人教B版選修22 合情推理 學案 .doc

21.1合情推理1了解推理的結構及合情推理的定義(易混點)2了解歸納推理的定義與特點，掌握歸納推理的一般步驟，能利用歸納推理解決問題(重點)3了解類比推理的定義與特點，掌握類比推理的一般步驟，能利用類比推理解決簡單的問題(重點、難點)基礎初探教材整理1推理與合情推理閱讀教材p53，完成下列問題1推理的定義根據(jù)一個或幾個已知的事實(或假設)得出一個_，這種思維方式叫做推理2推理的結構推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)，叫做_；一部分是由已知推出的判斷，叫做_3推理的分類推理一般分為_推理與_推理4合情推理前提為真時，結論_為真的推理，叫做合情推理【答案】1.判斷2.前提結論3.合情演繹4可能如圖211所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有n(n1，nn)個點，每個圖形總的點數(shù)記為an，則a6_，an_(n1，nn)圖211【解析】依據(jù)圖形特點，可知第5個圖形中三角形各邊上各有6個點，因此a636315.由n2,3,4,5,6的圖形特點歸納得an3n3(n1，nn)【答案】153n3教材整理2歸納推理與類比推理閱讀教材p54p58，完成下列問題1歸納推理(1)定義根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做_(簡稱_)(2)歸納推理的一般步驟通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)【答案】1.(1)歸納推理歸納2類比推理(1)定義：根據(jù)_之間具有某些類似(或一致)性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質的推理，叫做_(簡稱_)它屬于合情推理(2)類比推理的一般步驟找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)【答案】2.(1)兩類不同事物類比推理類比1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，這種估計屬于類比推理()(2)類比推理得到的結論可以作為定理應用()(3)歸納推理是由個別到一般的推理()【答案】(1)(2)(3)2平面內平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到()a空間中平行于同一直線的兩直線平行b空間中平行于同一平面的兩直線平行c空間中平行于同一直線的兩平面平行d空間中平行于同一平面的兩平面平行【解析】利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比【答案】d質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型數(shù)、式中的歸納推理(1)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn，則f2 017(x)的表達式為_(2)觀察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此規(guī)律，第n個等式可為_(3)已知f(x)，設f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nn)，則f3(x)的表達式為_，猜想fn(x)(nn)的表達式為_. 【導學號：05410038】【精彩點撥】結合數(shù)或式子的結構特征，提煉結論【自主解答】(1)由題意f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，故f2 017(x).(2)從給出的規(guī)律可看出，左邊的連乘式中，連乘式個數(shù)以及每個連乘式中的第一個加數(shù)與右邊連乘式中第一個乘數(shù)的指數(shù)保持一致，其中左邊連乘式中第二個加數(shù)從1開始，逐項加1遞增，右邊連乘式中從第二個乘數(shù)開始，組成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，項數(shù)與第幾等式保持一致，則照此規(guī)律，第n個等式可為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(3)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項可以猜想fn(x).【答案】(1)f2 017(x)(2)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(3)f3(x)fn(x)進行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律1已知等式或不等式進行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點；(4)運用歸納推理得出一般結論2數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；(3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式再練一題1(1)已知數(shù)列an中，a11，an1(an)，則可歸納猜想an的通項公式為()aanbancandan(2)已知，推測猜想一般性結論為_. 【導學號：05410039】【解析】(1)由已知得a11，a2，a3，a4，由此可猜想an.(2)每一個不等式的右邊是不等式左邊的分子、分母分別加了相同的正數(shù)，因此可猜測：(a，b，m均為正數(shù)，且ab)【答案】(1)b(2)(a，b，m均為正數(shù)，且ab)幾個圖形中的歸納推理(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖212的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是_圖212(2)根據(jù)圖213中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為_圖213【精彩點撥】(1)觀察圖案知，每多一塊白色地面磚，則多5塊黑色地面磚，從而每個圖案中白色地面磚的塊數(shù)，組成首項為6，公差為5的等差數(shù)列(2)先求出前4個圖形中線段的數(shù)目，再歸納【自主解答】(1)觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數(shù)組成首項為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個圖案中黑色地面磚的個數(shù)為6(n1)55n1.