人教A版選修44 參數(shù)方程 學(xué)案.doc

整合提升知識網(wǎng)絡(luò)知識回顧 1.直線(t是參數(shù)). 2.圓(是參數(shù)). 3.橢圓中心在(0,0)(0t)(t是參數(shù)).中心在(x0,y0)(0t)(t是參數(shù)). 4.雙曲線(是參數(shù)). 5.拋物線(t是參數(shù)). 6.漸開線(t是參數(shù)). 7.擺線(t是參數(shù)).典例精講【例1】 過點p(2,-2)作直線交橢圓=1于a,b兩點,求ab中點m的軌跡方程.解:設(shè)m(x0,y0),直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).代入橢圓方程16(x0+tcos)2+25(y0+tsin)2-1625=0(16cos2+25sin2)t2+(32cosx0+50siny0)t+16x02+25y02-1625=0,由于(x0,y0)為中點,t1+t2=0,即32x0cos+50y0sin=032x0+50y0=0,k=.代入32x0+50y0=032(x-1)2+50(y+1)2=82=1.各個擊破類題演練 1過點p(1,1)作直線l交橢圓=1于a,b兩點,若p為ab中點,求直線l的方程.解:設(shè)直線l的傾斜角為,則l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)）.將其代入橢圓方程（tcos+1)2+4(tsin+1)2-16=0,得(cos2+4sin2)t2+2(cos+4sin)t-11=0.因為p（1,1）為ab的中點，t1+t2=0，即cos+4sin=0.=tan=k=-.則所求直線l的方程為x+4y-5=0.變式提升 1過點p（2，1）作直線l交曲線xy=1于a,b兩點,求ab中點m的軌跡方程.解:設(shè)ab中點m(x0,y0),l的傾斜角為,則l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入xy=1,即(tcos+x0)(tsin+y0)=1t2sincos+(y0cos+x0sin)t+x0y0-1=0.由于m(x0,y0)為弦中點,則t1+t2=0.y0cos+x0sin=0y0+x0=0.將=tan=k=代入,則y0+x0=02xy+x-2y=0為所求.【例2】 已知圓系的方程為x2+y2-2acosx-2asiny=0(a0).(1)求圓系圓心的軌跡方程;(2)證明圓心軌跡與動圓相交所得的公共弦長為定值.解:(1)將圓系方程配方:(x-acos)2+(y-asin)2=a2.所以圓心的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)).消去,得x2+y2=a2.(2)兩圓公共弦所在直線方程由方程組求得2axcos+2aysin-a2=0,圓x2+y2=a2圓心為(0,0),弦心距d=.定圓的弦心距為定值,則弦長為定值,這個定值為d=a.溫馨提示 題干中的“圓系”的含義是指當(dāng)參數(shù)變化時的一系列圓,這也是參數(shù)方程的一種形式.類題演練 2如圖,圓x2+y2=r2的弦ab垂直于x軸,p為ab上一點,且|ap|pb|=a2(ar)為定值,求點p的軌跡方程.解:設(shè)a(rcos,rsin),則點b(rcos,-rsin),p(x,y).abx軸,x=rcos,|ap|=|rsin-y|,|pb|=|y+rsin|.|ap|pb|=|(rsin-y)(rsin+y)|=a2|y2-r2sin2|=a2,|y|rsin|,r2sin2-y2=a2.y2+a2=r2sin2.又x=rcos,x2+y2+a2=r2x2+y2=r2-a2.變式提升 2拋物線y2=2px,一組平行弦的斜率為k,求弦中點的軌跡方程.解:設(shè)中點m(x0,y0),平行弦傾斜角為,則平行弦所在直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),=k).代入拋物線方程有(tsin+y0)2-2p(tcos+x0)=0t2sin2+2(y0sin-pcos)t+y02-2px0=0.m(x0,y0)為弦中點,t1+t2=0,即y0sin-pcos=0.y=,將y=代入y2=2px,得=2px,x=.y=且x為一條射線.【例3】 過拋物線的焦點f的直線交拋物線于a,b兩點(ab不與對稱軸垂直),ab的垂直平分線交對稱軸于s,求證:|fs|=|ab|.解:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),ab的傾斜角為(),則直線ab的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).代入拋物線方程:t2sin2-2p(+tcos)=0t2sin2-2ptcos-p2=0.|ab|=|t1-t2|=.又如圖,|fp|=|t1+t2|=,在rtpsf中,|fs|=,|fs|=|ab|.類題演練 3點a,b在橢圓=1上,o為原點,oaob,求證:為定值.解:設(shè)aox=,oa=t,則box=+,設(shè)ob=t,則oa,ob所在直線方程分別為即分別代入橢圓方程中,得=1.,同理,.=定值.【例4】 過點p(2,2)作直線l被兩平行線x+y+1=0,x+y-1=0截得的線段長為2,求l的方程.解:設(shè)l的傾斜角為,則l的方程為(t為參數(shù)).分別代入方程,得tcos+2+tsin+2+1=0,t1=;tcos+2+tsin+2-1=0,t2=,很明顯t1,t2符號相同,則|t1-t2|=|-|=2.=2.sin+cos=1.由于0,=0或=,得兩直線方程為x=2或y=2.類題演練 4過原點作直線l,交直線2x-y-1=0于a,2x+y+3=0于b,若原點為線段ab的中點,求l的方程.解:設(shè)l的傾斜角為,則l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將方程分別代入兩直線方程中,2tcos-tsin=1得t1=,2tcos+tsin+3=0,t2=.o(0,0)為ab中點,t1+t2=0.=04cos=4sin.k=tan=1.所求l的方程為y=x.變式提升直線系方程為xcos+ysin=2,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則直