第六章定積分的應(yīng)用.doc

第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的元素法教學(xué)目的：理解和掌握用定積分去解決實(shí)際問題的思想方法即定積分的元素法教學(xué)重點(diǎn)：元素法的思想教學(xué)難點(diǎn)：元素法的正確運(yùn)用教學(xué)內(nèi)容：一、 再論曲邊梯形面積計(jì)算設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，求以曲線為曲邊，底為的曲邊梯形的面積。1化整為零用任意一組分點(diǎn) 將區(qū)間分成 個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度為并記 相應(yīng)地，曲邊梯形被劃分成個(gè)窄曲邊梯形，第個(gè)窄曲邊梯形的面積記為。于是 2以不變高代替變高，以矩形代替曲邊梯形，給出“零”的近似值 3積零為整，給出“整”的近似值 4取極限，使近似值向精確值轉(zhuǎn)化 上述做法蘊(yùn)含有如下兩個(gè)實(shí)質(zhì)性的問題：（1）若將分成部分區(qū)間，則相應(yīng)地分成部分量，而這表明：所求量對(duì)于區(qū)間具有可加性。(2)用近似，誤差應(yīng)是的高階無(wú)窮小。只有這樣，和式的極限方才是精確值。故關(guān)鍵是確定 通過對(duì)求曲邊梯形面積問題的回顧、分析、提煉， 我們可以給出用定積分計(jì)算某個(gè)量的條件與步驟。二、元素法1能用定積分計(jì)算的量，應(yīng)滿足下列三個(gè)條件(1) 與變量的變化區(qū)間有關(guān)；(2) 對(duì)于區(qū)間具有可加性；(3) 部分量可近似地表示成。2寫出計(jì)算的定積分表達(dá)式步驟(1) 根據(jù)問題，選取一個(gè)變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間；(2) 設(shè)想將區(qū)間分成若干小區(qū)間，取其中的任一小區(qū)間，求出它所對(duì)應(yīng)的部分量的近似值 ( 為上一連續(xù)函數(shù))則稱為量的元素，且記作。(3) 以的元素作被積表達(dá)式，以為積分區(qū)間，得這個(gè)方法叫做元素法，其實(shí)質(zhì)是找出的元素的微分表達(dá)式因此，也稱此法為微元法。小結(jié)：元素法的提出、思想、步驟（注意微元法的本質(zhì)）作業(yè)：作業(yè)卡第二節(jié) 平面圖形的面積教學(xué)目的：學(xué)會(huì)用元素法計(jì)算平面圖形的面積教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：面積元素的選取教學(xué)內(nèi)容：一、直角坐標(biāo)的情形由曲線 及直線 與 ( ) 與 軸所圍成的曲邊梯形面積。 其中：為面積元素。由曲線 與 及直線 ，( )且所圍成的圖形面積。 其中： 為面積元素。例1 計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫所圍的圖形簡(jiǎn)圖解方程 , 得交點(diǎn)： 和 。2. 選擇積分變量并定區(qū)間選取為積分變量，則3. 給出面積元素在上， 在上， 4. 列定積分表達(dá)式另解：若選取為積分變量，則 顯然，解法二較簡(jiǎn)潔，這表明積分變量的選取有個(gè)合理性的問題。例2 求橢圓所圍成的面積 。解：據(jù)橢圓圖形的對(duì)稱性，整個(gè)橢圓面積應(yīng)為位于第一象限內(nèi)面積的4倍。取為積分變量，則 ， 故 ( * )作變量替換 則 ， ( * * )二、極坐標(biāo)情形 設(shè)平面圖形是由曲線 及射線，所圍成的曲邊扇形。取極角為積分變量，則 ,在平面圖形中任意截取一典型的面積元素，它是極角變化區(qū)間為的窄曲邊扇形。的面積可近似地用半徑為， 中心角為的窄圓邊扇形的面積來(lái)代替，即從而得到了曲邊梯形的面積元素 從而 例3 計(jì)算心臟線所圍成的圖形面積。解： 由于心臟線關(guān)于極軸對(duì)稱， 小結(jié): 求在直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.作業(yè): 作業(yè)卡 P67P68 第三節(jié) 體積教學(xué)目的：掌握用定積分的元素法計(jì)算體積教學(xué)重點(diǎn)：體積的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：體積元素的選取教學(xué)內(nèi)容：一、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。計(jì)算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積。取為積分變量，則，對(duì)于區(qū)間上的任一區(qū)間，它所對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體體積。即：體積元素為所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為例1 求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積。解：取為積分變量，則二、平行截面面積為已知的立體的體積( 截面法 )由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么這個(gè)立體的體積也可以用定積分來(lái)計(jì)算。取定軸為軸， 且設(shè)該立體在過點(diǎn)，且垂直于軸的兩個(gè)平面之內(nèi)， 以表示過點(diǎn)且垂直于軸的截面面積。取為積分變量，它的變化區(qū)間為。立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的一薄片的體積近似于底面積為，高為的扁圓柱體的體積。即：體積元素為 于是，該立體的體積為 例2 計(jì)算橢圓 所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。