第一次習(xí)題課 第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何(一).doc

第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何（一）練習(xí)題練習(xí)3 設(shè)，試求，和.解：因為是直角坐標(biāo)系的三個單位向量，故，.因此，.當(dāng)然，利用坐標(biāo)表達(dá)式可得.同樣，利用，可知.=.直接利用坐標(biāo)表達(dá)式計算.注意：！注：計算向量的內(nèi)積、外積可直接利用坐標(biāo)表達(dá)式的公式，或根據(jù)單位向量的內(nèi)積和外積的運(yùn)算規(guī)律計算. 練習(xí)題4 已知三個單位向量滿足條件，試求之值，并證明.解：注意到所以.因為，兩邊與作外積，得，即.同理，若兩邊與作外積，就有，于是.練習(xí)題5 設(shè)是的面積，是的周長之半，試證：（1）正弦定理，即；（2）三角形面積的海倫公式：；（3）如果，試求的面積. 解：（1）由向量積的幾何意義有2=，即 ，同時除以，即得，從而.（2）根據(jù)內(nèi)積的定義及余弦定理，有，于是=.故.（3），故，=12.5. 練習(xí)題6 已知與垂直，與垂直，求，其中為非零向量. 解：利用兩向量垂直的充要條件有，即.兩邊除以，并令，得，解得，即.因此，故.練習(xí)題7 已知向量和有共同起點(diǎn)，試確定沿著向量和間夾角的平分線方向的向量的坐標(biāo).分析：所求向量的模已知，關(guān)鍵是確定它的方向.向量和直接相加減，均得不到沿角平分線的向量，但由簡單的幾何知識可知，菱形的對角線平分兩鄰邊之夾角.由此可考慮取和的單位向量和，則與同向的向量必平分.解：=，=.，設(shè)，且，所以 ，由此得.故.注：向量=表示向量和夾角的角平分線的方向. 練習(xí)題8 已知，求一單位向量，使，且與共面.解：設(shè)所求的向量=，依題意，與共面，可得； （1），即； （2），即. （3）由（1）（2）（3）式聯(lián)立解得，所以.注：欲求一個向量，即是求滿足一定條件的向量的坐標(biāo).（1）當(dāng)所求向量平行于向量（或與之共線）時，可設(shè)所求向量為，然后利用其他條件求得.（2）當(dāng)所求向量垂直于向量時，可設(shè)所求向量為，由此得方程，再與其他兩個條件所建立的方程聯(lián)立，求得.（3）當(dāng)所求向量同時垂直于兩個向量和時，即說明所求向量平行于向量，故可設(shè)所求向量為，然后利用其他條件求得. 練習(xí)題9 求過直線，且平行于直線的平面的方程. 分析：求平面方程一般考慮用點(diǎn)法式方程，即要求出平面的法向量.注意到該法向量同時垂直于兩條直線，故法向量可取這兩條直線的方向向量的外積. 如果已知平面過一條已知直線，經(jīng)常可考慮用平面束方程求得. 解：方法1 根據(jù)題意，平面過直線，所以過直線上的點(diǎn).又因為平面過直線且平行于直線，所以平面的法向量為，因此平面方程為，即.方法2 將直線變?yōu)橐话闶?故可設(shè)所求平面的方程為，即，其法向量為.由得，解得.故平面的方程為. 練習(xí)題10 求由平面和構(gòu)成的二面角的平分面方程. 分析：兩個平面構(gòu)成的二面角有兩個，所以本題的解為兩個平面.本題的解法也有兩種，一是利用平分面上任一點(diǎn)到已知二平面的距離相等；二是利用平面束方程. 解：方法1 設(shè)為所求平面上的任一點(diǎn)，根據(jù)題意，到兩已知平面的距離相等，所以，即，因此 ，故所求平面方程為，或 方法2 設(shè)所求的平面方程為，其法向量為.記，根據(jù)題意，與所夾銳角和與所夾銳角相等，所以，解得，故所求平面方程為，或. 練習(xí)題11 一平面通過點(diǎn)，它在正軸，軸上的截距相等，問當(dāng)平面的截距為何值時，它與三個坐標(biāo)面所圍成的空間體的體積最小？并寫出此平面的方程. 分析：這是求最小值的問題.先寫出體積表達(dá)式，再利用求最值的方法求解.解：設(shè)此平面的截距式方程為，根據(jù)題意，故平面方程為，因為點(diǎn)又在平面上，所以，解得.設(shè)此平面與三個坐標(biāo)面所圍成的空間體的體積為，則，令，得（舍去），或.所以當(dāng)時，此平面與三個坐標(biāo)面所圍成的空間體的體積最小. 練習(xí)題12 設(shè)一直線過點(diǎn)，并與平面平行，又與直線相交，試求此直線方程. 