北師大版必修一 §5 簡單的冪函數(二) 課件（43張）.pptx

5簡單的冪函數 二 第二章函數 學習目標1 理解函數奇偶性的定義 2 掌握函數奇偶性的判斷和證明方法 3 會應用奇 偶函數圖像的對稱性解決簡單問題 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 答案 關于y軸對稱 關于原點對稱 思考 知識點一函數奇偶性的幾何特征 下列函數圖像中 關于y軸對稱的有哪些 關于原點對稱的呢 答案 一般地 圖像關于y軸對稱的函數叫作函數 圖像關于原點對稱的函數叫作函數 梳理 偶 奇 思考1 知識點二函數奇偶性的定義 為什么不直接用圖像關于y軸 原點 對稱來定義函數的奇偶性 答案 答案因為很多函數圖像我們不知道 即使畫出來 細微之處是否對稱也難以精確判斷 思考2 利用點對稱來刻畫圖像對稱有什么好處 答案 答案好處有兩點 1 等價 只要所有點均關于y軸 原點 對稱 則圖像關于y軸 原點 對稱 反之亦然 2 可操作 要判斷點是否關于y軸 原點 對稱 只要代入解析式驗證即可 不知道函數圖像也能操作 梳理 函數奇偶性的概念 1 偶函數 如果對于函數f x 的定義域內任意一個x 都有 那么函數f x 就叫作偶函數 其實質是函數f x 上任一點 x f x 關于y軸的對稱點 x f x 也在f x 圖像上 2 奇函數 如果對于函數f x 的定義域內任意一個x 都有 那么函數f x 就叫作奇函數 其實質是函數f x 上任一點 x f x 關于原點的對稱點 x f x 也在f x 圖像上 f x f x f x f x 3 由函數奇偶性定義 對于定義域內任一元素x 其相反數 x必須也在定義域內 所以判斷函數奇偶性要注意定義域優(yōu)先原則 即首先要看定義域是否關于原點對稱 思考 知識點三奇偶性與單調性 觀察偶函數y x2與奇函數y 在 0 和 0 上的單調性 你有何猜想 答案 答案偶函數y x2在 0 和 0 上的單調性相反 奇函數y 在 0 和 0 上的單調性相同 1 若奇函數f x 在 a b 上是增函數 且有最大值m 則f x 在 b a 上是函數 且有最小值 2 若偶函數f x 在 0 上是減函數 則f x 在 0 上是 3 知道了函數的奇偶性 我們可以先研究函數的一半 再利用對稱性了解其另一半 從而減少工作量 梳理 增 m 增函數 題型探究 例1判斷并證明下列函數的奇偶性 證明 類型一判斷函數的奇偶性 證明因為函數的定義域為 x x r且x 1 對于定義域內的 1 其相反數1不在定義域內 故f x 既非奇函數又非偶函數 2 f x x 1 x 1 證明 證明函數的定義域為r 因為函數f x x 1 x 1 x2 1 又f x x 2 1 x2 1 f x 所以函數為偶函數 證明 證明函數的定義域為 1 1 因為對定義域內的每一個x 都有f x 0 所以f x f x 即該函數既是奇函數又是偶函數 利用定義法判斷函數是否具有奇偶性時 首先應看函數定義域是否關于原點對稱 即對于定義域內的任意一個x 則 x也一定屬于定義域 反思與感悟 跟蹤訓練1判斷并證明下列函數的奇偶性 1 f x x 2 證明 解由 0 得定義域為 2 2 關于原點不對稱 故f x 為非奇非偶函數 2 f x x x 證明 解函數的定義域為r 因為f x x x x x f x 所以函數為奇函數 3 f x g x 是定義在r上的奇函數 試判斷y f x g x y f x g x y f g x 的奇偶性 證明 解 f x g x 是定義在r上的奇函數 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是奇函數 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是偶函數 f g x f g x f g x y f g x 是奇函數 命題角度1奇 偶 函數圖像的對稱性的應用例2定義在r上的奇函數f x 在 0 上的圖像如圖所示 類型二奇偶性的應用 解答 1 畫出f x 的圖像 解先描出 1 1 2 0 關于原點的對稱點 1 1 2 0 連線可得f x 的圖像如圖 2 解不等式xf x 0 解答 解xf x 0即圖像上橫坐標 縱坐標同號 結合圖像可知 xf x 0的解集是 2 0 0 2 引申探究把例2中的 