微分幾何曲面doc.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除3.1 曲面及其相關(guān)概念1. 曲面及其參數(shù)表示曲面的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程:. 曲面的向量形式的參數(shù)方程:, . 簡(jiǎn)記為, .稱為曲面的參數(shù)或曲紋坐標(biāo)也稱是點(diǎn)的參數(shù)或曲紋坐標(biāo). 例1 (1) 圓柱面cos，sin，z = z,. 其中常數(shù)為截圓的半徑 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (2) 球面coscos，cossin，sin，. 這里, 稱為經(jīng)度，稱為緯度. 是球面的半徑 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (3) 旋轉(zhuǎn)面把xz平面上一條曲線：x =，繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)面:x =，y =， 當(dāng), 時(shí), , , . 于是是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). (4) 連續(xù)函數(shù)的圖象該曲面的參數(shù)方程為. 和是參數(shù)(曲紋坐標(biāo)). 是點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 坐標(biāo)曲線曲線：, 即. 曲線：, 即. 一般地, 通過每一點(diǎn), 有唯一一條曲線和唯一一條曲線. 曲紋坐標(biāo)網(wǎng)例2 （1）圓柱面（例1（1）: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2）: coscos，cossin，sin. (3) 旋轉(zhuǎn)面（例1（3）: x =，y =，(4) 連續(xù)函數(shù)的圖象（例1（4）2. 光滑曲面 曲面的切平面和法線在曲面上的(,)點(diǎn)處, u-曲線的切向量, v-曲線的切向量定義 曲面的正則點(diǎn)(正常點(diǎn)) P0(,): r(,)和r(,)不平行. 正則曲面: 處處是正則點(diǎn)的曲面. 例 在雙葉雙曲面的一葉(、和均為正的常數(shù), , )上, 經(jīng)過點(diǎn)的曲線的方程為, 該曲線在點(diǎn)的切向量;經(jīng)過點(diǎn)的曲線的方程為, 該曲線在點(diǎn)的切向量. 由于在上的任何點(diǎn)處, 和不平行, 故上的點(diǎn)都是正則點(diǎn), 從而是正則曲面. 定理3.1.1 曲面在正則點(diǎn)的鄰域中總可以有形如z = z(x, y)的參數(shù)表示曲面上一點(diǎn)P0處的切方向(方向): 上的經(jīng)過P的曲線在P0的切方向. 曲面：r = r(u, v)上曲線的(曲紋)坐標(biāo)式參數(shù)方程-: u = u(t)，v = v(t).的向量式參數(shù)方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). 其切方向(t) = r+ r.也可寫為dr = ru du + rv dv. 定理3.1.2 曲面上正則點(diǎn)處的所有切向量都在經(jīng)過該點(diǎn)的坐標(biāo)曲線的切向量r和r所決定的平面上稱此平面為曲面在這一點(diǎn)的切平面曲面上一點(diǎn)的一個(gè)切方向的表示: du:dv-表方向dr = ru du + rv dv, 也表方向 -dr = -ru du - rv dv. 二者視為同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向dr = -2ru + 3rv , 也表方向 -dr = 2ru - 3rv . 二者視為同一方向. 例 環(huán)面(為常數(shù), )上的點(diǎn)即點(diǎn). 該點(diǎn)處的切方向表示方向曲面：r = r(u, v)上在點(diǎn)(,)的切平面的方程：(m- r(,)，r(,)，r(,) = 0，或?qū)懗勺鴺?biāo)的形式： 特例 對(duì)曲面：r =x，y，z(x, y)，有r= 1，0，r= 0，1，. 所以曲面在點(diǎn)(,)的切平面的方程為：. 法方向: 垂直于切平面的方向. 法線: 經(jīng)過曲面上的一點(diǎn)并平行于法方向的直線. 法向量: n = rr. 單位法向量: n=曲面的法線方程:m = r(,) +r(,)r(,). 若曲面的坐標(biāo)形式的參數(shù)方程為, 則法線方程為特例 對(duì)曲面：r =x，y，z(x, y)，有.例3 求圓柱面r = (為常數(shù))上任意點(diǎn)的切平面和法線的方程解 因?yàn)閞=，r=0,0,1所以，在任意點(diǎn)的切平面方程為，即.在任意點(diǎn)的法線方程為，即3.2 曲面上的雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架1. 曲面的雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架定義曲面：r = r(u, v)的第一基本量E(u, v) = rr，F(xiàn)(u, v) = rr，G(u, v) = rr.