人教B版選修45 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練.docVIP

4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式更上一層樓基礎(chǔ)鞏固1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3,nn)第一步應(yīng)驗(yàn)證（ ）a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4思路分析：由題意知n3，應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：c2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1)時(shí)，第一步即證明不等式_成立.思路分析：因?yàn)閚1，所以第一步n=2.答案：1+(k1)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因子的個(gè)數(shù)是_.思路分析：因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是(1+)，最后一個(gè)是(1+)，共有2k-2k-1=2k-1項(xiàng).答案：(1+)(1+)(1+) 2k-14.用數(shù)學(xué)歸納法證明（a.，b.是非負(fù)實(shí)數(shù)，nn）時(shí)，假設(shè)n=k命題成立之后，證明n=k+1命題也成立的關(guān)鍵是_.思路分析：要想辦法出現(xiàn)ak+1+bk+1，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的()k+1.答案：兩邊同乘以5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立之后，證明n=k+1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_.思路分析：把n=k時(shí)的不等式中的k換成k+1即可.答案：綜合應(yīng)用6.若n為大于1的自然數(shù)，求證：思路分析：注意對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)放縮技巧的合理使用.解：()當(dāng)n=2時(shí)，.()假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即.則當(dāng)n=k+1時(shí)，.7.求證：(nn+)思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，是考試中的重點(diǎn)題型之一，在n=k+1的證明過程中還需要熟練運(yùn)用不等式證明的一些技巧.解：記an=，（）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=,而a1=2=，當(dāng)n=1時(shí)，不等式a1.推測(cè)：(1+1)(1+)(1+0()當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證式成立.()假設(shè)n=k(k1)時(shí)式成立，即(1+1)(1+)+).則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=.()3-()3=0,(3k+2)=.從而(1+1)(1+)(1+)(1+)，即當(dāng)n=k+1時(shí)，式成立.由()()知，式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a1時(shí)，snlogabn+1,當(dāng)0a1時(shí)，snlogabn+1.回顧展望9.已知數(shù)列a.n的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a.0=1,a.n+1=a.n(4-a.n),nn.證明：a.na.n+12,nn.思路分析：對(duì)第一問用數(shù)學(xué)歸納法證明比較簡潔，但是用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程中，也有作差比較和利用單調(diào)性兩種方法.證明：方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)n=1時(shí)，an=1,a1=a0(4-a0)=，a0a12，命題正確.()假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2.則n=k+1時(shí),ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak+1=ak(4-ak)=124-(ak-2)22.n=k+1時(shí)命題正確.由()()知，對(duì)一切nn時(shí)有anan+12.方法二用數(shù)學(xué)歸納法證明.()當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12.()假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2成立，令f(x)=x(4-x)，f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak)2(4-2),也即當(dāng)n=k+1時(shí)akak+12成立，所以對(duì)一切nn,有akak+12.10.(2005遼寧高考) 已知函數(shù)f(x)=(x-1).設(shè)數(shù)列a.n滿足a.1=1,a.n+1=f(a.n)，數(shù)列b.n滿足b.n=|a.n-|,sn=b.1+b.2+b.n(nn*).（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明:b.n;（2）證明:sn.證明：(1)當(dāng)x0時(shí),f(x)=1+1.因?yàn)閍1=1，所以an1(nn*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn.（）當(dāng)n=1時(shí)，b1=-1，不等式成立，（）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即bk.那么bk+1=|ak+1-|=.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等