人教B版必修4 3.3　三角函數(shù)的積化和差與和差化積 教案.doc

示范教案教學分析本節(jié)主要包括利用已有的公式進行推導發(fā)現(xiàn)本節(jié)的編寫意圖與特色是教師引導學生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力三角恒等變換所涉及的問題各種各樣，內(nèi)容十分豐富，我們希望能總結(jié)出一些有規(guī)律性的數(shù)學思想、方法和技巧，提高對三角變換的理性認識科學發(fā)現(xiàn)是從問題開始的，沒有問題就不可能有深入細致的觀察為了讓學生經(jīng)歷一個完整的探索發(fā)現(xiàn)過程，教科書從三角函數(shù)運算的角度提出了研究課題這是從數(shù)學知識體系的內(nèi)部發(fā)展需要提出問題的方法用這種方法提出問題可以更好地揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，體會推理論證和邏輯思維在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中的作用從運算的角度提出問題，還可以幫助學生認識到三角變換也是一種運算，豐富對運算的認識，從而把對三角變換的研究納入整體的數(shù)學體系之中類比對數(shù)運算，由兩角和與差的正弦公式易推出積化和差公式在推導了公式sinsin2sincos以后，可以讓學生推導其余的和差化積及積化和差公式和差化積、積化和差不要求記憶，都在試卷上告訴我們，要注意不應該加大三角變換的難度，不要在三角變換中“深挖洞”高考在該部分內(nèi)容上的難度是一降再降三維目標1通過類比推導出積化和差與和差化積公式體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學思想，提高學生的推理能力2通過和差化積公式和積化和差公式的推導，讓學生經(jīng)歷數(shù)學探索和發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學生學好數(shù)學的欲望和信心重點難點教學重點：推導積化和差、和差化積公式教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力課時安排1課時導入新課思路1.(復習導入)在前面的幾節(jié)課中我們學習了兩角和與差的三角函數(shù)的計算公式，并運用這些公式解決了一些三角函數(shù)的化簡、求值以及三角恒等式的證明問題，在我們運用三角函數(shù)知識解決一些問題的時候，我們也會遇到形如sinsin，sinsin，coscos，coscos的形式，那么，我們能否運用角、的有關(guān)三角函數(shù)值表示它們呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題思路2.(類比導入)我們知道logamloganloga(mn)，那么sinsin等于什么呢？推進新課活動：考察公式cos()coscossinsin；cos()coscossinsin；sin()sincoscossin；sin()sincoscossin.從公式結(jié)構(gòu)上看，把coscos，sinsin，sincos，cossin分別看成未知數(shù)解方程組，則容易得到如下結(jié)論：coscoscos()cos()；sinsincos()cos()；sincossin()sin()；cossinsin()sin()從上面這四個公式，又可以得出sin()sin()2sincos；sin()sin()2cossin；cos()cos()2coscos；cos()cos()2sinsin.設(shè)x，y，則，.這樣，上面得出的四個式子可以寫成sinxsiny2sincos；sinxsiny2cossin；cosxcosy2coscos；cosxcosy2sinsin.利用這四個公式和其他三角函數(shù)關(guān)系式，我們可把某些三角函數(shù)的和或差化成積的形式教師還可引導學生用向量運算證明和差化積公式如圖1所示作單位圓，并任作兩個向量圖1(cos，sin)，(cos，sin)取的中點m，則m(cos，sin)連接pq，om，設(shè)它們相交于點n，則點n為線段pq的中點且onpq.xom和moq分別為，.探索三個向量，之間的關(guān)系，并用兩種形式表達點n的坐標，以此導出和差化積公式coscos2coscos；sinsin2sincos.討論結(jié)果：略例 1已知sinxcosx，求sin3xcos3x的值活動：教師引導學生利用立方差公式進行對公式變換化簡，然后再求解由于(ab)3a33a2b3ab2b3a3b33ab(ab)，a3b3(ab)33ab(ab)解完此題后，教師引導學生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx與sinxcosx之間的轉(zhuǎn)化，提升學生的運算、化簡能力及整體代換思想本題也可直接應用上述公式求之，即sin3xcos3x(sinxcosx)33sinxcosx(sinxcosx).此方法往往適用于sin3xcos3x的化簡問題之中解：由sinxcosx，得(sinxcosx)2，即12sinxcosx，sinxcosx.sin3xcos3x(sinxcosx)(sin2xsinxcosxcos2x)(1).變式訓練把cos3cos化成積的形式解：cos3cos2coscos2cos2cos.例 2已知1，求證：1.活動：此題可從多個角度進行探究，由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致，只是將a、b的位置互換了，因此應從所給的條件等式入手，而條件等式中含有a、b角的正、余弦，可利用平方關(guān)系來減少函數(shù)的種類從結(jié)構(gòu)上看，已知條件是a2b21的形式，可利用三角代換證法一：1，cos4asin2bsin4acos2bsin2bcos2b.cos4a(1cos2b)sin4acos2b(1cos2b)cos2b，即cos4acos2b(cos4asin4a)cos2bcos4b.cos4a2cos2acos2bcos4b0.(cos2acos2b)20.cos2acos2b.sin2asin2b.cos2bsin2b1.