人教B版選修21 3.1.3兩個(gè)向量的數(shù)量積 學(xué)案1.doc

數(shù)學(xué)人教b選修2-1第三章3.1.3兩個(gè)向量的數(shù)量積1理解空間向量夾角的概念及表示方法2理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念3會(huì)利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律，計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積及向量的模1兩個(gè)向量的夾角(1)定義及表示：已知兩個(gè)_向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)o，作a，b，則角_叫做向量a與b的夾角，記作_；(2)范圍和性質(zhì)：規(guī)定_，顯然有a，bb，a；如果a，b90，則稱a與b互相垂直，記作_【做一做1】向量a，b不共線且模相等，mab，nab，則m，n_兩個(gè)向量同向時(shí)，其夾角為0；反向時(shí)，其夾角為.2異面直線(1)定義：不同在_平面內(nèi)的兩條直線；(2)兩條異面直線所成的角：把異面直線_一個(gè)平面內(nèi)，這時(shí)兩條直線的夾角(_)叫做兩條異面直線所成的角；如果所成的角是_，則稱兩條異面直線互相垂直【做一做2】正四面體abcd中，ab與cd的位置關(guān)系是()a平行 b垂直c不垂直 d不能確定對(duì)異面直線定義的理解需注意的問(wèn)題：“不在同一平面內(nèi)的兩條直線”是指不在任意一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，異面直線既不相交，也不平行，要注意把握異面直線的不共面性不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線3向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做兩個(gè)空間向量a，b的_(或_)，記作ab，即，ab_.【做一做3】|a|2，|b|3，a，b60，則ab_.4空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)ae|a|cosa，e(e為單位向量)；(2)ab_；(3)|a|2_；(4)|ab|_.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)的作用：性質(zhì)(1)可以幫助我們求兩個(gè)向量的夾角性質(zhì)(2)用于判斷空間兩個(gè)向量是否垂直性質(zhì)(3)主要用于計(jì)算向量的模性質(zhì)(4)主要用于不等式的證明5兩個(gè)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)(a)b_；(2)ab_(交換律)；(3)(ab)cacbc(分配律)【做一做4】下列各式中不正確的是_a；ab0a0，或b0；|ab|a|b|；a(bc)(bc)a.1如何理解空間向量的夾角？剖析：(1)只有兩非零向量才定義夾角，求向量夾角注意把向量平移到同一起點(diǎn)；(2)向量夾角的范圍是0，向量同向時(shí)夾角為0，向量反向時(shí)夾角為；(3)注意零向量與任意向量平行，零向量與任意向量垂直2如何理解異面直線？剖析：(1)兩直線不同在某一個(gè)平面不一定是異面直線，異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，異面直線既不平行也不相交；(2)注意異面直線所成角的范圍是；(3)在空間中兩直線垂直但未必相交3如何理解空間向量的數(shù)量積？剖析：(1)空間向量的數(shù)量積是平面向量數(shù)量積的推廣；(2)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算符號(hào)是“”，不能省略，更不是“”；(3)空間向量的數(shù)量積(內(nèi)積)是一個(gè)實(shí)數(shù)而不是一個(gè)向量，它有別于數(shù)乘向量；(4)因?yàn)閍(bc)沒(méi)意義，所以空間向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即a(bc)(ab)c；(5)若abk，不能得出a；(6)ab的充要條件是ab0，這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法，同時(shí)也說(shuō)明了命題“ab0a0，或b0”的錯(cuò)誤性題型一 求空間向量的夾角【例1】如圖，在正方體abcdabcd中，求下列各向量的夾角：(1)與；(2)與.分析：結(jié)合圖形，利用空間向量的夾角定義求反思：求兩個(gè)向量的夾角一種方法是結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義通過(guò)解三角形來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍另一種方法是先求ab，然后利用公式cosa，b求cosa，b，最后確定a，b題型二 求空間向量的數(shù)量積【例2】已知長(zhǎng)方體abcdabcd，abaa2，ad4，e為側(cè)面ab的中心，f為ad的中點(diǎn)，計(jì)算下列數(shù)量積：(1)；(2)；(3).反思：求兩個(gè)向量m，n的數(shù)量積一般分為兩個(gè)層次：一是結(jié)合圖形確定向量m，n的模及m，n的大小，直接利用空間向量數(shù)量積的定義來(lái)求，此種情況下要注意向量夾角的正確性二是選定一組基向量表示向量m，n，從而把m，n的數(shù)量積，通過(guò)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量之間的數(shù)量積來(lái)求題型三 空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用【例3】如圖所示，在平行四邊形abcd中，abac1，acd90，將它沿對(duì)角線ac折起，使ab與cd成60角，求b，d間的距離分析：可選基底表示出，利用性質(zhì)|a|2aa來(lái)求|.反思：通過(guò)向量數(shù)量積的性質(zhì)，可證明空間中的垂直關(guān)系，求空間中兩點(diǎn)的距離，求空間中角的度數(shù)1已知|a|13，|b|19，|ab|24，則|ab|()a22 b48 c d322若cosa，b，則a，b()a60 b30 c45 d903已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，則_.4已知|a|2，|b|，ab，則a，b_.5根據(jù)下列等式，求a，b(1)cosa，b1；(2)cosa，b0；(3)ab|a|b|.答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1(1)非零aoba，b(2)0a，bab【做一做1】用向量加減法的幾何意義及菱形的性質(zhì)可求得m，n.2(1)任何一個(gè)(2)平移到銳角或直角直角【做一做2】b3數(shù)量積內(nèi)積|a|b|cosa，b【做一做3】34(2)ab0(3)aa(4)|a|b|5(1)(ab)(2)ba【做一做4】|a|，命題錯(cuò)誤；ab0ab，命題錯(cuò)誤；|ab|a|b|cosa，b，命題錯(cuò)誤；正確典型例題領(lǐng)悟【例1】解：(1)，90.(2)在ba的延長(zhǎng)線上作，易知eac135，135.【例2】解：設(shè)a，b，c，則由題意，得|a|c|2，|b|4，|2，45，abbcca0，(1)|cos，224；(2)b|b|216；(3)(ba)|a|2|b|22.【例3】解：acd90，0，同理0.ab與cd成60角，60或120.又，|2|2|2|22()111211cos，當(dāng)，60時(shí)，|232cos 604，當(dāng)，120時(shí)，|232cos 1202.|2或，即b，d間的距離為2或.隨堂練習(xí)鞏固1a利用|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)可得|ab|2484，故|ab|22.2a3ab|a|b|