人教A版選修21 空間向量與空間角 學(xué)案.docx

第3課時(shí) 空間向量與空間角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)用向量法求線線、線面、面面的夾角(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、面面角的關(guān)系(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知空間角的向量求法角的分類向量求法范圍兩異面直線l1與l2所成的角設(shè)l1與l2的方向向量為a，b，則cos |cos|直線l與平面所成的角設(shè)l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin |cos|二面角l的平面角設(shè)平面，的法向量為n1，n2，則|cos |cos|0，思考：(1)直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面的法向量所成的角有怎樣的關(guān)系？(2)二面角與二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角有怎樣的關(guān)系？提示 (1)設(shè)n為平面的一個(gè)法向量，a為直線a的方向向量，直線a與平面所成的角為，則(2)條件平面，的法向量分別為u，所構(gòu)成的二面角的大小為，u，圖形關(guān)系計(jì)算cos cos cos cos 基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值等于直線與平面所成角的正弦值( )(2)兩條異面直線所成的角，不可能為鈍角( )(3)二面角的余弦值等于二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成角的余弦值( )答案 (1) (2) (3)2已知向量m，n分別是直線l與平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為( )a30 b60 c150 d120b 設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|，60，應(yīng)選b3長方體abcda1b1c1d1中，abbc1，aa13，則異面直線ac與bc1所成角的余弦值為_. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，c1(1,1,3)(1,1,0)，(0,1,3)，cos，.綜上，異面直線ac與bc1所成角的余弦值為.合 作 探 究攻 重 難求兩條異面直線所成的角 如圖3220，在三棱柱oabo1a1b1中，平面obb1o1平面oab，o1ob60，aob90，且oboo12，oa，求異面直線a1b與ao1所成角的余弦值的大小圖3220解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則o(0,0,0)，o1(0,1，)，a(，0,0)，a1(，1，)，b(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，.異面直線a1b與ao1所成角的余弦值為.規(guī)律方法 1.幾何法求異面直線的夾角時(shí)，需要通過作平行線將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形來求解，過程相當(dāng)復(fù)雜；用向量法求異面直線的夾角，可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過程，只需對相應(yīng)向量進(jìn)行運(yùn)算即可2由于兩異面直線夾角的范圍是，而兩向量夾角的范圍是0，故應(yīng)有cos |cos |，求解時(shí)要特別注意跟蹤訓(xùn)練1已知四棱錐sabcd的底面是正方形且側(cè)棱長與底面邊長都相等，e是sb的中點(diǎn)，則ae，sd所成的角的余弦值為( )a b c dc 依題意，建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)四棱錐sabcd的棱長為，則a(0，1,0)，b(1,0,0)，s(0,0,1)，d(1,0,0)，e點(diǎn)坐標(biāo)為，(1,0，1)，cos，6，故異面直線所成角的余弦值為.故選c求直線與平面所成的角 如圖3221，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m為線段ad上一點(diǎn)，am2md，n為pc的中點(diǎn)圖3221(1)證明mn平面pab；(2)求直線an與平面pmn所成角的正弦值. 思路探究 (1)線面平行的判定定理mn平面pab(2)利用空間向量計(jì)算平面pmn與an方向向量的夾角直線an與平面pmn所成角的正弦值解 (1)證明：由已知得amad2.如圖，取bp的中點(diǎn)t，連接at，tn，由n為pc的中點(diǎn)知tnbc，tnbc2.又adbc，故tnam，所以四邊形amnt為平行四邊形，于是mnat.因?yàn)閍t平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab(2)如圖，取bc的中點(diǎn)e，連接ae.由abac得aebc，從而aead，且ae.以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz.由題意知p(0,0,4)，m(0,2,0)，c(，2,0)，n，(0,2，4)，.設(shè)n(x，y，z)為平面pmn的法向量，則即5可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直線an與平面pmn所成角的正弦值為.規(guī)律方法 若直線l與平面的夾角為，利用法向量計(jì)算的步驟如下：跟蹤訓(xùn)練2.如圖3222，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd.圖3222(1)求證：pd平面pab(2)求直線pb與平面pcd所成角的正弦值(3)在棱pa上是否存在點(diǎn)m，使得bm平面pcd？若存在，求的值；若不存在，說明理由解 (1)證明：因?yàn)槠矫鎝ad平面abcd，abad，所以ab平面pad所以abpd又因?yàn)閜apd，所以pd平面pab(2)取ad的中點(diǎn)o，連接po，co.因?yàn)閜apd，所以poad又因?yàn)閜o平面pad，平面pad平面abcd，所以po平面abcd因?yàn)閏o平面abcd，所以poco.因?yàn)閍ccd，所以coad如圖，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz.由題意得，a(0,1,0)，b(1,1,0)，c(2,0,0)，d(0，1,0)，p(0，0,1)設(shè)平面pcd的法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直線pb與平面pcd所成角的正弦值為.(3)設(shè)m是棱pa上一點(diǎn)，則存在0,1使得.