人教B版必修1 集合之間的關(guān)系 課件（38張）.pptx

1 2集合之間的關(guān)系與運算 1 2 1集合之間的關(guān)系 1 理解集合之間包含與相等的含義 能識別一些給定集合的子集 2 能使用維恩 venn 圖表達集合之間的關(guān)系 尤其要注意空集這一特殊集合的意義 3 理解集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系 并能寫出有限集的子集 真子集與非空真子集 1 2 3 1 集合之間的關(guān)系 1 2 3 1 2 3 1 2 3 名師點撥1 在子集的定義中 不能認為當(dāng)集合a中的元素比b中的元素個數(shù)少時 a就是b的子集 只有當(dāng)a中的任何一個元素都是b中的元素時 才能說a是b的子集 不能僅僅依據(jù)元素個數(shù)的多少判定兩集合的關(guān)系 2 當(dāng)a是b的子集 即a b時 不能認為a是由b中的部分元素構(gòu)成的集合 因為當(dāng)a 時 有a b 但集合a中不含任何元素 又當(dāng)a b時 也有a b 但此時集合a中含有b中的全部元素 3 當(dāng)集合a中存在不是集合b中的元素時 我們就說a不是b的子集 記作a b 或b a 讀作 a不包含于b 或 b不包含a 4 a b包括a b和a b兩種情況 其中a b 可形象地理解為b中元素至少比a中元素多一個 而a b 可從a的元素與b的元素完全相同去理解 1 2 3 做一做1 1 有下列關(guān)系 1 0 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 其中錯誤的個數(shù)是 a 1b 2c 3d 4解析 正確 錯誤 應(yīng)為 1 0 1 2 正確 也可以寫成 0 1 2 0 1 2 正確 故選a 答案 a 做一做1 2 已知集合a 1 2 3 b 3 x2 2 若a b 則x的值是 a 1b 1c 1d 0答案 c 1 2 3 做一做1 3 指出下列各對集合之間的關(guān)系 1 a 1 2 b 1 2 2 a 1 2 3 b 0 1 2 3 3 a x x2 1 b x x 1 4 a 四邊形 b 矩形 解 1 a b b a 2 a b 3 因為a 1 1 b 1 1 所以a b 4 四邊形不一定是矩形 但矩形一定是四邊形 因此b a 1 2 3 2 維恩 venn 圖我們常用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部來表示一個集合 用這種圖形可以形象地表示出集合之間的關(guān)系 這種圖形通常叫做維恩 venn 圖 如果集合a是集合b的真子集 那么就把表示a的區(qū)域畫在表示b的區(qū)域的內(nèi)部 如圖所示 名師點撥1 venn圖一定是封閉曲線 常畫成橢圓 圓或矩形 2 venn圖中要把集合的元素寫在封閉曲線的內(nèi)部 1 2 3 做一做2 如圖所示 對于集合a b c d的關(guān)系 描述正確的是 a b cb d ac a bd a c答案 d 1 2 3 3 集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系設(shè)a x p x b x q x 則有 1 2 3 做一做3 1 已知集合m x 0 x 2 n x 1 x 6 則m與n的關(guān)系是 解析 由于0 x 2 1 x 6 但 1 x 60 x 2 故m n 答案 m n 做一做3 2 若集合a x x 2n n z b x x 4n n n 則a與b的關(guān)系是 解析 集合a是由2的倍數(shù)構(gòu)成的集合 集合b是由4的倍數(shù)構(gòu)成的集合 4的倍數(shù)一定是2的倍數(shù) 但2的倍數(shù)不一定是4的倍數(shù) 故b a 答案 b a 一 與 的區(qū)別與聯(lián)系剖析 符號 表示元素與集合之間的從屬關(guān)系 也就是個體與總體的關(guān)系 是指單個對象與對象的全體的從屬關(guān)系 而符號 表示集合與集合之間的包含關(guān)系 從屬關(guān)系 一般只能用在元素與集合之間 包含關(guān)系 只能用在集合與集合之間 在使用以上符號的時候先要弄清楚是元素與集合的關(guān)系還是集合與集合之間的關(guān)系 例如 表示元素與集合之間的關(guān)系有 1 n 1 n 1 1 0 0 等 但不能寫成0 0 或0 0 表示集合與集合之間的關(guān)系有 n r 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 等 但需要注意的是 與 的寫法都是正確的 前者是從兩個集合間的關(guān)系來考慮的 后者則把 看成集合 中的元素來考慮 二 探索集合的子集個數(shù)問題剖析 由子集的定義可知 若集合a是集合b的子集 則有a b 它包含以下兩個方面 1 a b 2 a b 由以上知識 可以得到 若b a 則其子集可以是 a 即集合中若有1個元素 則其子集個數(shù)為2 若b a b 則其子集可以是 a b a b 即集合中若有2個元素 則其子集個數(shù)為4 若b a b c 則其子集可以是 a b c