并未考慮運動的初始狀態(tài)，因此，通過積分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一個自由落體的運動規(guī)律.顯然，在同一初始時刻，從不同的高度或以不同初速度自由下落的物體，應有不同的運動軌跡.為了求解滿足初值條件的解，我們可以把例1中給出的兩個初始值條件，即初始位置x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得于是，得到滿足上述初值條件的特解為 (1.14)它描述了初始高度為H，初始速度為v0的自由落體運動規(guī)律.求微分方程滿足初值條件的解的問題稱為初值問題. 于是我們稱(1.14)是初值問題 的解.對于一個n 階方程，初值條件的一般提法是(1.15)其中是自變量的某個取定值，而是相應的未知函數(shù)及導數(shù)的給定值.方程(1.12)的初值問題常記為 (1.16) 初值問題也常稱為柯希（Cauchy）問題.對于一階方程，若已求出通解，只要把初值條件代入通解中，得到方程從中解出C，設為，代入通解，即得滿足初值條件的解.對于n 階方程，若已求出通解后，代入初值條件(1.15)，得到n個方程式 (1.17) 如果能從(1.17)式中確定出，代回通解，即得所求初值問題的. 例2 求方程的滿足初值條件的解.解 方程通解為求導數(shù)后得將初值條件代入，得到方程組解出和得故所求特解為 積分曲線 為了便于研究方程解的性質，我們常?？紤]解的圖象.一階方程(1.9)的一個特解的圖象是xoy平面上的一條曲線，稱為方程(1.9)的積分曲線，而通解的圖象是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族拋物曲線.而是過點(0，0)的一條積分曲線.以后，為了敘述簡便，我們對解和積分曲線這兩個名詞一般不加以區(qū)別.對于二階和二階以上的方程，也有積分曲線和積分曲線族的概念，只不過此