(2)圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因為1223,5233,13243,29253，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應為293509.【答案】(1)5n1(2)509歸納推理在圖形中的應用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理解答該類問題的一般策略是：再練一題2觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(f)頂點數(shù)(v)棱數(shù)(e)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中f，v，e所滿足的等式是_【解析】觀察f，v，e的變化得fve2.【答案】fve23根據(jù)如圖214的5個圖形及相應的圓圈個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖形有多少個圓圈(1)(2)(3)(4)(5)圖214【解】法一：圖(1)中的圓圈數(shù)為120，圖(2)中的圓圈數(shù)為221，圖(3)中的圓圈數(shù)為322，圖(4)中的圓圈數(shù)為423，圖(5)中的圓圈數(shù)為524，故猜測第n個圖形中的圓圈數(shù)為n2(n1)n2n1.法二：第2個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向兩個方向，共有2(21)1個圓圈；第3個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向三個方向，每個方向有兩個圓圈，共有3(31)1個圓圈；第4個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向四個方向，每個方向有三個圓圈，共有4(41)1個圓圈；第5個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向五個方向，每個方向有四個圓圈，共有5(51)1個圓圈；由上述的變化規(guī)律，可猜測第n個圖形中間有一個圓圈，另外的圓圈指向n個方向，每個方向有(n1)個圓圈，因此共有n(n1)1(n2n1)個圓圈探究共研型類比推理及其應用探究1在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個面的面積之間有什么關系？【提示】四面體中的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積探究2三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？【提示】四面體的體積等于底面積與高的積的.(1)在公比為4的等比數(shù)列bn中，若tn是數(shù)列bn的前n項積，則有，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結論，相應地，在公差為3的等差數(shù)列an中，若sn是an的前n項和可類比得到的結論是_.(2)在rtabc中，abac，adbc于d，求證：，那么在四面體abcd中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由【精彩點撥】(1)等比數(shù)列中的商類比等差數(shù)列中的差(2)三角形類比四面體，三角形中的邊類比四面體中的面，三角形中的高類比四面體中的高【自主解答】(1)因為等差數(shù)列an的公差d3，所以(s30s20)(s20s10)(a21a22a30)(a11a12a20)100d300，同理可得：(s40s30)(s30s20)300，所以數(shù)列s20s10，s30s20，s40s30是等差數(shù)列，且公差為300.即結論為：數(shù)列s20s10，s30s20，s40s30也是等差數(shù)列，且公差為300.【答案】數(shù)列s20s10，s30s20，s40s30也是等差數(shù)列，且公差為300(2)如圖所示，由射影定理得ad2bddc，ab2bdbc，ac2cdbc，所以.又bc2ab2ac2，所以.類比猜想：四面體abcd中，ab，ac，ad兩兩垂直，ae平面bcd，則.如圖，連接be交cd于f，連接af，因為abac，abad，acada，所以ab平面acd，而af平面acd，所以abaf，在rtabf中，aebf，所以，易知在rtacd中，afcd，所以，所以，猜想正確1解決此類問題，從幾何元素的數(shù)目、位置關系、度量等方面入手，將平面幾何的相關結論類比到立體幾何，相關類比點如下：平面圖形空間圖形點直線直線平面邊長面積面積體積三角形四面體線線角面面角2.中學階段常見的類比知識點有：等差與等比數(shù)列，向量、復數(shù)與實數(shù)，空間與平面，圓與球等等再練一題4上例(1)中條件不變，試寫出一個更為一般的結論(不必證明)【解】對于任意的kn，都有數(shù)列s2ksk，s3ks2k，s4ks3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.構建體系1我們把1,4,9,16,25，這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正方形(如圖215)圖215則第n個正方形數(shù)是()an(n1)bn(n1)cn2d(n1)2【解析】觀察前5個正方形數(shù)，恰好是序號的平方，所以第n個正方形數(shù)應為n2.【答案】c2如圖216所示，著色的三角形的個數(shù)依次構成數(shù)列an的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為()圖216aan3n1ban3ncan3n2ndan3n12n3【解析】a11，a23，a39，a427，猜想an3n1.【答案】a3在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_. 【導學號：05410040】【解析】由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關系，故若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積之比為18.【答案】184觀察下列等式：11，2349，3456725，4567891049，照此規(guī)律，第五個等式應為_【解析】每行最左側數(shù)分別為1,2,3，所以第n行最左側的數(shù)應為n；每行的個數(shù)分別為1,3,5，所以第n行的個數(shù)應為2n1.