人教B版必修2 2.2.2 第2課時(shí) 直線的兩點(diǎn)式和一般式方程 學(xué)案.docx

第2課時(shí)直線的兩點(diǎn)式和一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線方程的兩點(diǎn)式及截距式，并理解它們存在的條件.2.理解直線方程的一般式的特點(diǎn)與方程其它形式的區(qū)別與聯(lián)系.3.會(huì)直線方程的一般式與其它形式之間相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步掌握求直線方程的方法知識(shí)點(diǎn)一直線方程的兩點(diǎn)式思考過(guò)點(diǎn)(1,3)和(1,5)的直線能用兩點(diǎn)式表示嗎？為什么？過(guò)點(diǎn)(2,3)，(5,3)的直線呢？答案不能，因?yàn)?10，而0不能做分母過(guò)點(diǎn)(2,3)，(5,3)的直線也不能用兩點(diǎn)式表示梳理直線方程的兩點(diǎn)式名稱(chēng)已知條件示意圖方程使用范圍兩點(diǎn)式p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不為0知識(shí)點(diǎn)二直線方程的截距式思考已知兩點(diǎn)p1(a,0)，p2(0，b)，其中a0，b0，求通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程答案由直線方程的兩點(diǎn)式，得，即1.梳理直線方程的截距式名稱(chēng)已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x，y軸上的截距分別為a，b，且a0，b01斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三直線的一般式方程思考1直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式這四種形式都能用axbyc0(a，b不同時(shí)為0)來(lái)表示嗎？答案能思考2關(guān)于x，y的二元一次方程axbyc0(a，b不同時(shí)為0)一定表示直線嗎？答案一定梳理直線的一般式方程形式axbyc0條件a2b20知識(shí)點(diǎn)四直線方程五種形式的比較名稱(chēng)已知條件標(biāo)準(zhǔn)方程適用范圍點(diǎn)斜式點(diǎn)p1(x1，y1)和斜率kyy1k(xx1)不垂直于x軸的直線斜截式斜率k和在y軸上的截距bykxb不垂直x軸的直線兩點(diǎn)式點(diǎn)p1(x1，y1)和點(diǎn)p2(x2，y2)不垂直于x，y軸的直線截距式在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b1不垂直于x，y軸的直線，不過(guò)原點(diǎn)的直線一般式兩個(gè)獨(dú)立的條件axbyc0a，b不全為零1能用兩點(diǎn)式方程表示的直線也可用點(diǎn)斜式方程表示()2當(dāng)a，b同時(shí)為零時(shí)，方程axbyc0也可表示為一條直線()3任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化()類(lèi)型一直線的兩點(diǎn)式方程例1在abc中，已知點(diǎn)a(3,2)，b(5，4)，c(0，2)(1)求bc邊的方程；(2)求bc邊上的中線所在直線的方程解(1)bc邊過(guò)點(diǎn)b(5，4)，c(0，2)，由兩點(diǎn)式，得，即2x5y100，故bc邊的方程是2x5y100(0x5)(2)設(shè)bc的中點(diǎn)為m(a，b)，則a，b3，所以m.又bc邊的中線過(guò)點(diǎn)a(3,2)，所以，即10x11y80，所以bc邊上的中線所在直線的方程是10x11y80.反思與感悟當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿(mǎn)足兩點(diǎn)式方程的適用條件，若滿(mǎn)足，即可考慮用兩點(diǎn)式求方程在斜率存在的情況下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程跟蹤訓(xùn)練1已知abc三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)a(2，1)，b(2,2)，c(4,1)，求三角形三條邊所在的直線方程解a(2，1)，b(2,2)，a、b兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線ab與x軸垂直，故其方程為x2.a(2，1)，c(4,1)，由直線方程的兩點(diǎn)式，可得直線ac的方程為，即xy30.同理由直線方程的兩點(diǎn)式，得直線bc的方程為，即x2y60.類(lèi)型二直線的截距式方程例2求過(guò)點(diǎn)a(5,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程解方法一(1)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為yx，即2x5y0；(2)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)方程為1，即xya.又l過(guò)點(diǎn)a(5,2)，52a，解得a3.l的方程為xy30.綜上所述，直線l的方程為2x5y0或xy30.方法二由題意知，直線的斜率一定存在設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為y2k(x5)，當(dāng)x0時(shí)，y25k；當(dāng)y0時(shí)，x5.根據(jù)題意，得25k.解得k或1.當(dāng)k時(shí)，直線方程y2(x5)，即2x5y0；當(dāng)k1時(shí)，直線方程為y21(x5)，即xy30.