令, .根據(jù)Lagrange恒等式，有( rr)( rr) = r r(rr)= EGF于是令由此得到曲面上的正交右手系標(biāo)架r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v). 由于它依賴于兩個(gè)參數(shù)u和v, 故稱之為曲面的雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架. 注1 和e所張成的平面就是曲面在一點(diǎn)處的切平面注2 不要記e2的上述繁瑣的表達(dá)式. 要計(jì)算e2, 首先計(jì)算e1和e3 , 然后用直接計(jì)算e2 .注3 r和r也可由和e線性表示. 即r=，r= + e. 例1 給出正螺面r =(b0為常數(shù))上的一個(gè)雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架解 因?yàn)閞=cos v, sin v, 0，r= -u sin v, u cos v, b，于是E = rr= 1，F(xiàn) = rr= 0，G= rr=r=cos v, sin v, 0，e=(rr)= b sin v , -b cos v , u,=-u sin v, u cos v , b.2. 外微分形式在平面上建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)用(u, v)表示. du和dv是坐標(biāo)的微分用表示坐標(biāo)微分之間的外乘運(yùn)算. 規(guī)定dudv = -dvdu,dudu =0,dvdv =0. 設(shè)f(u, v)是定義在平面區(qū)域D上的函數(shù)，則f(u, v)dudv稱為D上的以dudv為基底的二次外微分形式設(shè)f(u, v)和g(u, v)都是定義在平面區(qū)域D上的函數(shù). 則f(u, v)du + g(u,v)dv稱為D上以du和dv為基底的一次外微分形式，也稱為發(fā)甫（Pfaff）形式區(qū)域D上的函數(shù)f(u, v)稱為0次外微分形式. 對(duì)于兩個(gè)一次外微分形式，, 和的外乘規(guī)定為=.它是一個(gè)二次外微分形式. 設(shè)都是一次外微分形式. 則（為常數(shù)），設(shè)D是平面上的一個(gè)區(qū)域，D上的兩個(gè)Pfaff形式，和分別對(duì)應(yīng)D上的兩個(gè)向量場(chǎng)a = ,b = . 若它們?cè)贒上的每一點(diǎn)處都是線性無(wú)關(guān)的，則稱這兩個(gè)Pfaff形式線性無(wú)關(guān)引理3.2.1 設(shè)給定平面區(qū)域D上的兩個(gè)Pfaff形式和. 若，則存在D上的函數(shù)f(u, v)，使得. 引理3.2.2（Cartan引理） 設(shè)給定平面區(qū)域D上的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的Pfaff形式和（即）. 若另有D上的兩個(gè)Pfaff形式和, 使得, 則存在D上的函數(shù)（i,j = 1,2），使得 （i =1,2）,并且（i,j = 1,2） 外微分運(yùn)算對(duì)于0次外微分形式f(u, v)，定義df(u, v) =；對(duì)于一次外微分形式, 定義=.對(duì)于二次外微分形式，定義=注 外微分把外微分形式的次數(shù)提高一次引理3.2.3(Poincar引理) 設(shè)為平面區(qū)域D上的任意次外微分形式. 則引理3.2.4 設(shè)f和g都是0次外微分形式，和都是Pfaff形式. 則d(fg)=(df)g + f(dg)，d(f)=df + fd，d(f)=(d)f - df，d()=0證明作為練習(xí)留給讀者3 雙參活動(dòng)標(biāo)架的基本方程給定曲面: r = r(u,v)上的一個(gè)雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架為r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v).設(shè)其中和(i,j=1,2,3)都是關(guān)于du和dv的Pfaff形式，其系數(shù)為(u,v)的函數(shù)命題 ，. 證明 . .引理3.2.5 , (i,j=1,2,3)根據(jù)引理3.2.5, 有, , .故有雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架的基本方程其中本質(zhì)的相對(duì)分量是、和. 其具體表達(dá)式可由下列關(guān)系式導(dǎo)出:例2 確定正螺面r =u cos v, u sin v, bv(b0為常數(shù))上的雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架的基本方程中的本質(zhì)分量.解 由例1, 可知E=1, F=0, G=所以r=cos v, sin v, 0，=r=-u sin v, u cos v, b，e=rr=b sin v, -b cos v, u.