華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)教材(六年級(jí)上)第12講棋盤中的數(shù)學(xué)(三).doc

本系列共 14 講第十二講 棋盤中的數(shù)學(xué)（三）棋盤對(duì)弈的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 文檔貢獻(xiàn)者：winner_d1975我們看這樣一個(gè)比輸贏的問(wèn)題例 1 在 88 的棋盤格中的某個(gè)格子里已放入一枚棋子“王”（如 下圖），甲、乙兩人輪流移動(dòng)“王”子，每次只能橫向或豎向移動(dòng)一 格 凡“王”子已經(jīng)占據(jù)過(guò)的格都不得再進(jìn)入誰(shuí)先遇到無(wú)法移動(dòng)“王” 子時(shí)，誰(shuí)就算輸方試證明，先走者存在必勝的策略分析 “王”子已占一個(gè)格，還剩下 88163 個(gè)格，比如甲 先走一個(gè)格，還剩下 62 個(gè)格若能將 62 個(gè)格分成 31 對(duì)，每對(duì)都是 相鄰的兩小格，這時(shí)該乙走，乙領(lǐng)先進(jìn)入一格，甲就隨之進(jìn)入與其配 對(duì)的格，這樣就造成了甲必取勝的態(tài)勢(shì)因此，將 64 個(gè)格兩兩配對(duì) 成為 32 個(gè) 12 的小矩形是解決本題的關(guān)鍵證明：設(shè)甲為先走的一方，在甲的心目中如上圖將 64 個(gè)方格兩 兩配對(duì)分成 32 個(gè) 12 的 小 矩 形 ，“王”子必在某個(gè) 12 的小矩形的 一個(gè)格子中甲先走，將“王”子走入這個(gè) 12 的小矩形的另一個(gè) 格子中這時(shí)還有 31 個(gè) 12 的小矩形，每個(gè)小矩形中都有兩個(gè)小方格這時(shí)該乙走，乙總是領(lǐng)先進(jìn)入某個(gè) 12 小矩形的第一個(gè)格，甲就可以隨之進(jìn)入這個(gè)小矩形的第二個(gè)格由于不能重復(fù)進(jìn)入“王”已 經(jīng)進(jìn)過(guò)的格子，所以乙總處于領(lǐng)先進(jìn)入新的小矩形的第一格的地位， 甲就總可隨之進(jìn)入這個(gè)小矩形的第二個(gè)格最后必然乙先無(wú)法移動(dòng) “王”子，乙輸甲必取勝例 2 下圖是一盤未下完的中國(guó)象棋殘局，各子走法必須按中國(guó) 象棋的規(guī)則辦事，將對(duì)方憋死或無(wú)法走子時(shí)算取得勝利如果輪到乙 方走，問(wèn)乙怎樣走法才能取勝？分析 這是中國(guó)象棋殘局，當(dāng)然各子的走法必須按中國(guó)象棋的規(guī) 則辦事，將對(duì)方憋死（無(wú)法走子時(shí)）算取得勝利。在上圖中，雙方的將（帥）均無(wú)法移動(dòng)，雙方的士（仕）也無(wú)法 移動(dòng)，底炮也不能在橫線上移動(dòng)（否則對(duì)方可將炮沉底打悶將）底 線兵（卒）只能橫向移動(dòng)誰(shuí)先移動(dòng)底線兵（卒）打?qū)ⅲ瑫?huì)造成對(duì)方 將（帥）移出，從而出現(xiàn)移兵（卒）方自己必輸?shù)膽B(tài)勢(shì)因而只有底 炮、中炮和邊卒（兵）可以在縱線上移動(dòng)，兵（卒）只能前移 1 步 ， 中炮只能前移 4 步，底炮只能前移 8 步現(xiàn)在的問(wèn)題是：乙先走，輪 流走完這三對(duì)子的 13 步，問(wèn)乙怎樣走才能取勝？