一般的一元二次方程的解法知識講解.doc

一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，會用配方法和公式法解一元二次方程；2掌握運(yùn)用配方法和公式法解一元二次方程的基本步驟；3通過用配方法將一元二次方程變形的過程，通過求根公式的推導(dǎo)，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：把原方程化為的形式；將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式要點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值4用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用要點(diǎn)詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好 要點(diǎn)三、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，當(dāng)時，.2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式： 當(dāng)時，原方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時，原方程沒有實(shí)數(shù)根.3.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟： 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值（要注意符號）； 求出的值； 若，則利用公式求出原方程的解； 若，則原方程無實(shí)根.要點(diǎn)詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為： 當(dāng)時，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實(shí)根： 當(dāng)時，右端是零因此，方程有兩個相等的實(shí)根： 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根.【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程：(1)； (2)【答案與解析】(1)移項(xiàng)，得配方，得即直接開平方，得， ，(2)移項(xiàng)，得，方程兩邊同除以2，得，配方，得，即，直接開平方，得 ，【總結(jié)升華】方程(1)的二次項(xiàng)系數(shù)是1，方程(2)的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，必須先化成1，才能配方，這是關(guān)鍵的一步配方時，方程左右兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，目的是把方程化為的形式，然后用直接開平方法求解同時要注意一次項(xiàng)的符號決定了左邊的完全平方式中是兩數(shù)和的平方還是兩數(shù)差的平方舉一反三：【變式】 用配方法解方程 （1） （2）【答案】（1） .（2）當(dāng)時，此方程有實(shí)數(shù)解，；當(dāng)時，此方程無實(shí)數(shù)解.類型二、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用2. 用配方法證明的值小于0【答案與解析】 ， ，即故的值恒小于0【總結(jié)升華】證明一個代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學(xué)的配方法大同小異，即思路一致舉一反三：【變式】試用配方法證明：代數(shù)式的值不小于【答案】 ， 即代數(shù)式的值不小于3. 若實(shí)數(shù)滿足，則的值是（） 【答案】C；【解析】對已知等式配方，得，故選【總結(jié)升華】本例是配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值舉一反三：【變式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 . 【答案】（1）； 所以的最小值是（2） 所以的最大值是9.4. 分解因式：【答案與解析】【總結(jié)升華】這是配方法在因式分解中的應(yīng)用，通過添項(xiàng)、配成完全平方式，進(jìn)而運(yùn)用平方差公式分解因式類型三、公式法解一元二次方程5解關(guān)于x的方程【答案與解析】(1)當(dāng)m+n0且m0，n0時，原方程可化為 m0，解得x1(2)當(dāng)m+n0時， ， ， ， ，【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時，應(yīng)該對各種可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行討論舉一反三：【變式】解關(guān)于的方程；【答案】原方程可化為 6 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)4m； 【答案與解析】方程整理為， ， a1，b-2，c-13， ， ， ，【總結(jié)升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的