奧數講座(5年級-上)(14講).doc

五年級奧數講座（一）目錄第一講 數的整除問題第二講 質數、合數和分解質因數第三講 最大公約數和最小公倍數第四講 帶余數的除法第五講 奇數與偶數及奇偶性的應用第六講 能被30以下質數整除的數的特征第七講 行程問題第八講 流水行船問題第九講 “牛吃草”問題第十講 列方程解應用題第十一講 簡單的抽屜原理第十二講 抽屜原理的一般表述第十三講 染色中的抽屜原理第十四講 面積計算第一講 數的整除問題數的整除問題，內容豐富，思維技巧性強。它是小學數學中的重要課題，也是小學數學競賽命題的內容之一。一、基本概念和知識1.整除約數和倍數例如：153=5，637=9一般地，如a、b、c為整數，b0，且ab=c，即整數a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數而沒有余數（或者說余數是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作ba.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。如果整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。例如：在上面算式中，15是3的倍數，3是15的約數；63是7的倍數，7是63的約數。2.數的整除性質性質1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。性質2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那么b與c的積能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性質4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。3.數的整除特征能被2整除的數的特征：個位數字是0、2、4、6、8的整數.“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數（包括0）的整數，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數，其個位數字只能是偶數（包括0）.下面“特征”含義相似。能被5整除的數的特征：個位是0或5。能被3（或9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的數的特征：末兩位數能被4（或25）整除。例如：1864=180064，因為100是4與25的倍數，所以1800是4與25的倍數.又因為464，所以1864能被4整除.但因為2564，所以1864不能被25整除.能被8（或125）整除的數的特征：末三位數能被8（或125）整除。例如：2937529000375，因為1000是8與125的倍數，所以29000是8與125的倍數.又因為125375，所以29375能被125整除.但因為8375，所以829375。能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減?。┦?1的倍數。例如：判斷123456789這九位數能否被11整除？解：這個數奇數位上的數字之和是97531=25，偶數位上的數字之和是864220.因為25205，又因為115，所以11123456789。再例如：判斷13574是否是11的倍數？解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（451）-（73）0.因為0是任何整數的倍數，所以110.因此13574是11的倍數。能被7（11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數？解：把1059282分為1059和282兩個數.因為1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍數。再例如：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個數.因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數，因為8212819，又13819，所以132821，進而133546725.習題一樣的五位數。4.將自然數1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重復寫下去組成一個1993位數，試問：這個數能否被3整除？5.一本陳年老賬上記著：72只桶，共67.9元.這里處字跡已不清.請把處數字補上，并求桶的單價。6.證明：任意一個三位數連著寫兩次得到一個六位數，這個六位數一定能同時被7、11、13整除.習題一解答1.39312。2.8。3.32250、32550、32850。4.解：1239=45，345，又1993除以9余4，這個1993位數的最末4位數字是1234。1+2+3+4=10，310，這個1993位數不能被3整除。5.為3、2共367.92元，每只桶5.11元。所以，這個六位數一定能同時被7、11、13整除.第二講 質數、合數和分解質因數一、基本概念和知識1.質數與合數一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。要特別記住：1不是質數，也不是合數。2.質因數與分解質因數如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例：把30分解質因數。解：30235。其中2、3、5叫做30的質因數。又如12223223，2、3都叫做12的質因數。二、例題例1 三個連續(xù)自然數的乘積是210，求這三個數.解：210=2357可知這三個數是5、6和7。例2 兩個質數的和是40，求這兩個質數的乘積的最大值是多少？解：把40表示為兩個質數的和，共有三種形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：這兩個質數的最大乘積是391。例3 自然數123456789是質數，還是合數？為什么？解：123456789是合數。因為它除了有約數1和它本身外，至少還有約數3，所以它是一個合數。例4 連續(xù)九個自然數中至多有幾個質數？為什么？解：如果這連續(xù)的九個自然數在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質數（如：19中有4個質數2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然中最小的不小于3，那么其中的偶數顯然為合數，而其中奇數的個數最多有5個.這5個奇數中必只有一個個位數是5，因而5是這個奇數的一個因數，即這個奇數是合數.這樣，至多另4個奇數都是質數。綜上所述，連續(xù)九個自然數中至多有4個質數。例5 把5、6、7、14、15這五個數分成兩組，使每組數的乘積相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，這些數中質因數2、3、5、7各共有2個，所以如把14（=27）放在第一組，那么7和6（=23）只能放在第二組，繼而15（35）只能放在第一組，則5必須放在第二組。這樣1415=210=567。這五個數可以分為14和15，5、6和7兩組。例6 有三個自然數，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數，且三數的乘積是42560.求這三個自然數。分析 先大概估計一下，303030=27000，遠小于42560.40404064000，遠大于42560.因此，要求的三個自然數在3040之間。