解：我們把乙的獲勝策略及甲的各種走法列表于下（其中“甲 1，乙 1”分別表示“甲第一步走棋”與“乙第二步走棋”，其 余 類 同 ；“中 炮 2，相炮 3，卒 1”分別表示“中路炮進(jìn) 2 步”，“相位炮進(jìn) 3 步” 和“卒進(jìn) 1 步”其余類同；“結(jié)果”欄表明乙 1，甲 1，乙 1 之后的態(tài) 勢(shì)，其中的“距”以步為單位）：其中，情形顯然為乙勝情形，中，如甲 2 進(jìn)炮幾步 ， 則乙 3 就將另一路炮進(jìn)同樣步數(shù)，這樣，終將乙勝情形， 與，是類似的以為例，甲的各種走法及乙的策略見(jiàn)下表：顯然，各種情形中也是乙勝 注意，若甲某次退炮幾步，則乙接著將同一路炮進(jìn)相同步數(shù)（這樣，這兩只炮之間的間隔沒(méi)有改變） 說(shuō)明：本題的深刻道理和規(guī)律在于自然數(shù)的二進(jìn)制表示，將 1 步 ，4 步，8 步分別用二進(jìn)制表示為 1，100，1000當(dāng)乙從 8 步中走了 3 步后，變?yōu)檫€有 5 步即 1，100，101我們把這三個(gè)數(shù)寫(xiě)成豎式11 0 01 0 1 容易看出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù)（這里均勿進(jìn)位）無(wú)論甲怎樣走，所走的那一行的步數(shù)（用二進(jìn)制表示）至少有 一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字發(fā)生了變化，從而破壞了上面的規(guī)律，即不是每一 個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù)了，比如說(shuō)，甲在中路炮進(jìn)一步，三路 的步數(shù)變?yōu)椋?1 11 0 1這時(shí)三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和 111，10，1 都不是偶數(shù) 乙再接著走，他的辦法是恢復(fù)上面的規(guī)律這是能辦到的首先 ，他看一下數(shù)字和不是偶數(shù)的最高數(shù)位，三路步數(shù)二進(jìn)制表示中至少有 一路在這數(shù)位上的數(shù)字是 1，然后，他就在這一路上走若干步，使得 上述數(shù)位上的數(shù)字和為 0，而較低數(shù)位上的數(shù)字為 1 或 0 以保證這些 數(shù)位上的數(shù)字之和為偶數(shù)，其它數(shù)位上的數(shù)字不變比如，對(duì)于上面 的情形，乙應(yīng)當(dāng)在“相”位炮所在的路線上走 3 步，將三路步數(shù)變?yōu)?：11 11 0這樣繼續(xù)下去，步數(shù)逐漸減少，必有結(jié)束的時(shí)候，由于甲走后， 不是每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù)，所以甲不可能走到最后一 步走最后一步的是乙，所以乙必然取勝例 3 如下圖是一個(gè) 99 棋盤，它有 81 個(gè)小正方形的格子，在 右上角頂?shù)母褡永飿?biāo)有“”的符號(hào)代表山頂A、B 兩人這樣來(lái)游 戲：由 A 把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盤的最下面一行 或最左邊一列的某個(gè)格子里（即放在右圖中陰影區(qū)域的一個(gè)格子里）， 然后由 B 開(kāi)始，兩人對(duì)奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜著 走，每次走的格數(shù)不限，但不得倒退，也不得停步不前；誰(shuí)把“皇后” 走進(jìn)標(biāo)有“”的那格就得勝顯然，雙方對(duì)弈下去決不會(huì)出現(xiàn)“和棋”，在有限個(gè)回合后，必 有一勝一負(fù)，試分析 B 必取勝的策略這個(gè)游戲我們不妨稱之為“皇后登山”問(wèn)題分析 我們采用倒推分析的方法如果 A 把皇后走進(jìn)下圖中帶陰 影的格子，則 B 就可一步把皇后走到山頂而獲勝因此任何一方都應(yīng) 該避免把皇后走進(jìn)右圖中的陰影地區(qū)，而都應(yīng)該迫使對(duì)方不得不把皇 后走至帶陰影的格子里去，這是取勝的總的指導(dǎo)思想那么 B 應(yīng)把皇后走到哪些格子中才能迫使對(duì)方不得不把皇后走進(jìn)上圖中帶陰影的格子里去呢？