人教A版必修二 4.2.1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 教案.doc

課題4.2.1 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（2課時(shí)）修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)1.理解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,明確直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系的判定方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.2.會(huì)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及會(huì)利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察圖形,明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.教學(xué)難點(diǎn):用坐標(biāo)法判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí)導(dǎo)入新課(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)(1)直線(xiàn)方程ax+by+c=0(a,b不同時(shí)為零).(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0(其中d2+e2-4f0)，圓心為(-,-),半徑為.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題初中學(xué)過(guò)的平面幾何中,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有幾類(lèi)？在初中,我們?cè)鯓优袛嘀本€(xiàn)與圓的位置關(guān)系呢？如何用直線(xiàn)與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系呢？判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？討論結(jié)果：初中學(xué)過(guò)的平面幾何中,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有直線(xiàn)與圓相離、直線(xiàn)與圓相切、直線(xiàn)與圓相交三種.直線(xiàn)與圓的三種位置關(guān)系的含義是:直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的關(guān)系圖形相交兩個(gè)dr相切只有一個(gè)d=r相離沒(méi)有dr方法一,判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何方法步驟：1把直線(xiàn)方程化為一般式,求出圓心和半徑.2利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求圓心到直線(xiàn)的距離.3作判斷：當(dāng)dr時(shí),直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)d=r時(shí),直線(xiàn)與圓相切;當(dāng)dr時(shí),直線(xiàn)與圓相交.代數(shù)方法步驟：1將直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2利用消元法,得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程.3求出其判別式的值.4比較與0的大小關(guān)系,若0,則直線(xiàn)與圓相離；若=0,則直線(xiàn)與圓相切;若0,則直線(xiàn)與圓相交.反之也成立.應(yīng)用示例例1 已知直線(xiàn)l：3x+y-6=0和圓心為c的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系.如果相交,求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,必要時(shí)提示,對(duì)學(xué)生的思維作出評(píng)價(jià);方法一,判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.解法一:由直線(xiàn)l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因?yàn)?(-3)2-412=10,所以直線(xiàn)l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心c的坐標(biāo)為(0,1),半徑長(zhǎng)為,圓心c到直線(xiàn)l的距離d=.所以直線(xiàn)l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直線(xiàn)l與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),它們的坐標(biāo)分別是(2,0)和(1,3).點(diǎn)評(píng):比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點(diǎn),仍需聯(lián)立方程組求解.例2 已知圓的方程是x2+y2=2,直線(xiàn)y=x+b,當(dāng)b為何值時(shí),圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,必要時(shí)提示,對(duì)學(xué)生的思維作出評(píng)價(jià).我們知道,判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解,或依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.反過(guò)來(lái),當(dāng)已知圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí),也可求字母的取值范圍,所求曲線(xiàn)公共點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí),方程組有兩組不同實(shí)數(shù)根、有兩組相同實(shí)根、無(wú)實(shí)根的問(wèn)題.圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)的問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問(wèn)題.解法一:若直線(xiàn)l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同解、有兩個(gè)相同解、沒(méi)有實(shí)數(shù)解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,當(dāng)=16-4b20,即-2b2時(shí),圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b2=0,即b=2時(shí),圓與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b20,即b2或b-2時(shí),圓與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2=2的圓心c的坐標(biāo)為(0,0),半徑長(zhǎng)為2,圓心c到直線(xiàn)l:y=x+b的距離d=.