，.d=dcos v, sin v, 0=0,0,0du +-sin v, cos v, 0dv,de=dsin v, -cos v, =-u sin v, u cos v, bdu + cos v, sin v, 0dv. , 注 由于比簡(jiǎn)單, 所以在計(jì)算時(shí), 不用公式. 4. 雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架的結(jié)構(gòu)方程5. 雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架的基本定理6. 雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架結(jié)構(gòu)方程的代數(shù)認(rèn)識(shí)引理3.2.9 在曲面上, 處處有. 定理3.2.11其中a、b和c都是和的函數(shù).例3 對(duì)正螺面r =u cos v, u sin v, kv, 將其相對(duì)分量和用和表示時(shí)的系數(shù)函數(shù)求出來(lái). 解，., .于是，由,可得.由, 可得.3.3 曲面上的第一、第二基本形式定義3.3.1 設(shè)給定曲面: r = r(u, v). 選取雙參數(shù)活動(dòng)標(biāo)架r；，e，e. 則稱為曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是與的通常乘積（不是外微分形式的外乘）.引理3.3.1 I . 其中、和為曲面的第一類基本量.定義3.3.2 設(shè)給定曲面：r = r(u, v). 則= -drde稱為曲面的第二基本形式. 命題(第二基本形式的幾種表達(dá)法)=-drde=re=. 證明 微分等式兩邊, 得re= -drde.于是=re. . 例2 求圓柱面:r =,z(為常數(shù))的第一基本形式.解 r= r=-,0, r= r=0,0,1.于是,.,.所以.例3 求球面r =,(為常數(shù))的第一基本形式.解r= r=-,0，r= r=，.從而, , .于是，.所以.例4 正螺面是這樣一種曲面, 它是一條動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)軌跡. 該動(dòng)直線與一條稱為旋轉(zhuǎn)軸的定直線垂直相交,并圍繞軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng), 同時(shí), 動(dòng)直線還沿軸的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng). 求正螺面的第一基本形式.解 取旋轉(zhuǎn)軸為軸，軸的正向與動(dòng)直線的勻速直線運(yùn)動(dòng)方向一致. 以表示旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度, 表示作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度. 取時(shí)的位置為軸. 以表示上的點(diǎn)到軸的有向距離. 于是在時(shí)刻, 與軸正向的夾角, . 從而, , . 即, , . 令(常數(shù)). 則正螺面有參數(shù)方程, , . 從而其向量式方程為.其中和為參數(shù). 故, .從而, , .于是,.所以 .例5 求球面r =,(為常數(shù))的第二基本形式.解 由例3可知=-,0, e=-,-,e=,.,=-,0, 所以例6 求正螺面r (為常數(shù))的第二基本形式.解 因?yàn)閞,r. . ,e,e. ，,. 所以.3.4 曲面上第一、第二基本形式的幾何1. 曲面上曲線的弧長(zhǎng) 命題 設(shè)給定曲面上的曲線. 則的弧長(zhǎng).其中、和為第一類基本量. 2. 曲面上兩方向的夾角曲面上的切方向的表示法給定曲面. 其上的一點(diǎn)的切方向可表示為(1) ; (2) -指方向; (3) -指方向. 注 因?yàn)椋屎涂苫ハ鄾Q定. 因而和實(shí)際上是同一方向的不同表示而已. 上式給出了這兩種表示之間的內(nèi)在聯(lián)系. 命題 曲面上的兩個(gè)切方向和的夾角切方向和的夾角證明 定理3.4.1 曲面上一點(diǎn)處的兩個(gè)方向和互相垂直. 曲面上一點(diǎn)處的兩個(gè)方向和互相垂直. 定義 兩條相交曲線在其交點(diǎn)處的切線的夾角稱為這兩條曲線在該交點(diǎn)處的夾角. 若該夾角為直角, 則稱這兩條曲線在該交點(diǎn)處正交. 命題 曲面上的-曲線和-曲線的夾角推論 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)(即任何-曲線和-曲線均正交). 3. 正交曲線族和正交軌線定義 與曲面上的一族曲線中的每一條均正交的曲線稱為該族曲線的正交軌線.命題 微分方程所代表的曲線族的正交軌線的微分方程是4. 曲面的正交曲紋坐標(biāo)網(wǎng)定理3.4.2 在任意正則曲面上總可以取到正交的曲紋坐標(biāo)網(wǎng).命題 若曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng), 則，,.，5. 曲面域的面積命題 曲面的面積6. 曲面上曲線的曲率定義3.4.2 設(shè)點(diǎn)是曲面上的曲線上的一點(diǎn), 是在點(diǎn)的曲率, 是在點(diǎn)的主法向量. 