因此點(diǎn)m(0,1，)，(1，)因?yàn)閎m平面pcd，所以要使bm平面pcd當(dāng)且僅當(dāng)n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱pa上存在點(diǎn)m使得bm平面pcd，此時(shí).求二面角探究問題1建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，如何尋找共點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線？提示：應(yīng)充分利用題目給出的條件，如線面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線然后證明它們兩兩垂直，再建系2如何確定二面角與兩個(gè)平面的法向量所成角的大小關(guān)系？提示：法一：觀察法，通過觀察圖形，觀察二面角是大于，還是小于.法二：在二面角所含的區(qū)域內(nèi)取一點(diǎn)p，平移兩個(gè)平面的法向量，使它們的起點(diǎn)為p，然后觀察法向量的方向，若兩個(gè)法向量同時(shí)指向平面內(nèi)側(cè)或同時(shí)指向外側(cè)，則二面角與法向量的夾角互補(bǔ)，若兩個(gè)法向量方向相反，則二面角與法向量的夾角相等 如圖3223，在四棱錐pabcd中，abcd，且bapcdp90.圖3223(1)證明：平面pab平面pad；(2)若papdabdc，apd90，求二面角apbc的余弦值. 思路探究 (1)先證線面垂直，再證面面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解解 (1)證明：由已知bapcdp90，得abap，cdpd因?yàn)閍bcd，所以abpd又apdpp，所以ab平面pad因?yàn)閍b平面pab，所以平面pab平面pad(2)在平面pad內(nèi)作pfad，垂足為點(diǎn)f.由(1)可知，ab平面pad，故abpf，可得pf平面abcd以f為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系fxyz.由(1)及已知可得a，p，b，c，所以2，(，0,0)，2，(0,1,0)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面pcb的一個(gè)法向量，則即所以可取n(0，1，)設(shè)m(x2，y2，z2)是平面pab的一個(gè)法向量，則即所以可取m(1,0,1)，則cosn，m.所以二面角apbc的余弦值為.規(guī)律方法 利用向量法求二面角的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；(3)求兩個(gè)法向量的夾角；(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定二面角的大小 跟蹤訓(xùn)練3如圖3224，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形abcd(及其內(nèi)部)以ab邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，g是的中點(diǎn)圖3224(1)設(shè)p是上的一點(diǎn)，且apbe，求cbp的大??；(2)當(dāng)ab3，ad2時(shí)，求二面角eagc的大小解 (1)因?yàn)閍pbe，abbe，ab，ap平面abp，abapa，所以be平面abp.又bp平面abp，所以bebp.又ebc120，所以cbp30.(2)以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以be，bp，ba所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得a(0,0,3)，e(2,0,0)，g(1，3)，c(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面aeg的一個(gè)法向量，由可得取z12，可得平面aeg的一個(gè)法向量m(3，2)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面acg的一個(gè)法向量，由可得取z22，可得平面acg的一個(gè)法向量n(3，2)所以cosm，n.故所求的角為60.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1.如圖3225，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，則異面直線a1b與ad1所成角的余弦值為( )圖3225a bc dd 以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz(圖略)，設(shè)ab1.則b(1,1,0)，a1(1,0,2)，a(1,0,0)，d1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，異面直線a1b與ad1所成角的余弦值為.2正方體abcda1b1c1d1中，bb1與平面acd1所成角的正弦值為( ) a b c db 設(shè)正方體的棱長為1，依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)，b1(1,1,1)(1,0,1)，(1,1,0)設(shè)平面acd的法向量為n(x，y，z)令x1，n(1,1,1)，又(0,0,1)，bb1與平面acd1所成角的正弦值為.3正方形abcd所在平面外一點(diǎn)p，pa平面abcd，若paab，則平面pab與平面pcd的夾角為( )a30b45 c60d90b 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)paab1.則a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)于是(0,1,0)取pd中點(diǎn)為e，則e，易知是平面pab的法向量，是平面pcd的法向量，cos，平面pab與平面pcd的夾角為45.4在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個(gè)二面角的余弦值為_ 設(shè)a(0，1,3)，b(2,2,4)，則cosa，b，又因?yàn)閮上蛄康膴A角與二面角相等或互補(bǔ)，所以這個(gè)二面角的余弦值為.5如圖3226，在三棱錐pabq中，pb平面abq，babpbq，d，c，e，f分別是aq，bq，ap，bp的中點(diǎn)，aq2bd，pd與eq交于點(diǎn)g，pc與fq交于點(diǎn)h，連接gh. 圖3226(1)求證：abgh；(2)求二面角dghe的余弦值解 (1)證明：因?yàn)閐，c，e，f分別是aq，bq，ap，bp的中點(diǎn)，所以efab，dcab，所以efdc又因?yàn)閑f平面pcd，dc平面pcd，所以ef平面pcd又因?yàn)閑f平面efq，平面efq平面pcdgh，所以efgh.又因?yàn)閑fab，所以abgh.(2)在abq中，aq2bd，addq，所以abq90.又因?yàn)閜b平面abq，所以ba，bq，bp兩兩垂直以點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ba，bq，bp所在直線為x軸、y軸、z軸