a b a c b c a b c 即集合中若有3個元素 則其子集的個數(shù)為8 若b a b c d 則其子集可以是 a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d a b c d 即集合中若有4個元素 則其子集的個數(shù)為16 綜上所述 集合中的元素個數(shù)每增加1 其子集的個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍 其對應(yīng)關(guān)系為 元素個數(shù)子集數(shù)目12 2122 21 2232 22 2342 23 24由此可以猜測 若集合中有n個元素 則其子集的個數(shù)應(yīng)為2n 其非空子集的個數(shù)為 2n 1 其真子集的個數(shù)應(yīng)為 2n 1 其非空真子集的個數(shù)為 2n 2 三 教材中的 思考與討論 已知集合a的特征性質(zhì)為p x 集合b的特征性質(zhì)為q x 如果p x 那么q x 是正確的命題 試問集合a和b的關(guān)系如何 并舉例說明 剖析 設(shè)a x p x b x q x 若 如果p x 那么q x 是正確的命題 則p x q x 即x a x b 根據(jù)子集的定義有a b 舉例說明如下 a x x是6的約數(shù) b x x是12的約數(shù) 即集合a的特征性質(zhì)p x 是 x是6的約數(shù) 集合b的特征性質(zhì)q x 是 x是12的約數(shù) 而6的約數(shù)是1 2 3 6 12的約數(shù)是1 2 3 4 6 12 由此可知 若 如果p x 那么q x 是真命題 則 如果x是6的約數(shù) 那么x是12的約數(shù) 即x a x b 故a b 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例1 判斷以下給出的各對集合之間的關(guān)系 1 a 1 3 5 6 7 b 5 7 2 a 2 3 b x x2 5x 6 0 3 a x x2 x 0 b x x2 x 1 0 4 a x 0 x 1 b x 0 x 3 5 a x x 2k k z b x x 2k 2 k z 分析 對于 1 2 可直接根據(jù)兩集合的元素進行判斷 對于 5 可分析集合中元素的特征性質(zhì)判斷兩集合的關(guān)系 對于 3 要注意空集的特殊性 對于 4 可借助數(shù)軸進行判斷 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 1 由于a 1 3 5 6 7 b 5 7 由真子集的定義知 集合b是集合a的真子集 即b a 2 由于b x x2 5x 6 0 2 3 而a 2 3 故集合a與集合b相等 即a b 3 由于a x x2 x 0 0 1 而集合b中的方程x2 x 1 0沒有實數(shù)解 即b 故b a 4 由數(shù)軸 如圖所示 可知a b 5 當(dāng)k z時 2k是偶數(shù) 且能取到所有的偶數(shù) 當(dāng)k z時 2k 2也是偶數(shù) 也能取到所有的偶數(shù) 因此集合a和集合b都表示所有偶數(shù)的集合 即a b 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思1 集合間的關(guān)系有包含 真包含 相等等 2 判斷兩個集合之間的關(guān)系的方法主要有 1 對于有限集合 特別是元素個數(shù)較少時 可將元素一一列舉出來進行判斷 2 對于無限集合 特別是用描述法表示的集合 應(yīng)從特征性質(zhì)入手進行分析判斷 看其元素之間具備什么關(guān)系 從而得到集合間的關(guān)系 3 當(dāng)集合是不等式的解集時 可借助數(shù)軸分析判斷集合間的關(guān)系 3 在判斷集合間的關(guān)系時 要注意空集表現(xiàn)形式的多樣性及其特殊性 即空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練1 判斷下列各對集合之間的關(guān)系 1 m x x 0 n x x0 x r 解 1 結(jié)合數(shù)軸分析 可得m n n m 2 等腰直角三角形一定是直角三角形 但直角三角形不一定是等腰直角三角形 故m n 3 集合m和n中的元素都是a2 1的形式 但在集合m中 a z 在集合n中 a r 因為z r 所以m n 4 顯然集合m是空集 而n是非空集合 故m n 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例2 已知m 2 a b n 2a 2 b2 且m n 求a b的值 分析 m n 列方程組 解方程組求a b的值 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練2 設(shè)集合a 3 x2 6 b x y 且a b 求x y的值 解 因為a b 所以x 3或y 3 當(dāng)x 3時 x2 6 3 集合a中元素3重復(fù)出現(xiàn) 不滿足集合元素的互異性 故舍去 當(dāng)y 3時 