則稱為在點(diǎn)的曲率向量, 稱為在上的點(diǎn)處沿曲線的切方向的法曲率. 當(dāng)時(shí), 規(guī)定法曲率.推論1 在法曲率的定義中, .其中是和的夾角. 推論2 在法曲率的定義中, 設(shè)為, 為, . 則, .其中, 是的自然參數(shù), 為從轉(zhuǎn)到的單位切向量的有向角(在切平面上, 以為橫軸正向, 為縱軸正向, 建立坐標(biāo)系). 于是是的函數(shù). 證明 顯然, 有, .設(shè)的副法向量為，與的夾角為. 則于是. 引理 對(duì)曲面上的一條曲線, 其弧長(zhǎng)的微分滿足. 證明 . 命題 曲面上在一點(diǎn)處沿任意方向()的法曲率.其中兩類基本形式I和II均在P點(diǎn)取值. 證明 在上, 取經(jīng)過點(diǎn)且在處的切方向?yàn)?)的任一曲線. 沿用上述推論2中的符號(hào). 則對(duì), 有. 但, 故, . 從而由推論2及上述引理, 有. 法曲率的幾何意義定義 法截面和法截線法截線的曲率向量. 于是和的夾角或. 當(dāng)時(shí)，向方向彎曲, 且.當(dāng)時(shí)，向的反方向彎曲, . 總之，曲面上一點(diǎn)處沿某一切方向的法曲率，其絕對(duì)值等于相應(yīng)法截線在這點(diǎn)的曲率，其符號(hào)視曲面在該方向上向的哪一側(cè)彎曲而定：若曲面向的正側(cè)彎曲，則法曲率為正；若曲面向的負(fù)側(cè)彎曲，則法曲率為負(fù).定義 曲面在其上一點(diǎn)處沿某切方向的法曲率的倒數(shù)稱為法曲率半徑. 設(shè)點(diǎn)是曲面上的曲線上的一點(diǎn), 是在點(diǎn)的曲率, 是在點(diǎn)的主法向量, 是和的夾角, 于是在點(diǎn)沿的切方向的法曲率. 令(在點(diǎn)的曲率半徑). 則該公式的幾何意義可陳述為如下定理. Meusnier（梅尼埃）定理 曲面上的曲線在給定點(diǎn)的曲率中心就是與曲線具有相同切線的法截線在同一點(diǎn)的曲率中心在曲線的密切平面上的投影.例1 在球面上驗(yàn)證梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取為一個(gè)球面上的小圓, 取為與該小圓相切于點(diǎn)的大圓. 則梅尼埃定理顯然成立. 7. 曲面上一點(diǎn)處的主曲率命題 給定曲面上的一點(diǎn)處的一個(gè)切方向(). 若從轉(zhuǎn)到()的有向角為(在點(diǎn)的切平面上,以為橫軸正向, 為縱軸正向, 建立坐標(biāo)系), 則在處沿方向()的法曲率. 其中、和均在取值. 定義 若在曲面上的一點(diǎn)處, 有，則該點(diǎn)稱為曲面上的臍點(diǎn). 若，則該點(diǎn)稱為平點(diǎn)；若且，則該點(diǎn)稱為圓點(diǎn).注1 臍點(diǎn)分為平點(diǎn)和圓點(diǎn)兩種. 可以證明: 球面上的點(diǎn)都是圓點(diǎn), 平面上的點(diǎn)都是平點(diǎn). 注2 在臍點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率都相同, 且(上述命題). 在平點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率; 在圓點(diǎn)處, 沿任何方向的法曲率. 定義3.4.3 曲面上非臍點(diǎn)處法曲率的最大值和最小值稱為曲面在這點(diǎn)處的主曲率. 使法曲率取得最值的切方向稱為曲面在該點(diǎn)處的主方向.命題 曲面上一點(diǎn)處的主曲率是方程的兩個(gè)根.命題 主方向滿足方程.注 曲面上一點(diǎn)若為非臍點(diǎn), 則恰有兩個(gè)主方向, 并且它們彼此正交（方向相反的兩個(gè)主方向視為一個(gè)切方向）.曲面上的一點(diǎn)若為臍點(diǎn)，則該點(diǎn)處的任何方向都是主方向.定理3.4.4（主方向判定定理，羅德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，則,其中，是沿方向()的法曲率；反之，若對(duì)于方向, 有,則()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率證明 由, ,可得.若()是主方向, 則由上個(gè)命題, 可知. 因此. 設(shè). 兩邊與作內(nèi)積, 則. 所以.反之，若對(duì)于方向, 有, 則. 因此所以()是主方向，且與前面同理可證, 是沿方向()的法曲率定義3.4.4 對(duì)于曲面上的一條曲線，若其上每一點(diǎn)處的切方向都是曲面在該點(diǎn)處的主方向，則此曲線稱為曲面上的曲率線命題 曲面上的曲率線的微分方程是定義 曲面上兩族曲率線構(gòu)成的曲線網(wǎng)稱為曲率線網(wǎng)命題 在不含臍點(diǎn)的曲面上，經(jīng)過參數(shù)的適當(dāng)選擇，總可以把曲紋坐標(biāo)網(wǎng)取為曲率線網(wǎng)注 當(dāng)曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)時(shí), 為-曲線(曲率線)的切方向, 為-曲線(曲率線)的切方向. , . 曲面的第一和第二基本形式分別簡(jiǎn)化為，.沿方向的法曲率，其中是與第一主方向的夾角.和為主曲率. 定理3.