綜上所述，直線l的方程為2x5y0或xy30.引申探究1若將本例中的條件“在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤霸趚軸上的截距是y軸上的截距的2倍”，其他條件不變，如何求解？解(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為yx，即2x5y0，符合題意(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)方程為1.又l過(guò)點(diǎn)(5,2)，1，解得a.直線l的方程為x2y90.2若將本例中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤芭c兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是”，其他條件不變，如何求解？解由題意，直線不過(guò)原點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距都存在設(shè)其方程為1，可化為ab9，由解得此方程組無(wú)解；由解得或l的方程為4x25y300或xy30.反思與感悟(1)如果問(wèn)題中涉及直線與兩坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用直線的截距式方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可(2)在選用直線的截距式方程時(shí)，必須首先考慮直線是否過(guò)原點(diǎn)以及是否與兩坐標(biāo)軸垂直跟蹤訓(xùn)練2過(guò)點(diǎn)a(3，1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有()a2條 b3條 c4條 d無(wú)數(shù)多條答案b解析當(dāng)截距都為零時(shí)滿(mǎn)足題意要求，直線為yx，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為1，或即直線方程為1或1，滿(mǎn)足條件的直線共有3條故選b.類(lèi)型三直線的一般式方程例3設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直線l在x軸上的截距為3，則m_；(2)若直線l的斜率為1，則m_.答案(1)(2)2解析(1)令y0，則x，3，得m或m3(舍去)m.(2)由直線l化為斜截式方程，得yx，則1，解得m2或m1(舍去)m2.反思與感悟(1)若方程axbyc0表示直線，則需滿(mǎn)足a，b不同時(shí)為0.(2)令x0可得在y軸上的截距令y0可得在x軸上的截距若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式(3)解分式方程注意驗(yàn)根跟蹤訓(xùn)練3直線l的方程為(a1)xy2a0.(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；(2)若l不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)令x0，則ya2，令y0，則x.l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，a2，解得a2或a0.(2)由(1)知，在x軸上的截距為，在y軸上的截距為a2，由題意得解得a1或a2.實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a1或a2.1在直角坐標(biāo)系中，直線xy30的傾斜角是()a30 b60c150 d120答案c解析因?yàn)橹本€的斜率k，所以?xún)A斜角為150，故選c.2經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,5)，b(3,6)的直線在x軸上的截距為()a2 b3c27 d27答案d解析由兩點(diǎn)式得直線方程為，即x5y270，令y0，得x27.3已知ab0，bc0，則直線axbyc通過(guò)()a第一、二、三象限 b第一、二、四象限c第一、三、四象限 d第二、三、四象限答案c解析由axbyc，得yx，ab0，bc0，直線在y軸上的截距0.由此可知，直線通過(guò)第一、三、四象限4已知點(diǎn)a(3,2)，b(1,4)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)c(2,5)且經(jīng)過(guò)線段ab的中點(diǎn)的直線方程為_(kāi)答案2xy10解析ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，由直線的兩點(diǎn)式方程，可得，即2xy10.5直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)和第一、二、四象限，若直線l的橫截距與縱截距之和為6，求直線l的方程解設(shè)直線l的橫截距為a，由題意可得縱截距為6a，所以直線l的方程為1.又因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)在直線l上，所以1，解得a2或3.當(dāng)a2時(shí)，直線的方程為2xy40，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)a3時(shí)，直線的方程為xy30，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限綜上所述，所求直線的方程為2xy40或xy30. 