三角形復(fù)習(xí)指導(dǎo).doc

三角形復(fù)習(xí)指導(dǎo)山東 左加亭三角形是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形之一，本章介紹了與三角形有關(guān)的一些概念，探討了三角形三邊之間的關(guān)系、三角形的內(nèi)角和等問(wèn)題，然后在認(rèn)識(shí)全等圖形的基礎(chǔ)上，探索了三角形全等的條件，包括直角三角形全等的條件，并利用三角形全等來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。為了幫助同學(xué)復(fù)習(xí)好這部分內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們先完成下列填空：一、 復(fù)習(xí)目標(biāo)1、 進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形的有關(guān)概念，了解三邊之間的關(guān)系以及三角形的內(nèi)角和，了解三角形的穩(wěn)定性。2、 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，掌握兩個(gè)三角形全等的條件，能應(yīng)用三角形的全等解決一些實(shí)際問(wèn)題。3、 能夠用尺規(guī)作出三角形。4、 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)觀(guān)察、操作（折、拼、畫(huà)、圖案、設(shè)計(jì)）想象、推理、交流等活動(dòng)，發(fā)展空間觀(guān)念，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，在探索圖形性質(zhì)的過(guò)程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。二、基本知識(shí)點(diǎn)回顧：1、 三角形的有關(guān)概念（1） 三角形的定義 由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，它有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)，三角形可用符號(hào)“”表示。（2） 三角形的三條重要線(xiàn)段，包括三條角平分線(xiàn)、三條中線(xiàn)、三條高線(xiàn)。注意：三角形的角平分線(xiàn)不同于一個(gè)角的平分線(xiàn)，前者是一條線(xiàn)段，后者是一條射線(xiàn)。三角形的高線(xiàn)是線(xiàn)段，而線(xiàn)段的垂線(xiàn)是直線(xiàn)；銳角三角形的三奪高線(xiàn)都在三角形的內(nèi)部，直角三角形中，有兩條高線(xiàn)恰好是它的兩條邊，鈍角三角形的三條高線(xiàn)中，有兩條高線(xiàn)在三角形的外部，它們的垂足落在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的三條高所在的直線(xiàn)交于一點(diǎn)。2、 三角形的有關(guān)性質(zhì)（1） 邊的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（2） 角的性質(zhì)：三角形的內(nèi)角和為，一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3） 穩(wěn)定性：即三角形的三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀保持不變。3、 三角形的分類(lèi)（1）按邊分（2）按角分4、 全等三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)（1） 全等圖形：兩個(gè)能夠重合的圖形稱(chēng)為全等圖形 全等圖形的特征 ：全等圖形的形狀和大小都相等 全等三角形：兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫做全等三角形，兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。（2） 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。5、 全等三角形的判定條件（1） 一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS （2） 直角三角形：SAS，ASA，AAS，SSS ，HL注意：不能把“邊邊角”和“角角角”作為判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)。6、 作三角形用尺規(guī)作三角形的類(lèi)型主要有：（1） 己知三角形的三邊，求作這個(gè)三角形（2） 己知三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形（3） 己知三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾角，求作這個(gè)三角形注意：在作三角形等幾何作圖中，作圖痕跡務(wù)必保留，不能將作圖痕跡抹掉在作符合某些條件的三角形時(shí)，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正確的。三、重點(diǎn)難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)重點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是三角形的性質(zhì)，包括等腰三角形、直角三角形的一些性質(zhì)，由于全等三角形是研究圖形相等的工具，所以這部分內(nèi)容也是本章重點(diǎn)。