所以第5行的數(shù)依次是5,6,7，13，其和為5671381.【答案】56713815已知在數(shù)列an中，a1，an1.(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.【解】(1)a2，同理a3，a4，a5.(2)由a2，a3，a4，a5，可猜想an.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1(2016廈門高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖217所示：圖217按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()a6n2b8n2c6n2d8n2【解析】觀察易知第1個“金魚”圖中需要火柴棒8根，而第2個“金魚”圖中比第1個“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根，第3個“金魚”圖中比第2個“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根，.由此可猜測第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)比第n1個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)多6，即各個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)組成以8為首項，6為公差的等差數(shù)列，易求得通項公式為an6n2.【答案】c2數(shù)列3,7，11,15，的通項公式可能是()aan4n7ban(1)n(4n1)can(1)n(4n1)dan(1)n1(4n1)【解析】當數(shù)列中負項、正項交替出現(xiàn)時，用(1)n來控制；若是正項、負項交替出現(xiàn)，則用(1)n1來控制【答案】c3定義a*b，b*c，c*d，d*b依次對應下列4個圖形：圖218那么下列4個圖形中，圖219可以表示a*d，a*c的分別是()a(1)，(2)b(1)，(3)c(2)，(4)d(1)，(4)【解析】由可歸納得出：符號“*”表示圖形的疊加，字母a代表豎線，字母b代表大矩形，字母c代表橫線，字母d代表小矩形，a*d是(2)，a*c是(4)【答案】c4下列推理正確的是()a把a(bc)與loga(xy)類比，則loga(xy)logaxlogayb把a(bc)與sin(xy)類比，則sin(xy)sin xsin yc把(ab)n與(xy)n類比，則(xy)nxnynd把(ab)c與(xy)z類比，則(xy)zx(yz)【解析】a錯誤，因為logaxlogaylogaxy(x0，y0)；b錯誤，因為sin(xy)sin xcos ycos xsin y；c錯誤，如當n2時，若xy0，則(xy)2x22xyy2x2y2；d正確，類比的是加法、乘法的結合律【答案】d5給出下列等式：19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，猜測123 45697等于()a1 111 110b1 111 111c1 111 112d1 111 113【解析】由題中給出的等式猜測，應是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即1 111 111.【答案】b二、填空題6已知 2 ，3，4 ，.若8(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則at_.【解析】由所給等式知，a8，t82163，at71.【答案】717設n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，觀察上述結果，可推測一般的結論為_. 【導學號：05410041】【解析】f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，由此可推測一般性的結論為f(2n).【答案】f(2n)8對于命題“如果o是線段ab上一點，則| |0”，將它類比到平面的情形是：若o是abc內一點，有sobcsocasoba0，將它類比到空間的情形應為：若o是四面體abcd內一點，則有_【解析】根據(jù)類比的特點和規(guī)律，所得結論形式上一致，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長類比為三角形面積，再類比成四面體的體積，故可以類比為vobcdvoacdvoabdvoabc0.【答案】vobcdvoacdvoabdvoabc0三、解答題9平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊(2)三角形的面積s底高(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的.請類比上述性質，寫出空間中四面體的相關結論【解】由三角形的性質，可類比得空間四面體的相關性質為：(1)四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積(2)四面體的體積v底面積高(3)四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的.10某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2110(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形圖2110(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n1)與f(n)的關系式，并根據(jù)你得到的關系式求f(n)的表達式【解】(1)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(5)254441.(2)f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式規(guī)律得出f(n1)f(n)4n.f(2)f(1)41，f(3)f(2)42，f(4)f(3)43，f(n1)f(n2)4(n2)，f(n)f(n1)4(n1)f(n)f(1)412(n2)(n1)2(n1)n，f(n)2n22n1.能力提升1觀察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般結論是()an(n1)(n2)(3n