奇函數 改為 偶函數 重做該題 解答 解 1 f x 的圖像如圖所示 2 xf x 0的解集是 2 0 2 鑒于奇 偶 函數圖像關于原點 y軸 對稱 可以用這一特性去畫圖 求值 求解析式 研究單調性 反思與感悟 跟蹤訓練2已知奇函數f x 的定義域為 5 5 且在區(qū)間 0 5 上的圖像如圖所示 解答 1 畫出在區(qū)間 5 0 上的圖像 解 1 如圖 在 0 5 上的圖像上選取5個關鍵點o a b c d 分別描出它們關于原點的對稱點o a b c d 再用光滑曲線連接即得 2 寫出使f x 0的x的取值集合 解答 解由 1 圖可知 當且僅當x 2 0 2 5 時 f x 0 使f x 0的x的取值集合為 2 0 2 5 命題角度2應用函數奇偶性求解析式例3函數f x 是定義域為r的奇函數 當x 0時 f x x 1 求當x 0時 f x 的解析式 解設x0 f x x 1 x 1 又 函數f x 是定義域為r的奇函數 f x f x x 1 當x 0時 f x x 1 解答 利用函數的奇偶性求函數解析式已知函數f x 在區(qū)間 a b 上的解析式 求函數f x 在區(qū)間 b a 上的解析式的一般方法 1 設 設 b x a 則a x b 2 求f x 根據已知條件f x 在區(qū)間 a b 上的解析式可求得f x 的解析式 3 求f x 根據函數f x 的奇偶性來實現函數的解析式在f x 與f x 之間的相互轉化 反思與感悟 跟蹤訓練3已知y f x 是定義在r上的奇函數 且當x 0時 f x 2x x2 求y f x 的解析式 解答 解設x0 因為f x 是奇函數 所以f x f x 2 x x 2 2x x2 因為y f x 是r上的奇函數 所以f 0 0 命題角度3奇偶性對單調性的影響例4設f x 是偶函數 在區(qū)間 a b 上是減函數 試證f x 在區(qū)間 b a 上是增函數 證明 證明設x1 x2是區(qū)間 b a 上任意兩個值 且有x1 x2 b x1 x2 a a x2 x1 b f x 在 a b 上是減函數 f x2 f x1 f x 為偶函數 即f x f x f x2 f x2 f x1 f x1 f x2 f x1 即f x1 f x2 函數f x 在區(qū)間 b a 上是增函數 與求解析式一樣 證哪個區(qū)間上的單調性 設x1 x2屬于哪個區(qū)間 同樣 求哪個區(qū)間上的最值 也設x屬于哪個區(qū)間 反思與感悟 跟蹤訓練4已知偶函數f x 在 0 上單調遞減 f 2 0 若f x 1 0 則x的取值范圍是 1 3 答案 解析 解析 f x 為偶函數 f x 1 f x 1 又f 2 0 f x 1 0 即f x 1 f 2 x 1 2 0 且f x 在 0 上單調遞減 x 1 2 即 2 x 1 2 x的取值范圍為 1 3 當堂訓練 1 下列函數為偶函數的是a f x x 1b f x x2 xc f x 2x 2 xd f x 2x 2 x 答案 2 3 4 5 1 解析 解析d中 f x 2 x 2x f x f x 為偶函數 2 函數f x x 1 x 1 的奇偶性是a 奇函數b 偶函數c 非奇非偶函數d 既是奇函數又是偶函數 答案 2 3 4 5 1 3 已知函數y f x x是偶函數 且f 2 1 則f 2 等于a 1b 1c 5d 5 答案 2 3 4 5 1 解析 解析函數y f x x是偶函數 x 2時函數值相等 f 2 2 f 2 2 f 2 5 故選d 4 已知f x 是奇函數 且x 0時 f x x 1 則x 0時f x 等于a x 1b x 1c x 1d x 1 答案 2 3 4 5 1 5 定義在r上的偶函數f x 在 0 上是增函數 若f a bc a b 0 2 3 4 5 1 答案 規(guī)律與方法 1 兩個定義 對于f x 定義域內的任意一個x 如果都有f x f x f x f x 0 f x 為奇函數 如果都有f x f x f x f x 0 f x 為偶函數 2 兩個性質 函數為奇函數 它的圖像關于原點對稱 函數為偶函數 它的圖像關于y軸對稱 3 證明一個函數是奇函數 必須對f x 的定義域內任意一個x 都有f x f x 而證明一個函數不是奇函數 只要能舉出一個反例就可以了 4 1