應(yīng)有x2 6 x 解得x 2 x 3舍去 此時a 3 2 b 2 3 滿足條件 綜上可知 x 2 y 3 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例3 已知集合a m m使方程mx2 2x 1 0有唯一實數(shù)解 試寫出集合a的所有子集 并指出哪些是a的真子集 分析 先求出當(dāng)方程mx2 2x 1 0有唯一實數(shù)解時m的值 從而確定集合a的元素 然后根據(jù)子集 真子集的定義寫出子集 并判斷哪些是真子集 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 解 當(dāng)m 0時 方程化為 2x 1 0 解得當(dāng)m 0時 要使方程有唯一實數(shù)解 應(yīng)滿足 4 4m 0 解得m 1 所以a 0 1 由0個元素構(gòu)成的子集為 由1個元素構(gòu)成的子集為 0 1 由2個元素構(gòu)成的子集為 0 1 故集合a的子集共有4個 0 1 1 2 其中 除集合 0 1 外 其余的子集全是a的真子集 反思在寫出一個有限集合的子集 真子集 時 首先要確定該集合的全部元素 然后按照子集中所含元素的個數(shù)分類 分別寫出符合要求的子集 真子集 在寫子集時 不能忘記空集和集合本身 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練3 滿足條件 a b m a b 1 2 3 的集合m的個數(shù)是 a 3b 4c 7d 8解析 由題意知 集合m中必須含有元素a b 且至少含有元素1 2 3中的一個 因此集合m的個數(shù)實質(zhì)就是集合 1 2 3 的真子集的個數(shù) 一共有23 1 7個 答案 c 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 例4 設(shè)集合a 1 1 集合b x x2 2ax b 0 若b b a 求a b的值 分析 由b b a 可見b是a的非空子集 而a的非空子集有3個 1 1 1 1 故b要分三種情形討論 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 反思利用分類討論的思想 考慮集合b的所有可能的情況 這是處理集合與其子集之間關(guān)系的常用方法 另外 此題也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解 此題容易出現(xiàn)的錯誤是沒有注意題中的已知條件而考慮b 的情形 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練4 已知集合a x 2m 且a b 求實數(shù)m的取值范圍 解 1 結(jié)合數(shù)軸可知 要使a b 應(yīng)有m 5 2 結(jié)合數(shù)軸分析 要使a b 應(yīng)有m 2 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 易錯點 忽視空集致誤 例5 集合a x 2 x 5 b x m 1 x 2m 1 若b a 求實數(shù)m滿足的條件 錯解 由題意并結(jié)合數(shù)軸 如圖所示 故實數(shù)m滿足的條件是2 m 3 錯因分析 忽略了b 時的情形 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 正解 1 當(dāng)b 時 a 符合題意 此時m 1 2m 1 解得m 2 2 當(dāng)b 時 由題意并結(jié)合數(shù)軸 如圖所示 綜合 1 2 可知 實數(shù)m滿足的條件是m 3 反思空集是一種特殊的集合 也是集合運算中最活躍的一個集合 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 當(dāng)b a時 b可能為 不要忽視這一種可能 在條件不明確時 要注意分類討論 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 變式訓(xùn)練5 已知集合p x x2 x 6 0 q x mx 1 0 若q p 則實數(shù)m的值為 12345 1若集合a x n 2015 x 2016 b x z 0 x 2015 則集合a b之間的關(guān)系為 a a bb a bc b ad a b解析 由已知得a 1 2 3 2015 b 0 1 2 3 2015 故a b 答案 b 12345 2已知集合a a c a b c 若a b 且b c 則集合b的個數(shù)是 a 1b 2c 3d 4解析 因為a b c 所以b可能為 a a b a c a b c 所以滿足條件的集合b的個數(shù)是4 答案 d 12345 3若集合a 2 9 集合b m2 m 9 且a b 則實數(shù)m等于 解析 因為a b 所以m2 m 2 解得m 1或2 答案 1或2 4有下面5個命題 空集沒有子集 任意集合至少有兩個子集 空集是任何集合的真子集 若 a 則a 集合a b 就是集合a中的元素都是集合b中的元素 集合b中的元素也都是集合a中的元素