當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,即b2或b-2時(shí),圓與直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn);當(dāng)d=r時(shí),即=,即|b|=2,即b=2時(shí),圓與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,即-2b2時(shí),圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：由于圓的特殊性,判斷圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系,多采用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小進(jìn)行比較的方法,而以后我們將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷,則需要利用方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.變式訓(xùn)練 已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)p(4,0),且與圓o：x2+y2=8相交,求直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍.解法一：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓o相交,所以圓心o到直線(xiàn)l的距離小于半徑,即2,化簡(jiǎn)得k21,所以-1k1,即-1tan1.當(dāng)0tan1時(shí),0；當(dāng)-1tan0時(shí),.所以的取值范圍是0,)(,).解法二：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓o相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化簡(jiǎn)得k21.(以下同解法一)點(diǎn)評(píng):涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題,常可運(yùn)用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案.知能訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)2、3、4.拓展提升圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)p0(-1,2),ab為過(guò)點(diǎn)p0且傾斜角為的弦.(1)當(dāng)=時(shí),求ab的長(zhǎng)；(2)當(dāng)ab的長(zhǎng)最短時(shí),求直線(xiàn)ab的方程.解:(1)當(dāng)=時(shí),直線(xiàn)ab的斜率為k=tan=-1,所以直線(xiàn)ab的方程為y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦長(zhǎng)公式)由消去y,得2x2-2x-7=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=1,x1x2=-,所以|ab|=|x1-x2|=.解法二：(幾何法)弦心距d=,半徑r=2,弦長(zhǎng)|ab|=2.(2)當(dāng)ab的長(zhǎng)最短時(shí),op0ab,因?yàn)閗op0=-2,kab=,直線(xiàn)ab的方程為y-2=(x+1),即x-2y+5=0.課堂小結(jié)(1)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法:幾何法和代數(shù)法.(2)求切線(xiàn)方程.作業(yè)習(xí)題4.2 a組1、2、3.第2課時(shí)導(dǎo)入新課一艘輪船在沿直線(xiàn)返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30 km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處,如果這艘輪船不改變航線(xiàn),那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？圖2分析：如圖2,以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)o,以東西方向?yàn)閤軸,建立直角坐標(biāo)系,其中,取10 km為單位長(zhǎng)度.則臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為o的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線(xiàn)所在的直線(xiàn)l的方程為4x+7y-28=0.問(wèn)題歸結(jié)為圓心為o的圓與直線(xiàn)l有無(wú)公共點(diǎn).因此我們繼續(xù)研究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題過(guò)圓上一點(diǎn)可作幾條切線(xiàn)？如何求出切線(xiàn)方程？過(guò)圓外一點(diǎn)可作幾條切線(xiàn)？如何求出切線(xiàn)方程？過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可作幾條切線(xiàn)？你能概括出求圓切線(xiàn)方程的步驟是什么嗎？如何求直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)？如何求直線(xiàn)與圓的相交弦的長(zhǎng)?討論結(jié)果：過(guò)圓上一點(diǎn)可作一條切線(xiàn),過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)方程是x0x+y0y=r2；過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.過(guò)圓外一點(diǎn)可作兩條切線(xiàn),求出切線(xiàn)方程有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是把直線(xiàn)與圓相切這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立它們的方程組只有一個(gè)解的代數(shù)問(wèn)題.可通過(guò)一元二次方程有一個(gè)實(shí)根的充要條件=0去求出k的值,從而求出切線(xiàn)的方程.用幾何方法去求解,要充分利用直線(xiàn)與圓相切的幾何性質(zhì),圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)不能作圓的切線(xiàn).求圓切線(xiàn)方程,一般有三種方法,一是設(shè)切點(diǎn),利用中的切線(xiàn)公式法;二是設(shè)切線(xiàn)的斜率,用判別式法;三是設(shè)切線(xiàn)的斜率,用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解,即圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.把直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立得方程組,方程組的解即是交點(diǎn)的坐標(biāo).把直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立得交點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式來(lái)求;再就是利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系來(lái)求.