氘核中子與質(zhì)子的相互作用.doc

原子核與粒子物理課程論文氘核中子與質(zhì)子的相互作用摘 要： 核子間相互作用力簡稱核力。研究中子和質(zhì)子的相互作用時，氘核是一個最簡單而且有用的例子。本文從量子力學(xué)里最常見的方勢井和有心力模型出發(fā)，通過求解氘核基態(tài)波函數(shù)來分析核子之間的相互作用。通過和現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比，說明模型的正確性和不足，進(jìn)而采用高斯作用勢，利用數(shù)值方法求解波函數(shù)。關(guān)鍵詞：有心力；方勢井；薛定諤方程；數(shù)值解.(1)1. 球形方勢井假定核力是有心力。在質(zhì)心坐標(biāo)系中，氘核基態(tài)波函數(shù)滿足222+Vrr=Er其中，=MnMpMn+Mp，因?yàn)橹凶雍唾|(zhì)子的質(zhì)量近似相等，所以Mp2。Vr表示質(zhì)子與中子的間位能。束縛態(tài)能量E=-B=-2.226MeV，所以B表示核子間的結(jié)合能。(2)由于基態(tài)的s波部分只包括徑向波函數(shù)，所以可以設(shè)r=Rr=urr。若只考慮徑向部分，拉普拉斯運(yùn)算滿足2r=1r2ddrr2drdr。所以，2urr=1rd2urdr2。薛定諤方程(1)可以化簡為d2urdr2-2Vr2ur+2E2ur=0(3)令2=-2E2，vr=-2Vr2，得到方程d2dr2+-2+vrur=0ur滿足邊界條件u0=0，u=0。(4)簡單起見，假定Vr為球形方勢井，即Vr=-V0,rb圖一 勢能分布函數(shù)(5)方程(3)變?yōu)閐2dr2+K2ur=0,rb(6)其中，K2=2V02-2=22V0-B。由此，可以得到解ur=C1sinKr,rb考慮到波函數(shù)的物理意義，概率密度函數(shù)只與urr有關(guān)，所以C1和C2可以取正實(shí)數(shù)。圖二 約化徑向波函數(shù)(7)為了確定待定常數(shù)C1和C2，需運(yùn)用波函數(shù)的連續(xù)性和歸一化條件。ur在r=b處連續(xù)，所以C1sinKb=C2e-b(8)基態(tài)波函數(shù)r=urr=C1sinKr/r,rb(9)對r2在全空間進(jìn)行積分，即02d0sind0r2r2dr=1(10)得到4C120bsin2Krdr+C22be-2rdr=1(11)解出C122b-sin2Kb2K+C222e-2b=14(12)結(jié)合之前得到的關(guān)系式，可以得到關(guān)于C12和C22的二元方程組，即sin2KbC12-e-2bC22=012b-sin2Kb2KC12+e-2b2C22=14通過二階行列式可以很容易解出C12和C22的值，進(jìn)而求得C1和C2的值。(13)另外，由于勢井的深度有限，所以 ur的一階導(dǎo)數(shù)在r=b處也連續(xù)。所以有kC1cosKb=-C2e-b(14)結(jié)合式和式，不但可以確定待定系數(shù)C1和C2的值，還可以解出束縛態(tài)能量。式(7)除以式(13)，得到tanKb=-K/令Kb=x，可以得到關(guān)于x的超越方程tanx=-xb。利用圖解法，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=tanx和y=-xb左右兩邊兩個函數(shù)的圖像能夠求到數(shù)值解，也可以采用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。（見附錄）值得注意的是，外部波函數(shù)的梯度ur=-C2e-r0。假設(shè)氘核只有一個束縛態(tài)，則內(nèi)部波函數(shù)C1sinKr在r=b處必定是剛剛開始下降，即Kb=2+，為一小量。如果B=0，則Kb=2，此時V0與b之間滿足V0b2=2222224Mp。對于實(shí)際的B來說，V0b2比224Mp稍大，也就是說，勢井的深度與寬度之間滿足一定的約束條件。以上所討論的模型都十分粗略和簡單，我們可以結(jié)合已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對建立的模型加以修正。1) 氘核是由一個質(zhì)子和一個中子組成的穩(wěn)定核，它只有一個束縛態(tài)（這點(diǎn)與之前的假設(shè)一致），核自旋J=1；2) 結(jié)合能B=2.2260.002MeV；3) 磁矩D=0.8574110.000019核磁子；4) 電四極矩QD=2.7350.01410-27cm2。由此，能夠看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模型假設(shè)之間的一些矛盾。因?yàn)榧热徽J(rèn)為氘核處于基態(tài)，其s波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，就不會有電四極矩。如果核子間相互作用是有心力場，則軌道角動量是運(yùn)動常數(shù)，氘核基態(tài)必然只能有一定的軌道角動量。S態(tài)不可能和其他態(tài)混起來，所以QD0表示核子間位能不可能全是有心力場。但由于QD和D-p-n的數(shù)值比較小，為了估計有心力的大小，略去這些是合理的。2. 高斯型作用勢(15)以上的討論比較簡單，當(dāng)質(zhì)子與中子的相互作用勢變得相對復(fù)雜時，想要求得波函數(shù)的解析解是幾乎不可能的。