難點(diǎn)：是運(yùn)用三角形全等解決問(wèn)題，以及它的說(shuō)理過(guò)程。關(guān)鍵點(diǎn)：是探索出三角形全等的條件四、難點(diǎn)突破1、 掌握一些特殊的輔助線(xiàn)的添加方法例1、 如圖AB/CD，AD/BC，則AB=DC，AD=BC說(shuō)理理由。分析：要得到AB=DC，AD=BC需要構(gòu)造三角形，所以連結(jié)AC，解：連結(jié)AC因?yàn)锳B/CD，所以1=2又因?yàn)锳D/BC所以3=4在ADC和CBA中所以ADCCBA（ASA）所以AB=DC，AD=BC2、 挖握隱含條件利用兩次全等例2、 如圖，1=2，3=4，則AEB是否與AED相等為什么？分析：要知AEB=AED，需要知ABEADE，但缺少全等條件，還需要ABCADC得到AB=AD，所以本題需要利用三角形兩次全等得到兩角相等，要注意觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)公共邊等條件。解：AEB=AED理由如下：在ABC和ADC中：所以ABCADC（ASA）所以AB=AD在ABC和ADC中所以ABEADE（SAS）所以AEB=AED五、思想方法滲透1、分解圖形法 復(fù)雜的圖以都是由較簡(jiǎn)單的圖形組成的，故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。2、構(gòu)造圖形法 當(dāng)直接證明有因難時(shí)，常通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造基本圖形達(dá)到解題的目的。3、轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或?qū)⒛吧膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)處理的一種方法。以上三種方法我們經(jīng)常在解題中遇到，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中總要遵循由特殊到一般的方法，不僅要學(xué)習(xí)邏輯推理，而且要學(xué)習(xí)合理推理一一一猜想，不斷培養(yǎng)自己的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。六、常見(jiàn)考點(diǎn)例析考點(diǎn)一：考查有關(guān)概念三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角等于的應(yīng)用是考試的熱點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)。例1、（2006寧德市）在活動(dòng)課上，小紅巳有兩根長(zhǎng)為4cm，8cm的小木棒，現(xiàn)打箅拼一個(gè)等腰三角形，則小紅應(yīng)取的第三根小木棒的長(zhǎng) cm。分析：要取第三根小木棒的長(zhǎng)度，就要看它和己有的兩根小木棒構(gòu)成的三角形是否滿(mǎn)足：任意兩邊之和大于第三邊或任意兩邊之差小于第三邊。解： 當(dāng)4為腰時(shí)，4，4，8不滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)8為腰時(shí)，4，8，8滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理，所以應(yīng)填8。例2、若三角形的一個(gè)角是另一個(gè)角的6倍，而這兩個(gè)角的和比第三個(gè)角大，則此三角形的最大角是 析解：設(shè)另一個(gè)角為x度，則此角是6x度，第三個(gè)角是（x十6x一44）度根據(jù)三角形的內(nèi)角等于，得（x十6x一44）十x十6x=180，所以x=16，6x=96，x十6x一44=68，所以最大角為?？键c(diǎn)二、考查全等三角形 說(shuō)明三角形全等的條件，是本章的重點(diǎn)之一，本考點(diǎn)多以解答題、說(shuō)理題、和簡(jiǎn)單的探索題形式出現(xiàn)。例3、（2006陜西）如圖四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點(diǎn)O。（1） 圖中有多少對(duì)全等三角形？請(qǐng)把它們都寫(xiě)出來(lái)。（2） 任選（1）中的一對(duì)全等三角形加以證明分析：判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，要判定直角三角形全等的方法除上述方法外，還有HL，要綜合運(yùn)用這些方法找全等三角形。解：（1）圖中有三對(duì)全等三角形：AOBAOD，COBCOD，ABCADC （2）證明ABCADC 證明：因?yàn)锳C垂直平分BD，所以AB=AD，CB=CD又因?yàn)锳C=AC，所以ABCADC（SSS）例4、如圖在AFD和EBC中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線(xiàn)上，有下列四個(gè)論斷：（1）AD=CB（2）AE=CF（3）B=D（4）AD/BC請(qǐng)你用其中的三個(gè)作為條件，余下的作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，并寫(xiě)出解答過(guò)程。分析：本題主要考查對(duì)三角形全等的識(shí)別的掌握情況，本題答案不惟一，現(xiàn)給出一種情況。解：己知AE=CF，B=D，AD/BC，試說(shuō)明AD=BC成立的理由。AE=CF AE+EF=CF+EF即AF=CEAD/BC A=C ADFCBE AD=BC例5、下面四個(gè)條件中，請(qǐng)你以其中兩個(gè)為巳知條件，第三個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫(xiě)出一個(gè)情況）（1） AE=AD（2）AB=AC（3）OB=OC（4）B=C分析：本題是一道多解型試題，答案較多，目的在于考查學(xué)生匯聚思維、探究問(wèn)題的能力。