從上圖中可看出，這樣的格子只有兩 個(gè)：有標(biāo)號(hào)和的格子由此可知，如果誰(shuí)搶占了或，只要走 法不再失誤，就必會(huì)得勝因此，我們形象地稱、兩格為“制高 點(diǎn)”。那么為占或，如下圖，如果 A 把皇后走進(jìn)有的方格里，則 B 就能占領(lǐng)或，從而獲勝，而 B 又怎樣迫使 A 不得不把皇后走進(jìn) 有的或有陰影的方格呢？同樣的分析可知，只要 B 能占領(lǐng)第二對(duì)制 高點(diǎn)或即可。繼續(xù)運(yùn)用上述分析方法，還可以得到下一組制高點(diǎn)和 這時(shí)，不論 A 開(kāi)始把皇后放在最左一列與最下面一行的哪個(gè)格子中，B 第一步都可以搶到一個(gè)制高點(diǎn)，或者第一步就直接達(dá)到，只 要走法得當(dāng)，必能穩(wěn)操勝券的說(shuō)明：1如果我們給出的是 88 的國(guó)際象棋盤，玩“皇后登山”游戲，A 開(kāi)始把皇后放在最左列或最下行的哪個(gè)格時(shí)，A 必勝？這時(shí)我們看到，對(duì) 88 棋盤，制高點(diǎn)在最左列上，制高點(diǎn)在最下列 上，所以 A 開(kāi)始把皇后放于或，則 A 必勝，放在其它格時(shí)，B 可 搶到制高點(diǎn)，則 B 必勝2如果在普通的圍棋盤上，（共有 1818324 個(gè)格）玩“皇后 登山”游戲B 取勝的制高點(diǎn)都是哪些？請(qǐng)讀者自己找出來(lái)可以告 訴大家，一共有六對(duì)，計(jì) 12 個(gè)制高點(diǎn)例 4 在 88 的國(guó)際象棋盤中（如下頁(yè)圖）有三枚棋子，兩個(gè)人 輪流移動(dòng)棋子，每一次可將一枚棋子移動(dòng)任意多格（允許兩枚或三枚 棋子在同一格），但只能按箭頭所表示的方向移動(dòng)在所有棋子都移 到 A 點(diǎn)時(shí)，游戲結(jié)束，并且走最后一步的算贏，問(wèn)哪一個(gè)人能夠獲勝？解：由三枚棋子到 A 的格數(shù)分別要走 59 步，50 步和 30 步，這 樣就與例 2 在三條路線上走步本質(zhì)上一樣的，我們不妨把 59，50，30 這三個(gè)數(shù)寫(xiě)成 2 進(jìn)制59（111011）2，50（110010）2，30（11110）2排在一起：1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 01 1 1 1 0第一個(gè)人應(yīng)當(dāng)將第一行的 111011 改為 101100，也就是減少 11ll， 這樣就使各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)這時(shí)無(wú)論第二個(gè)人如何走都將 破壞這個(gè)特性，第一個(gè)人接著可以采取使各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù) 的方法，穩(wěn)步地走向勝利這就是說(shuō)，第一個(gè)人應(yīng)當(dāng)將最外面的棋子移動(dòng) 15 步（即（1111）212312212115），即可按例 2 的規(guī)則穩(wěn)步取勝。習(xí)題十二1如下頁(yè)圖是一個(gè) 3101 的棋盤，甲每次可走一個(gè)黑子，乙每 次可走一個(gè)白子每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移動(dòng)，走步 數(shù)不限，但不能越過(guò)對(duì)方棋子，誰(shuí)不能走子誰(shuí)算輸若甲先走，請(qǐng)指 出甲必取勝的著法2對(duì) 88 的棋盤，討論“皇后登山”問(wèn)題3在普通圍棋盤上（共 1818324 個(gè)格）討論“皇后登山” 游戲4圖 a 是一個(gè)彩色激光棋盤，上面有紅（打）黃（空 白 格）， 藍(lán)（斜線格）三種顏色的方格游戲人可以隨意地通過(guò)按電鈕將某一 行或某一列的小方格同時(shí)改變顏色，紅變黃，黃變藍(lán)，藍(lán)變紅，如果 按不多于