2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：圓的方程含答案.doc

教學(xué)資料范本2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：圓的方程含答案編 輯：_時 間：_最新考綱1.掌握確定圓的幾何要素、掌握圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a、b)、半徑r一般方程x2y2DxEyF0、(D2E24F0)圓心、半徑2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0、y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0、y0)在圓外、則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0、y0)在圓上、則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0、y0)在圓內(nèi)、則(x0a)2(y0b)2r2.圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時、切點與兩圓心三點共線一、思考辨析(正確的打“”、錯誤的打“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程x2y2a2表示半徑為a的圓()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圓()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0、B0、D2E24AF0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1圓x2y24x6y0的圓心坐標和半徑分別是()A(2,3)、3B(2,3)、C(2、3)、13 D(2、3)、D圓的方程可化為(x2)2(y3)213、所以圓心坐標是(2、3)、半徑r.2已知點A(1、1)、B(1,1)、則以線段AB為直徑的圓的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24AAB的中點坐標為(0,0)、|AB|2、所以圓的方程為x2y22.3過點A(1、1)、B(1,1)、且圓心在直線xy20上的圓的方程是()A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24C設(shè)圓心C的坐標為(a、b)、半徑為r.因為圓心C在直線xy20上、所以b2a.又|CA|2|CB|2、所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2、所以a1、b1.所以r2.所以方程為(x1)2(y1)24.4在平面直角坐標系中、經(jīng)過三點(0,0)、(1,1)、(2,0)的圓的方程為 x2y22x0設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0.圓經(jīng)過點(0,0)、(1,1)、(2,0)、 解得 圓的方程為x2y22x0.考點1圓的方程求圓的方程的2種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、直接求出圓心坐標和半徑、進而寫出方程(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a、b)和半徑r有關(guān)、則設(shè)圓的標準方程、求出a、b、r的值；選擇圓的一般方程、依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組、進而求出D、E、F的值(1)一題多解已知圓E經(jīng)過三點A(0,1)、B(2,0)、C(0、1)、且圓心在x軸的正半軸上、則圓E的標準方程為()A.y2B.y2C.y2 D.y2(2)一題多解已知圓C的圓心在直線xy0上、圓C與直線xy0相切、且在直線xy30上截得的弦長為、則圓C的方程為 (1)C(2) (x1)2(y1)22 (1)法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)、則由題意得解得所以圓E的一般方程為x2y2x10、即y2.法二：(幾何法)因為圓E經(jīng)過點A(0,1)、B(2,0)、所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y2(x1)上又圓E的圓心在x軸的正半軸上、所以圓E的圓心坐標為.則圓E的半徑為|EB|、所以圓E的標準方程為y2.(2)法一：由圓C的圓心在直線xy0上、設(shè)圓C的圓心為(a、a)又圓C與直線xy0相切、半徑r|a|.又圓C在直線xy30上截得的弦長為、圓心(a、a)到直線xy30的距離d、d2r2、即2a2、解得a1、圓C的方程為(x1)2(y1)22.法二：設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0、則圓心為、半徑r、圓心在直線xy0上、0、即DE0、又圓C與直線xy0相切、即(DE)22(D2E24F)、D2E22DE8F0.又知圓心到直線xy30的距離d、由已知得d22r2、(DE6)2122(D2E24F)、聯(lián)立、解得故所求圓的方程為x2y22x2y0、即(x1)2(y1)22.幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問題的兩種常用方法、求解圓的方程時、可采用數(shù)形結(jié)合的思想充分運用圓的幾何性質(zhì)、達到事半功倍的效果1.若不同的四點A(5,0)、B(1,0)、C(3,3)、D(a,3)共圓、則a的值為 7設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)、分別代入A、B、C三點坐標、得解得所以A、B、C三點確定的圓的方程為x2y24xy50.因為D(a,3)也在此圓上、所以a294a2550.所以a7或a3(舍去)即a的值為7.2已知aR、方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓、則圓心坐標是 、半徑是 (2、4)5由已知方程表示圓、則a2a2、解得a2或a1.當a2時、方程不滿足表示圓的條件、故舍去當a1時、原方程為x2y24x8y50、化為標準方程為(x2)2(y4)225、表示以(2、4)為圓心、半徑為5的圓考點2與圓有關(guān)的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問題與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題(2)形如taxby形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題已知實數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23、表示以(2,0)為圓心、為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率、所以設(shè)k、即ykx.