解：這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可看作是由上半個(gè)橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體。在處，用垂直于軸的平面去截立體所得截面積為例3 計(jì)算擺線的一拱以及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的立體的體積。解：請(qǐng)自行計(jì)算定積分 小結(jié): 旋轉(zhuǎn)體體積 平行截面已知的立體的體積作業(yè): 作業(yè)卡 P69 第四節(jié) 平面曲線的弧長(zhǎng)教學(xué)目的：掌握用定積分元素法計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)，教學(xué)重點(diǎn)：平面曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：弧長(zhǎng)元素的選取教學(xué)內(nèi)容：一、直角坐標(biāo)情形設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線的長(zhǎng)度。取為積分變量，則,在上任取一小區(qū)間，那么這一小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線弧段的長(zhǎng)度可以用它的弧微分來(lái)近似。于是，弧長(zhǎng)元素為弧長(zhǎng)為例1 計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)。解：二、參數(shù)方程的情形若曲線由參數(shù)方程給出，計(jì)算它的弧長(zhǎng)時(shí)，只需要將弧微分寫成的形式，從而有例2 計(jì)算半徑為的圓周長(zhǎng)度。解： 圓的參數(shù)方程為 三、極坐標(biāo)情形若曲線由極坐標(biāo)方程給出，要導(dǎo)出它的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可。曲線的參數(shù)方程為此時(shí)變成了參數(shù)，且弧長(zhǎng)元素為從而有例3 計(jì)算心臟線的弧長(zhǎng)。 解： 小結(jié): 平面曲線弧長(zhǎng)的概念弧微分的概念求弧長(zhǎng)的公式 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程 極坐標(biāo)系下作業(yè): 作業(yè)卡 P70第五節(jié) 功、水壓力和引力教學(xué)目的：理解和掌握用定積分的元素法，解決物理上的實(shí)際問題 功，水壓力和引力教學(xué)重點(diǎn)：如何將物理問題抽象成數(shù)學(xué)問題教學(xué)難點(diǎn)：元素法的正確運(yùn)用教學(xué)內(nèi)容：一、變力沿直線所作的功例1 半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為 1 ，現(xiàn)將這球從水中取出，需作多少功?解：建立如圖所示的坐標(biāo)系將高為的球缺取出水面，所需的力為：其中：是球的重力，表示將球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式 有 從而 十分明顯，表示取出水面的球缺的重力。即：僅有重力作功，而浮力并未作功，且這是一個(gè)變力。從水中將球取出所作的功等于變力從改變至?xí)r所作的功。取為積分變量，則，對(duì)于上的任一小區(qū)間，變力從到這段距離內(nèi)所作的功。這就是功元素，并且功為另解： 建立如圖所示的坐標(biāo)系取為積分變量， 則 。在 上任取一個(gè)小區(qū)間，則此小區(qū)間對(duì)應(yīng)于球體上的一塊小薄片，此薄片的體積為由于球的比重為 1 ， 故此薄片質(zhì)量約為將此薄片取出水面所作的功應(yīng)等于克服薄片重力所作的功，而將此薄片取出水面需移動(dòng)距離為 。故功元素為 二、水壓力在水深為處的壓強(qiáng)為，這里是水的比重。如果有一面積為的平板水平地放置在水深處，那未，平板一側(cè)所受的水壓力為 若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之處的壓強(qiáng)不相等。此時(shí)，平板一側(cè)所受的水壓力就必須使用定積分來(lái)計(jì)算。例2邊長(zhǎng)為和的矩形薄板，與水面成角斜沉于水中，長(zhǎng)邊平行于水面而位于水深處。設(shè)，水的比重為，試求薄板所受的水壓力。解：由于薄板與水面成角斜放置于水中，則它位于水中最深的位置是取為積分變量， 則 (注意： 表示水深)在中任取一小區(qū)間，與此小區(qū)間相對(duì)應(yīng)的薄板上一個(gè)小窄條形的面積是 它所承受的水壓力約為 于是，壓力元素為 這一結(jié)果的實(shí)際意義十分明顯，正好是薄板水平放置在深度為的水中時(shí)所受到的壓力，而是將薄板斜放置所產(chǎn)生的壓力，它相當(dāng)于將薄板水平放置在深度為處所受的水壓力。三、引力由物理學(xué)知道：質(zhì)量為、，相距為的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為為引力系數(shù)。引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向。如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，便不能簡(jiǎn)單地用上述公式來(lái)作計(jì)算了。例3 設(shè)有一半徑為， 中心角為的圓弧形細(xì)棒， 其線密度為常數(shù)， 在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)， 試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。解決這類問題，一般來(lái)說，應(yīng)選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。解：建立如圖所示