蘇教版選修22 1.3.3 最大值與最小值 課件（37張）.ppt

1 3 3最大值與最小值 第1章導數(shù)及其應用 學習導航 第1章導數(shù)及其應用 1 函數(shù)的最大值與最小值如果在函數(shù)定義域i內存在x0 使得對任意的x i 總有f x f x0 則f x0 為函數(shù)f x 在定義域上的最大值 最大值是相對函數(shù)定義域整體而言的 如果存在最大值 那么最大值 如果在函數(shù)定義域i內存在x0 使得對任意的x i 總有 則f x0 為函數(shù)f x 在定義域上的 一般地 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 在 a b 上必有最大值與最小值 函數(shù)的最值必在端點處或極值點處取得 惟一 f x f x0 最小值 注意 開區(qū)間 a b 上連續(xù)函數(shù)y f x 的最值有如下幾種情況 圖 中的函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 上有最大值無最小值 圖 中的函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 上有最小值無最大值 圖 中的函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 上既無最大值也無最小值 圖 中的函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 上既有最大值也有最小值 2 函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系 1 函數(shù)的最值是一個整體性的概念 函數(shù)極值是在局部上對函數(shù)值的比較 具有相對性 而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況 是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較 2 函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值 則最大值或最小值只能各有一個 具有惟一性 而極大值和極小值可能多于一個 也可能沒有 例如 常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值 3 極值只能在區(qū)間內取得 最值則可以在端點處取得 有極值的不一定有最值 有最值的也未必有極值 極值有可能成為最值 最值只要不在端點處取必定是極值 3 求函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的最值的步驟第一步 求f x 在區(qū)間 a b 上的 第二步 將函數(shù)y f x 的各極值與端點處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 注意 1 若函數(shù)在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)單調 則最大 最小值在端點處取得 2 當連續(xù)可導函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內只有一個導數(shù)為零的點時 若在這一點處f x 有極大值 或極小值 則可以判定f x 在該點處取得最大值 或最小值 這里 a b 也可以是無窮區(qū)間 極值 1 判斷正誤 正確的打 錯誤的打 1 定義在閉區(qū)間 a b 上的函數(shù)f x 一定有最大值和最小值 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調遞增 則f x 的最大值是f b f x 的最小值是f a 3 定義在開區(qū)間 a b 上的函數(shù)f x 沒有最大值 4 函數(shù)的所有極小值中最小的一個就是最小值 f x g x 4 函數(shù)f x x3 3x2 9x k在區(qū)間 4 4 上的最大值為10 則其最小值為 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 71 求函數(shù)的最值 方法歸納用導數(shù)法求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 可按如下步驟進行 1 求f x 令f x 0 求出在 a b 內使導數(shù)為0的點 同時還要找出導數(shù)不存在的點 如果有的話 2 比較三類點處的函數(shù)值 導數(shù)不存在的點 導數(shù)為0的點及區(qū)間端點的函數(shù)值 其中最大者便是f x 在 a b 上的最大值 最小者便是f x 在 a b 上的最小值 已知f x ax3 6ax2 b 問是否存在實數(shù)a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 說明理由 已知函數(shù)最值求參數(shù)的值 解 存在 顯然a 0 f x 3ax2 12ax 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 1 a 0時 x變化時 f x f x 的變化情況如下表 所以當x 0時 f x 取極大值 f 0 b 又f 2 b 16a f 1 b 7a 由于a 0 所以f 0 f 1 f 2 所以當x 0時 f x 取最大值 即b 3 當x 2時 f x 取最小值 即3 16a 29 所以a 2 2 a 0時 x變化時 f x f x 的變化情況如下表 所以當x 0時 f x 取極小值 f 0 b 又f 2 b 16a f 1 b 7a 由于af 1 f 0 所以當x 0時 f x 取最小值 即b 29 當x 2時 f x 取最大值 即 16a 29 3 所以a 2 綜上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 方法歸納 1 這是一道求函數(shù)最值的逆向思維問題 求解本題的關鍵是比較極值和端點處的函數(shù)值的大小 列表解題一目了然 從而確定出a b的值 2 由函數(shù)的最值來確定參數(shù)的問題是利用導數(shù)求函數(shù)最值的逆向運用 解題時一般采用待定系數(shù)法 列出含參數(shù)的方程或方程組 從而得出參數(shù)的值 這也是方程思想的應用 2014 高考江蘇卷節(jié)選 已知函數(shù)f x ex e x 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) 1 證明 f x 是r上的偶函數(shù) 2 若關于x的不等式mf x e x m 1在 0 上恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 利用最值解決恒成立問題 方法歸納恒成立問題是高考的熱點之一 解答恒成立問題的一種基本思路是 分離參數(shù) 最值轉化 即f x a恒成立 f x min a f x a恒成立 f x max a 從而把恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題 感悟提高 對于含參數(shù)的最值問題 由于參數(shù)的取值范圍不同 會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性的變化 從而導致最值的變化 所以解決這類問題常需要分類討論 分類時一般從導函數(shù)值為零時自變量的大小或通過比較函數(shù)值的大小等方面進行參數(shù)分界的確定 設函數(shù)f x x ax2 blnx 曲線y f x 過p 1 0 且在p點處的切線斜率為2 1 求a b的值 2 證明 f x 2x 2 名師點評 解