圓錐曲線解題技巧教案整理后 2.doc

圓錐曲線概念、方法、題型、及應(yīng)試技巧總結(jié)1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答2）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）； （2）若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。如定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。如 （1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）； （2）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）； （3）設(shè)雙曲線（a0,b0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角（銳角或直角）的取值范圍是_（答：）；（4） 已知F1、F2為雙曲線的左焦點,頂點為A1、A2, 是雙曲線上任意一點,則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓一定（ ）A相交 B相切 C相離 D以上情況均有可能（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_（答：）；5、點和橢圓（）的關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：(-,-1)）； （2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）； （3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_（答：2）； （2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：）； （3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）； （4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_（答：相離）； （5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（答：1）； （6）設(shè)雙曲線的右焦點為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7）求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點。當(dāng)為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)為何值時，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點？（答：；）；7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：）；（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標(biāo)為_（答：）；（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)為_（答：）；（5）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（答：2）；（6）橢圓內(nèi)有一點，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標(biāo)為_（答：）；8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題： ，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線。 如 （1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點，F(xiàn)1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當(dāng)0)上異于原點的兩點，點C坐標(biāo)為（0，2p）（1）求證：A,B,C三點共線； （2）若（）且試求點M的軌跡方程。（1）證明：設(shè)，由得，又，即A,B,C三點共線。（2）由（1）知直線AB過定點C，又由及（）知OMAB，垂足為M，所以點M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點。即點M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。15.圓錐曲線中線段的最值問題：例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 P的坐標(biāo)為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點共線時，距離和最小。 解：（1）（2，）（2）（）點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。例2、F是橢圓的右焦點，