證法二：令cos，sin，則cos2acosbcos，sin2asinbsin.兩式相加得1cosbcossinbsin，即cos(b)1.b2k(kz)，即b2k(kz)coscosb，sinsinb.cos2acosbcoscos2b，sin2asinbsinsin2b.cos2bsin2b1.變式訓練已知abc180，求證：sinasinbsinc4coscoscos.解：因為abc180，所以c180(ab)，90.因此，sinasinbsinc2sincossin(ab)2sincos2sincos2sin(coscos)2sin2coscos2cos2coscos4coscoscos.例3 證明tan()活動：教師引導學生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導：左邊右邊；右邊左邊；左邊中間條件右邊教師可以鼓勵學生試著多角度的化簡推導注意式子左邊包含的角為x，三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切證法一：從右邊入手，切化弦，得tan()，由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以cossin，得.證法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得.由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得tan().變式訓練求證：.分析：運用比例的基本性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)原式等價于，此式右邊就是tan2.證明：原等式等價于tan2.而上式左邊tan2右邊上式成立，即原等式得證.1先讓學生自己回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：和、差、倍角的正弦、余弦公式的應用，半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系積化和差與和差化積公式及其推導，三角恒等式與條件等式的證明2教師畫龍點睛：本節(jié)學習的數(shù)學方法：公式的使用，換元法，方程思想，等價轉(zhuǎn)化，三角恒等變形的基本手段課本本節(jié)習題33a組14，b組14.1本節(jié)主要學習了怎樣推導積化和差，和差化積公式，在解題過程中，應注意對三角式的結(jié)構(gòu)進行分析，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點選擇合適公式，進行公式變形還要思考一題多解、一題多變，并體會其中的一些數(shù)學思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等2在近幾年的高考中，對三角變換的考查仍以基本公式的應用為主，突出對求值的考查特別是對平方關(guān)系及和角公式的考查應引起重視，其中遇到對符號的判斷是經(jīng)常出問題的地方，同時要注意結(jié)合誘導公式的應用一、一道給值求角類問題錯解點擊解決給值求角這類問題時，要注意根據(jù)問題給出的三角函數(shù)值及角的范圍，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)，確定所求角的恰當范圍，利用函數(shù)值在此范圍內(nèi)的單調(diào)性求出所求角解答此類問題一定要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約關(guān)系，常見的錯誤為不根據(jù)已知條件確定角的范圍而盲目求值，造成增解例題：若sin，sin，、均為銳角，求的值錯解：為銳角，cos.又為銳角，cos.sin()sincoscossin.，均為銳角，0180.45或135.點評：上述解法欠嚴密，僅由sin()，0180而得到45或135是正確的但題設(shè)中sin，sin，使得060，故上述結(jié)論是錯誤的事實上，由0180，應選擇求cos()(余弦函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的)，易求得cos()，則45，因此，解決給值求角這類問題一般分三步：第一步是確定角所在的范圍；第二步是求角的某一個三角函數(shù)值(要盡量使所選擇的三角函數(shù)在所確定的范圍內(nèi)單調(diào))；第三步是得到結(jié)論，求得所求角的值二、如何進行三角恒等變式的證明三角恒等式證明的基本方法：(1)可從一邊開始，證得它等于另一邊，一般是由繁到簡(2)可用左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子(3)可采用切割化弦，將其轉(zhuǎn)化為所熟知的正、余弦(4)可用分析法，即假定結(jié)論成立，經(jīng)推理論證，找到一個顯然成立的式子(或已知條件)(5)可用拼湊法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地變形，以消除其差異，簡言之，即化異求同(6)可采用比較法，即“1”或“左邊右邊0”證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，就是有目的地進行化簡，因此，在證明時要注意將上述方法綜合起來考慮，要靈活運用公式，消除差異，其思維模式可歸納為三點：(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)、運算結(jié)構(gòu)的差異；(2)尋求聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出轉(zhuǎn)化差異的聯(lián)系；(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓剑瑢崿F(xiàn)差異的轉(zhuǎn)化二、備用習題1已知tanx3，則sin2x_，cos2x_.2已知tan2，則cos2等于()a bc d3下列各式化成和差的形式分別是：(1)sin(2x)cos(2x)；(2)cossin.4設(shè)、k(kz)，且cos2sin