1求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿(mǎn)足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不垂直于坐標(biāo)軸，若滿(mǎn)足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系2截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可(2)在選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用3(1)直線方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化為斜截式一般式化斜截式的步驟移項(xiàng)，byaxc；當(dāng)b0時(shí)，得yx.(2)在一般式axbyc0(a2b20)中，若a0，則y，它表示一條與y軸垂直的直線；若b0，則x，它表示一條與x軸垂直的直線.一、選擇題1直線(2m25m2)x(m24)y5m0的傾斜角為45，則m的值為()a2 b2c3 d3答案d解析由已知，得m240，且1，解得m3.2在x軸和y軸上的截距分別為2,3的直線方程是()a.1 b.1c.1 d.1答案c3已知直線axby10在y軸上的截距為1，且它的傾斜角是直線xy0的傾斜角的2倍，則a，b的值分別為()a.，1 b.，1c，1 d，1答案d解析原方程化為1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的傾斜角為60，ktan 120，a，故選d.4直線ax3my2a0(m0)過(guò)點(diǎn)(1，1)，則直線的斜率k等于()a3 b3c. d答案d解析由點(diǎn)(1，1)在直線上，可得a3m2a0(m0)，解得ma，故直線方程為ax3ay2a0(a0)，即x3y20，其斜率k.5已知abc的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(1,2)，b(3,6)，c(5,2)，m為ab中點(diǎn)，n為ac中點(diǎn)，則中位線mn所在直線方程為()a2xy80 b2xy80c2xy120 d2xy120答案a解析由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得m(2,4)，n(3,2)，再由兩點(diǎn)式可得直線mn的方程為，即2xy80.6下列命題正確的是()a過(guò)任意兩點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)的直線方程可以寫(xiě)成b直線在x軸和y軸上的截距相等，則直線斜率為1c若直線的斜率為1，則直線在x軸和y軸上的截距之和為0d若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1答案c解析當(dāng)x1x2或y1y2時(shí)，直線方程不能寫(xiě)成，故a錯(cuò)誤；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，在x軸和y軸上的截距相等，但斜率不一定為1，故b錯(cuò)誤；設(shè)直線在y軸上的截距為b，則直線方程為yxb.令y0，得直線在x軸上的截距為xb，于是b(b)0，故c正確；若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1，故d錯(cuò)誤7利用斜二測(cè)畫(huà)法，作出直線ab的直觀圖如圖所示，若oaob1，則直線ab在直角坐標(biāo)系中的方程為()axy1 bxy1cx1 dx1答案d解析由斜二測(cè)畫(huà)法可知在直角坐標(biāo)系中，a(1,0)，b(0，2)，由截距式方程可得直線方程為x1.8直線l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是()答案c解析將l1與l2的方程化為斜截式，得yaxb，ybxa，根據(jù)斜率和截距的符號(hào)可得c正確二、填空題9已知直線1與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為6，則a的值為_(kāi)答案2解析由1知，s|a|66，所以a2.10若直線(2t3)xy60不經(jīng)過(guò)第一象限，則t的取值范圍為_(kāi)答案解析直線方程(2t3)xy60可化為y(32t)x6.由題意知，需滿(mǎn)足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得t.11過(guò)點(diǎn)(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)答案3x2y0或xy50解析當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為ykx，k，直線方程為yx；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)1，將點(diǎn)(2,3)代入，得a5，直線方程為xy50.所求直線方程為3x2y0或xy50.三、解答題12求斜率與直線4x3y0相等，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸上的截距解設(shè)直線方程是4x3yd0，分別令x0和y0，得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是，6，d12.直線在x軸上截距為3或3.13已知abc的頂點(diǎn)a(5，2)，b(7,3)且邊ac的中點(diǎn)m在y軸上，邊bc的中點(diǎn)n在x軸上(1)求頂點(diǎn)c的坐標(biāo)；(2)求直線mn的方程解(1)設(shè)m(0，m)，n(n,0)，則所以xc055，yc033，所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為(5，3)(2)因?yàn)?mycya3(2)5，故m.因?yàn)?nxcxb572，故n1.所以直線mn的方程為1，即5x2y50.四、探究與拓展14若直線(2m2m3)x(m2m)y(4m1)0在x