第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(全).ppt

第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 4 1微分中值定理 4 2洛必達(dá)法則 4 3函數(shù)的單調(diào)性 4 4函數(shù)的極值與最值問(wèn)題 4 5曲線的凸凹性與拐點(diǎn) 4 6曲線的漸近線和函數(shù)作圖 4 1微分中值定理 二 拉格朗日中值定理 一 羅爾定理 三 柯西中值定理 本節(jié)我們將介紹導(dǎo)數(shù)的一些更深刻的性質(zhì) 函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 由于這些性質(zhì)都與自變量區(qū)間內(nèi)部的某個(gè)中間值有關(guān) 因此被統(tǒng)稱為中值定理 我們知道導(dǎo)數(shù)和微分是討論小增量 y f x x f x 的有效工具 自然進(jìn)而要問(wèn) 這一工具是否也有助于對(duì)宏觀增量f b f a 的研究 微分中值定理對(duì)此做出肯定的回答 引理 費(fèi)馬定理 證 2 最大值點(diǎn)必在 a b 內(nèi) 設(shè)為 證 1 結(jié)論成立 注意 定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足 定理的結(jié)論就可能不成立 1 由圖可知 函數(shù)不滿足連續(xù)的條件 2 由圖可知 函數(shù)在x 0不滿足可導(dǎo)的條件 3 定義在 0 1 函數(shù)y x 不滿足端點(diǎn)函數(shù)值相等的條件 例1 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù) 在區(qū)間 上的正確性 解 且 解 例3 證 例4 證 例5已知函數(shù)f x 在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且f 1 0 試證 在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 證 構(gòu)造函數(shù) 令F x xf x 則F x 在 0 1 上滿足羅爾中值定理的條件 于是在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 幾何意義 使得 使曲線在C處的切線平行于弦AB 證明思路 把曲線的兩個(gè)端點(diǎn)A B拉平 證 由羅爾定理知 在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 羅爾定理 稱為拉格朗日中值公式 注 1 對(duì)于b a也成立 2 有限增量定理 也叫微分中值定理 推論 推論 證 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn) 3 證 例1 在 1 x 上應(yīng)用拉格朗日中值定理 證 例2 在 0 x 上應(yīng)用拉格朗日中值定理 例3證明恒等式 證 所以 例4已知函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 在開(kāi)區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且f a f b 0 試證 在開(kāi)區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 證 則F x 在 a b 上滿足羅爾中值定理的條件 于是在開(kāi)區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 注 幾何意義 曲線的參數(shù)方程 C點(diǎn)處切線斜率為 它等于弦AB的斜率 直接驗(yàn)證知 由羅爾定理知 在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 證 證 設(shè) 故 例5設(shè) 在 上連續(xù) 在 內(nèi)可導(dǎo) 證明 使得 證 例6設(shè) 在 上連續(xù) 在 內(nèi)可導(dǎo) 證明 使得 故 例7 證 則F x 在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 例8 證 于是存在 故存在 一 未定式 二 x a時(shí)型未定式 三 未定式 四 其它未定式 4 2洛必達(dá)法則 洛必達(dá)法則 例如 一 定理 那么 不妨假定 由柯西中值定理 有 證 設(shè) 解 例1 例2 解 并且可以依次類推進(jìn)行計(jì)算 1 注1 特別提醒 每次用洛必達(dá)法則前必須進(jìn)行檢驗(yàn) 例3 解 例4 解 如果 二 三 例5 解 例6 解 例7 解 對(duì)于其它未定式 如 四 例8 解 解 例9 例10 解 解 例11 例12 解 特別提醒 洛必達(dá)法則與其它方法結(jié)合使用 會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)化 方便 例13 解 例14 解 但 極限存在 若用洛必達(dá)法則 則 例15 解 注2 不存在 例16 解 若用洛必達(dá)法則 則 事實(shí)上 解 例17 若用洛必達(dá)法則求 則有 極限不存在 但 本題還可如下做 例18 解 一 函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 4 3函數(shù)的單調(diào)性 證 在 a b 上任取兩點(diǎn) 由拉格朗日中值定理 有 同理 則 例1 解 1判定函數(shù)單調(diào)性 即確定其單調(diào)區(qū)間 一般的解題的格式為 1 確定函數(shù)定義域 2 求 3 令解得它的根 4 確定f x 的間斷點(diǎn) 不存在的點(diǎn) 5 用把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)部分區(qū)間 6 在上面每個(gè)小區(qū)間上討論函數(shù)的單調(diào)性 解 函數(shù)的定義域?yàn)?令解得x1 x2 x3 當(dāng)x 時(shí) 不存在 列表得結(jié)論 二 利用函數(shù)單調(diào)性所解決的幾個(gè)問(wèn)題 一般步驟為 例2 解 例3 解 例4 解 又例 解 例5 解 注 2利用單調(diào)性證明不等式 一般要證明 或 例6 證 例7 證 證 例8 3利用函數(shù)單調(diào)性討論某些方程的根 得證 證 例9 由零點(diǎn)定理 知 一般方法為 4 4函數(shù)的極值與最值問(wèn)題 一 定義二 必要條件三 第一充分條件四 第二充分條件 設(shè)f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有定義 是 a b 內(nèi)的一點(diǎn) 都有 極小值 一 函數(shù)極值的定義 注 極值具有局部性 極值一定在給定的區(qū)間內(nèi)部取得 極大值不一定比極小值大 證 極小值的情況可類似證明 定理1 必要條件 二 函數(shù)極值的判定 駐點(diǎn) 注 1 2 負(fù) 正 極小值 定理2 充分條件一 證 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判定法 其它情況可類似證明 5 算出各個(gè)極值點(diǎn)處的函數(shù)值 即為極值 求函數(shù)的極值的步驟 例1 解 2 1 極大 極小 定理3 充分條件二 證 那么 1 因此 由定理2知 2 可類似證明 在例1中 也可如下做 注 例2 解 例3 解 f x 單調(diào)減少 三 最大值與最小值 1 最大 小 值點(diǎn) 端點(diǎn) 內(nèi)部 駐點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 求出端點(diǎn) 駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值 其中最大 小 的就是函數(shù)的最大 小 值 例4 解 例5 解 2 實(shí)際問(wèn)題中的最大值最小值問(wèn)題 由實(shí)際情況最小周長(zhǎng)一定存在 解 1 凹凸性的定義 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn) 4 5曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 2 定理 例1 解 例2 解 曲線凹向與凸向的分界點(diǎn) 稱為拐點(diǎn) 例3 解 例4 解 定義域?yàn)?例5 解 令 得x 0 都有 二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn) 不一定是拐點(diǎn) 注1 例6 解 都不存在 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 也可能是拐點(diǎn) 且曲線在x 0連續(xù) 故點(diǎn) 0 0 是曲線的拐點(diǎn) 注2 4 6曲線的漸近線和函數(shù)作圖 一 曲線的漸近線 1 水平漸近線 2 垂直漸近線 3 斜漸近線 例1 解 一般步驟 利用導(dǎo)數(shù)工具描繪函數(shù)的圖形