解：由已知（1） AE=AD（2）AB=AC說(shuō)明（4）B=C成立的理由。 ABEACDB=C 考點(diǎn)三、利用三角形全等證明角或邊相等的問(wèn)題角或邊相等的證明大多是通過(guò)利用三角形全等來(lái)證明的，本考點(diǎn)多以解答題、證明題的形式出現(xiàn)。例6、（2006宜昌市）已知AB=AC，AE=AD，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，如圖求證：B=C分析：角或邊相等的證明大多是通過(guò)利用三角形全等來(lái)證明的，在證明中要注意全等所應(yīng)具備的條件。證明：在ABE和ACD中因?yàn)锳=A又因?yàn)锳B=AC，AE=AD所以ABEACD（SAS）所以B=C考點(diǎn)四：運(yùn)用全等三角形測(cè)量距離利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題是考試中的一個(gè)重點(diǎn)，多以大題的形式出現(xiàn)。例7、在一座樓相鄰兩面墻的外根部有兩點(diǎn)A，C，如圖請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離。分析：本題無(wú)法直接測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，我們可以借助三角形全等的知識(shí)解決。解：測(cè)量方法：（1）沿兩面墻分別畫(huà)出延長(zhǎng)線(xiàn)，使DB=AB，EB=CB（2）連結(jié)DE，DE的長(zhǎng)就是A，C兩點(diǎn)間的距離。ABCDBEDE=AC所以只要測(cè)得DE的長(zhǎng)就可知A、C兩點(diǎn)間的距離。例8、如圖是舉世聞名的三星堆考中中發(fā)掘出的一個(gè)三角形殘缺玉片，工作人員想制作該玉片模型，則對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后，就可作成符合規(guī)格的三角形玉片模型，并說(shuō)明其中的道理。析解：測(cè)量A、B的度數(shù)和線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，就能作出和原三角形一樣的玉片模型。理由：作AA，AB=AB, B=B則ABCABC(ASA)考點(diǎn)五：探究直角三角形全等和直角三角形全等的有關(guān)試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)。例9、己知：ADB=ACB=，AD=BC，那么AC=BD嗎？為什么？1與2是否相等，為什么？分析：在證明直角三角形全等時(shí)，除了一般的判定方法外，還有特殊方法即HL，本題就是利用它來(lái)判定直角三角形全等的。欲證1=2，必須證ABDBAC故首先要證DAC=CBD解：因?yàn)橹苯侨切蜛BD與直角三角形BAC中，有一條直角邊AD=BC，另外斜邊AB=BA，所即這兩個(gè)直角三角形全等，即ABDBAC（HL）所以AC=BD且有DAB=CBA，CAB=DBA從而DAB一CAB=CBA一DBA即DAC=CBD又由AD=BC，AC=BD知ADCBCD（SAS）所以1=2答：AC=BD，1=2考點(diǎn)六：作圖根據(jù)所給的線(xiàn)段和條件作三角形是本章的一個(gè)組成部分，重在作圖能力的考查。 例10、己知：三角形的兩條邊另別是3cm和4cm，且3cm這條邊所對(duì)的角是，求作這個(gè)三角形。分析：先作一個(gè)角，再作出它的一個(gè)鄰邊，只要再把三角形角所對(duì)的邊確定了，所做的三角形就確定了。解：作法（1）作角（2）截AB=4cm（3）以B為圓心，以3cm為半經(jīng)畫(huà)弧，交角的一邊于C，C點(diǎn)（4）連張結(jié)，得到的和都是符合條件的三角形。如圖?？键c(diǎn)七：創(chuàng)新題例11、（2006浙江紹興）我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會(huì)全等？（1） 閱讀與證明：對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然他們?nèi)?，?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證他們?nèi)龋ㄗC明略）對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知ABC，均為銳角三角形，求證：ABC證明：分別過(guò)點(diǎn)B，作于D，于如圖則，BCD（2） 歸納與敘述由（1）可得到一個(gè)正確的結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論。分析：這類(lèi)閱讀理解題，在展示問(wèn)題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下一些疑難點(diǎn)，讓考生認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上，給予具體的補(bǔ)充。解：（1）又ADB又ABC（2）若ABC，均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，則ABC點(diǎn)評(píng)：本命題提供的閱讀材料為考生暗發(fā)了“命題”在一般情況下不成立，卻在特殊情況下成立的信號(hào)，同時(shí)要求考生要面對(duì)數(shù)學(xué)難題，能接受挑戰(zhàn)，進(jìn)入發(fā)明創(chuàng)造的角度，提出了較高的素質(zhì)要求。六、應(yīng)注意的問(wèn)題1、 幾何是公理、定理的體系，在學(xué)習(xí)中要認(rèn)真理解記憶這些公理、定理，弄請(qǐng)它們的題設(shè)和結(jié)