所以以下給出氘核基態(tài)波函數(shù)的一種數(shù)值解法。選取高斯形式的相互作用勢，即Vr=-V0e-r/r02(16)結(jié)合相關(guān)的文獻(xiàn)3，V0=72.194MeV，r0=1.484fm。根據(jù)式(2)得到方程ur=Aur其中，A=22Vr-E，基態(tài)能量E=-2.226MeV。由于氘核的半徑很小，對上式的求解取r的范圍為：r(0,25fm)。把r所屬的區(qū)間進(jìn)行均勻的n等分，每個區(qū)間的長度為h，第i個區(qū)間的起點(diǎn)為ri，終點(diǎn)為ri+1。將ri+1和ri-1處的約化徑向波函數(shù)在ri點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，uri+1=uri+huri+h22uri+h36uri+h424u4ri+h5120u5ri+h6720u6ri+uri-1=uri-huri+h22uri-h36uri+h424u4ri-h5120u5ri+h6720u6ri+(17)兩式相加，得uri+1-2uri+ uri-1=h2uri+h412u4ri+h6360u6ri+(18)經(jīng)過簡單的推導(dǎo)，可以將式的微分方程化成如下：uri+12+56h2Ariuri-1-h212Ari-1uri-11-h212Ari+1即約化徑向波函數(shù)滿足的三點(diǎn)中央差分遞推公式。要確定這個波函數(shù)的具體數(shù)值，需要知道ur1和ur2兩點(diǎn)的數(shù)值，ur1=0是已知的，但ur2的數(shù)值不好確定，簡單起見，取一個小的整數(shù)來近似表示ur2。通過Matlab軟件，可以通過循環(huán)迭代方式求出每一點(diǎn)的波函數(shù)，然后畫出ur的圖像（見附錄）。3. 結(jié)論本文介紹了兩種作用勢模型下質(zhì)子與中子的相互作用，并給出了兩種模型的計算方法，分析了兩種方法的合理性和優(yōu)缺點(diǎn)，著重介紹了常用的科學(xué)計算方法。但由于缺乏數(shù)據(jù)和相關(guān)的研究，并不能和真實(shí)的情況進(jìn)行對比。參考文獻(xiàn)：1 楊立銘，于敏原子核物理講義M. 北京：北京大學(xué)出版社，2014：6-8.2 楊福家. 原子物理學(xué)M. 北京：高等教育出版社，2008：300-307.3 李小華，張貴清等. 氘核基態(tài)波函數(shù)的數(shù)值解J. 廣西物理，2011，32(4)：11-13.附錄圖三 函數(shù)y=tanx與y=x/2的圖象數(shù)值方法求解超越方程，可以使用簡單的二分法進(jìn)行計算。但利用二分法的前提是待求解的方程必須在給定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)連續(xù)，否則會得不到正確的解，所以可以先做出相應(yīng)的圖形，通過簡單的計算大致判斷根所在的區(qū)間。本文利用C語言來編寫此算法，并以一個具體的函數(shù)作為例子進(jìn)行求解。源代碼如下：#include#includedouble fun(double x);double findroot(double a,double b);int main(void)double a=1.8,b=2.5;/選定的初值區(qū)間為1.8,2.5double value=findroot(a,b);printf(%gn,value);return 0;/待求解的方程為tanx=-x/2double fun(double x)double y;y=tan(x)+x/2.0;return y;/二分法求解double findroot(double a,double b)double x1,x2,x0;double root=0;x1=a;x2=b;if(fun(x1)*fun(x2)0)printf(重新選擇計算區(qū)間！n);elsewhile(fabs(x1-x2)1e-6)/計算結(jié)果的精度x0=(x1+x2)/2.0;if(fun(x1)*fun(x0)0)x2=x0;elsex1=x0;root=(x1+x2)/2.0;return root;運(yùn)行結(jié)果為：2.28893%-數(shù)值求解高斯形式相互作用勢下的波函數(shù)-%clear;clc;n=500;r=linspace(0,25,n+1);%等間隔插入個n+1個點(diǎn)，將區(qū)間均分成n段h=25/n;%步長%質(zhì)子質(zhì)量為938MeV/c2，c=197fm*MeVA=938/1972*(-72.194*exp(-r.2/1.4842)+2.226);u=zeros(1,n+1);u(2)=0.0025;for i=2:n u(i+1)=(2+5/6*h2*A(i)*u(i)-(1-h2./12*A(i-1)*u(i-1)/(1-h2./12*A(i+1);endu=u/max(u);plot(r,u,.-r),xlabel(r/fm),ylabel(u(r),set(gca,ytick,);grid on,box on,title(約化徑向波函數(shù));圖像如下：圖四 波函數(shù)圖像值得說明的是，由于帶入數(shù)據(jù)的精度和初始條件的設(shè)定合理性，會使得求解出的函數(shù)存在很大的偏差，原因是波函數(shù)的邊界條件應(yīng)該是u0=0，u=0。但在進(jìn)行數(shù)值求解時必須知道的是前兩點(diǎn)的數(shù)值，這就給求解帶來了一定的困難。但從定性的角度