解：方法1 設(shè)所求直線與已知直線的交點(diǎn)為，因為在直線上，故有，于是有.因所求直線過點(diǎn)與，故向量是它的一個方向向量.又因為所求的直線與平面平行，故向量與平面的法向量垂直，于是.由此解得，故，即交點(diǎn).故由兩點(diǎn)式得所求的直線方程為，即. 方法2 過點(diǎn)，且與平面平行可作一平面；過點(diǎn)與直線也可作一平面.顯然，所求直線為平面與的交線.過點(diǎn)，且與平面平行的平面的方程為，即.直線上點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成向量，直線的方向向量，則平面的法向量，于是由點(diǎn)法式方程得平面的方程為，即.因此，所求的直線方程為.將它化為點(diǎn)向式方程即為方法1的結(jié)果. 練習(xí)題13 試求直線在平面上的投影直線方程，并將它寫為點(diǎn)向式方程.解：方法1 過直線且垂直于平面的平面記為，的法向量記為，顯然垂直于平面的法向量，又垂直于直線的方向向量，而同時垂直于構(gòu)成直線的兩張平面的法向量，故有.于是.再在直線任取一點(diǎn)，如取點(diǎn)，于是過直線且垂直于平面的平面的方程為.將它與平面的方程聯(lián)立即得在上的投影直線方程 .投影直線的方向向量，并在上任取一點(diǎn)，則投影直線的點(diǎn)向式方程為. 方法2 由直線的一般式方程知，以直線為軸的平面束方程是，即.選出一張平面與平面垂直，即，故.從而把它代入平面束方程得，將它與平面的方程聯(lián)立便得如方法1的投影直線的方程. 練習(xí)題14 判斷下列各題中兩條直線的位置關(guān)系（是否平行、相交或重合）.若相交求出交點(diǎn)的坐標(biāo).若共面求出所確定的平面方程.（1）.（2）. 解：（1）的方向向量，它通過點(diǎn)，的方向向量，它通過點(diǎn).因為，所以與不共線，即與不平行也不重合，只需再判斷是異面直線還是相交，不難算出，由此知與共面.又已知與不平行，故它們相交.為求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用參數(shù)方程. 與的參數(shù)方程分別為：，.則直線與相交方程組有解.不難解得，從而代入即得交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）與的方向向量分別為并且分別通過點(diǎn)，因為，所以與共面，又不在上，于是與平行.故通過與平行的平面是，即.它就是平行直線與所確定的平面方程. 練習(xí)題15 求關(guān)于直線的對稱點(diǎn). 解：過作平面垂直，即作平面過，以為法向量，它的方程是.的參數(shù)方程為，代入平面的方程得，由此解得，于是得與的交點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)公式得由此解得. 練習(xí)題16 證明下列三個平面：相交于一條直線. 證明：方法1 先求出前兩個平面的交線的方程：，再令，由前兩平面方程可求得，故交線過點(diǎn)，于是交線的參數(shù)方程為.將的方程代入第三個平面的方程得.這說明在第三個平面上，故三平面交于一條直線. 方法2 先證明這三個平面的法向量共面.事實上，因為，所以這三個法向量共面.設(shè)平面與此法向量都平行.再證明這三個平面有一個公共點(diǎn).令，由后兩個方程得，解得.而也滿足第一個方程，因此這三個平面有公共點(diǎn).最后，因為相應(yīng)的三個法向量兩兩不平行，所以這三個平面兩兩相交得三條交線，且其中任意一條交線都與平面垂直，于是這三條交線共線.又由前面的討論知，每條交線都通過同一點(diǎn)，故此三條交線重合，即三個平面交于一條直線. 方法3 由后兩個方程消去得，由前兩個方程消去也得.因此已知方程組與方程組同解.因為，所以三個平面相交于一條直線.練習(xí)題17 設(shè)有兩平面及兩直線，求與兩平面及都平行與兩直線及都相交的直線的方程. 解：設(shè)直線，的方向向量分別為.平面與的法向量分別為與.由所設(shè)條件知，所以.再設(shè)直線過點(diǎn)，由于和相交，它們就共面，于是，其中為上的一個點(diǎn)，故，即 （1）同理，由于直線和相交，就有，其中為上的一個點(diǎn)，故，即 （2）將（1）（2）聯(lián)立，得一個三元一次方程組，因為該方程組中方程個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，于是方程組有無窮多個解.所以不妨令，解得.因而直線過點(diǎn)