應(yīng)用示例例1 過(guò)點(diǎn)p(-2,0)向圓x2+y2=1引切線(xiàn),求切線(xiàn)的方程.圖3解:如圖3,方法一:設(shè)所求切線(xiàn)的斜率為k,則切線(xiàn)方程為y=k(x+2),因此由方程組得x2+k2(x+2)2=1.上述一元二次方程有一個(gè)實(shí)根,=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=,所以所求切線(xiàn)的方程為y=(x+2).方法二:設(shè)所求切線(xiàn)的斜率為k,則切線(xiàn)方程為y=k(x+2),由于圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑(d=r),所以d=1,解得k=.所以所求切線(xiàn)的方程為y=(x+2).方法三：利用過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)的結(jié)論.可假設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),此時(shí)可求得切線(xiàn)方程為x0x+y0y=1.然后利用點(diǎn)(-2,0)在切線(xiàn)上得到-2x0=1,從中解得x0=-.再由點(diǎn)(x0,y0)在圓上,所以滿(mǎn)足x02+y02=1,既+y02=1,解出y0=.這樣就可求得切線(xiàn)的方程為,整理得y=(x+2).點(diǎn)評(píng):過(guò)圓外一點(diǎn)向圓可作兩條切線(xiàn)；可用三種方法求出切線(xiàn)方程,其中以幾何法“d=r”比較好(簡(jiǎn)便).變式訓(xùn)練 已知直線(xiàn)l的斜率為k,且與圓x2+y2=r2只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線(xiàn)l的方程.活動(dòng)：學(xué)生思考,觀(guān)察題目的特點(diǎn),見(jiàn)題想法,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,必要時(shí)給予提示,直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn),說(shuō)明直線(xiàn)與圓相切.可利用圓的幾何性質(zhì)求解.圖4解:如圖4,方法一:設(shè)所求的直線(xiàn)方程為y=kx+b,由圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑,得d=r,b=r,求得切線(xiàn)方程是y=kxr.方法二:設(shè)所求的直線(xiàn)方程為y=kx+b,直線(xiàn)l與圓x2+y2=r2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以它們組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,=0得b=r,求得切線(xiàn)方程是y=kxr.例2 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點(diǎn)為a(1,2),要使過(guò)定點(diǎn)a(1,2)作圓的切線(xiàn)有兩條,求a的取值范圍.活動(dòng)：學(xué)生討論,教師指導(dǎo),教師提問(wèn),學(xué)生回答,教師對(duì)學(xué)生解題中出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)處理,利用幾何方法,點(diǎn)a(1,2)在圓外,即到圓心的距離大于圓的半徑.解:將圓的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圓心c的坐標(biāo)為(,1),半徑r=,條件是43a20,過(guò)點(diǎn)a(1,2)所作圓的切線(xiàn)有兩條,則點(diǎn)a必在圓外,即.化簡(jiǎn),得a2+a+90,由解得a,ar.所以a.故a的取值范圍是(,).點(diǎn)評(píng):過(guò)圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線(xiàn),反之經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作圓的兩條切線(xiàn),則該點(diǎn)在圓外.同時(shí)注意圓的一般方程的條件.知能訓(xùn)練1.已知直線(xiàn)l:y=2x2,圓c:x2y22x4y1=0,請(qǐng)判斷直線(xiàn)l與圓c的位置關(guān)系,若相交,則求直線(xiàn)l被圓c所截的線(xiàn)段長(zhǎng).活動(dòng):請(qǐng)大家獨(dú)立思考,多想些辦法.然后相互討論,比較解法的不同之處.學(xué)生進(jìn)行解答,教師巡視,掌握學(xué)生的一般解題情況.解法一：由方程組解得即直線(xiàn)l與圓c的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,)和(1,4),則截得線(xiàn)段長(zhǎng)為.解法二：由方程組(略)消去y,得5x22x3=0,設(shè)直線(xiàn)與圓交點(diǎn)為a(x1,y1),b(x2,y2),則ab中點(diǎn)為(-,-),所以得(x1-x2)2=,則所截線(xiàn)段長(zhǎng)為|ab|=(1+k2)(x1-x2)2=.解法三：圓心c為(1,2),半徑r=2,設(shè)交點(diǎn)為a、b,圓心c到直線(xiàn)l之距d=,所以.則所截線(xiàn)段長(zhǎng)為|ab|=.點(diǎn)評(píng):前者直接求交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)距離公式求值；后者雖然也用兩點(diǎn)距離公式,但借用韋達(dá)定理,避免求交點(diǎn)坐標(biāo).解法三利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,抓住圓心到直線(xiàn)之距d及圓半徑r來(lái)求解.反映了抓住本質(zhì)能很快接近答案的特點(diǎn).顯然,解法三比較簡(jiǎn)潔.2.已知直線(xiàn)x+2y-3=0交圓x2+y2+x-6y+f=0于點(diǎn)p、q,o為原點(diǎn),問(wèn)f為何值時(shí),opoq?解:由消去y,得5x2+10x+4f-27=0,所以x1x2=,x1+x2=-2.所以y1y2=.因?yàn)閛poq,所以x1x2+y1y2=0,即=0.所以f=3.點(diǎn)評(píng)：(1)解本題之前先要求學(xué)生指出解題思路.(2)體會(huì)垂直條件是怎樣轉(zhuǎn)化的,以及韋達(dá)定理的作用：處理x1,x2的對(duì)稱(chēng)式.在解析幾何中經(jīng)常運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.拓展提升已知點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)m(1,0)、n(1,0)距離的比為,點(diǎn)n到直線(xiàn)pm的距離為1,求直線(xiàn)pn的方程.解:設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有=,即=,整理得x2+y26x+1=0. 因?yàn)辄c(diǎn)n到pm的距離為1,|mn|=2,所以pmn=30,直線(xiàn)pm的斜率為.直線(xiàn)pm的方程為y=(x+1). 將代入整理,得x24x+1=0.解得x1=2+,x2=2.代入得點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2+,1+3)或(2,1+)；(2+,13)或(2,1).直線(xiàn)pn的方程為y=x1或y=x+1.課堂小結(jié)1.直線(xiàn)和