當直線ykx與圓相切時、斜率k取最大值或最小值、此時、解得k(如圖1)所以的最大值為、最小值為.圖1圖2圖3(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距、當直線yxb與圓相切時、縱截距b取得最大值或最小值、此時、解得b2(如圖2)所以yx的最大值為2、最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方、由平面幾何知識知、x2y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)又圓心到原點的距離為2、所以x2y2的最大值是(2)274、x2y2的最小值是(2)274. 與圓有關(guān)的 斜率型、截距型、距離型最值問題一般根據(jù)相應(yīng)幾何意義、利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解已知點A(1,0)、B(0,2)、點P是圓C：(x1)2y21上任意一點、則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2,2 B2、2C.、4 D.1、1B由題意知|AB|、lAB：2xy20、由題意知圓C的圓心坐標為(1,0)、圓心到直線lAB的距離d.SPAB的最大值為2、SPAB的最小值為2.利用對稱性求最值求解形如|PM|PN|(其中M、N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”、把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離(2)“曲化直”、即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和、一般要通過對稱性解決 已知圓C1：(x2)2(y3)21、圓C2：(x3)2(y4)29、M、N分別是圓C1、C2上的動點、P為x軸上的動點、則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.A(圖略)P是x軸上任意一點、則|PM|的最小值為|PC1|1、同理|PN|的最小值為|PC2|3、則|PM|PN|的最小值為|PC1|PC2|4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2、3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5、即|PM|PN|PC1|PC2|454.本題在求解中要立足了兩點：(1)減少動點的個數(shù)、借助圓的幾何性質(zhì)化圓上任意一點到點(a、b)的距離的最大(小)值為圓心到點(a、b)的距離加(減)半徑問題；(2)“曲化直”、即借助對稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和的最值問題解決教師備選例題(1)設(shè)點P是函數(shù)y圖象上的任意一點、點Q坐標為(2a、a3)(aR)、則|PQ|的最小值為 (2)已知A(0,2)、點P在直線xy20上、點Q在圓C：x2y24x2y0上、則|PA|PQ|的最小值是 (1)2(2)2(1)函數(shù)y的圖象表示圓(x1)2y24在x軸及下方的部分、令點Q的坐標為(x、y)、則 得y3、即x2y60、作出圖象如圖所示、由于圓心(1,0)到直線x2y60的距離d2、所以直線x2y60與圓(x1)2y24相離、因此|PQ|的最小值是2.(2)因為圓C：x2y24x2y0、故圓C是以C(2,1)為圓心、半徑r的圓設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線xy20的對稱點為A(m、n)、故 解得 故A(4、2)連接AC交圓C于Q(圖略)、由對稱性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.(20xx上饒模擬)一束光線從點A(3,2)出發(fā)、經(jīng)x軸反射到圓C：(x2)2(y3)21上的最短路徑的長度是()A4 B5C51 D21C根據(jù)題意、設(shè)A與A關(guān)于x軸對稱、且A(3,2)、則A的坐標為(3、2)、又由AC5、則A到圓C上的點的最短距離為51.故這束光線從點A(3,2)出發(fā)、經(jīng)x軸反射到圓C：(x2)2(y3)21上的最短路徑的長度是51、故選C.考點3與圓有關(guān)的軌跡問題求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系、代入已知點滿足的關(guān)系式求解 (20xx衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB、且A(1,0)、B(3,0)求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程解(1)法一：設(shè)C(x、y)、因為A、B、C三點不共線、所以y0.因為ACBC、所以kACkBC1、又kAC、kBC、所以1、化簡得x2y22x30.因此、直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(y0)法二：設(shè)AB的中點為D、由中點坐標公式得D(1,0)、由直角三角形的性質(zhì)知|CD|AB|2.由圓的定義知、動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心、2為半徑的圓(由于A、B、C三點不共線、所以應(yīng)除去與x軸的交點)所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設(shè)M(x、y)、C(x0、y0)、因為B(3,0)、M是線段BC的中點、由中點坐標公式得x、y、所以x02x3、y02y.由(1)知、點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)、將x02x3、y02y代入得(2x4)2(2y)24、即(x2)2y21.因此動點M的軌跡方程為(x2)2y21(y0) 此類問題在解題過程中、常因忽視對特殊點的驗證而造成解題失誤教師備選例題已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A、B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程解(1)由x2y26x50得(x3)2y24、所以圓C1的圓心坐標為(3,0)(2)設(shè)M(x、y)、因為點M為線段AB的中點、所以C1MAB、所以kC1M kAB1、當x3時可得1、整理得y2、又當直線l與x軸重合時、M點坐標為(3,0)、代入上式成立設(shè)直線l的方程為ykx、與x2y26x50聯(lián)立、消去y得：(1k2)x26x50.令其判別式(6)24(1k2)50、得k2、此時方程為x26x50、解上式得x、因此x3.