解：42560=26571925（57）（192）323538（合題意）要求的三個自然數分別是32、35和38。例7 有3個自然數a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25這樣的數，推及一般情況，我們把一個自然數平方所得到的數叫做完全平方數或叫做平方數。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方數.下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數有什么特征。例如：把下列各完全平方數分解質因數：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可見，一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數均是偶數。反之，如果把一個自然數分解質因數之后，各個質因數的指數都是偶數，那么這個自然數一定是完全平方數。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。分析 a與1080的乘積是一個完全平方數，乘積分解質因數后，各質因數的指數一定全是偶數。解：1080a=23335a，又1080=23335的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，a必含質因數2、3、5，因此a最小為235。1080a108023510803032400。答：a的最小值為30，這個完全平方數是32400。例9 問360共有多少個約數？分析 360=23325。為了求360有多少個約數，我們先來看325有多少個約數，然后再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23，即得到23325（=360）的所有約數.為了求325有多少個約數，可以先求出5有多少個約數，然后再把這些約數分別乘以1、3、32，即得到325的所有約數。解：記5的約數個數為Y1，325的約數個數為Y2，360（=23325）的約數個數為Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，顯然Y1=2（5只有1和5兩個約數）。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24個約數。說明：Y3=4Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的最大指數加1，也就是36023325中質因數2的個數加1；Y2=3Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23325中質因數3的個數加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23325中質因數5的個數加1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。對于任何一個合數，用類似于對23325（=360）的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論：一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加1的連乘的積。例10 求240的約數的個數。解：240243151，240的約數的個數是（41）（1+1）（11）=20，240有20個約數。請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？習題二1.邊長為自然數，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種？2.11112222個棋子排成一個長方陣.每一橫行的棋子數比每一豎列的棋子數多1個.這個長方陣每一橫行有多少個棋子？3.五個相鄰自然數的乘積是55440，求這五個自然數。4.自然數a乘以338，恰好是自然數b的平方.求a的最小值以及b。5.求10500的約數共有多少個？習題二解答1.105=357，105=1105=335=521=715，共有4種。2.分析每一橫行棋子數比每一豎列棋子數多1個。橫行數與豎列數應是兩個相鄰的自然數.解：11112222=33333334答案為3334。3.7、8、9、10、11。4.分析自然數a乘以338，恰好是自然數b的平方，a與338的積分解質因數以后，每個質因數的個數之和都是偶數。解：338=21313，a2，b21326。5.解：10500=223537，又（21）（1+1）（3+1）（1+1）=48。10500的約數共有48個.第三講 最大公約數和最小公倍數一、基本概念和知識1.公約數和最大公約數幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12的約數有：1，2，3，4，6，12；18的約數有：1，2，3，6，9，18。12和18的公約數有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數，記作（12，18）=6。2.公倍數和最小公倍數幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。例如：12的倍數有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍數有：18，36，54，72，90，12和18的公倍數有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍數，記作12，18=36。3.互質數如果兩個數的最大公約數是1，那么這兩個數叫做互質數。習題三1.甲數是乙數的三分之一，甲數和乙數的最小公倍數是54，甲數是多少？乙數是多少？2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3.已知兩個自然數的積是5766，它們的最大公約數是31.求這兩個自然數。4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？5.將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？6.一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數，去掉箱子后地雷凈重201千克，拿出若干個地雷后，凈重183千克.求一個地雷的重量？習題三解答1.甲數是18，乙數是54。2.每兩棵之間的距離是60米，最少要種樹苗6棵。3.解：設這兩個自然數為A和B。A，B=576631=186。186=2331，這兩個自然數為31和186或62和93。4.10月25日。5.每個立方體的體積是125立方分米.一共可鋸60塊。6.3千克.第四講 帶余數的除法前面我們講到除法中被除數和除數的整除問題.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此時，被除數除以除數出現了余數，我們稱之為帶余數的除法。一般地，如果a是整數，b是整數（b0），那么一定有另外兩個整數q和r，0rb，使得a=bq+r。當r=0時，我們稱a能被b整除。當r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為ab=qr，0rb。例1 一個兩位數去除251，得到的余數是41.求這個兩位數。分析 這是一道帶余除法題，且要求的數是大于41的兩位數.解題可從帶余除式入手分析。解：被除數除數=商余數，即被除數=除數商+余數，251=除數商+41，251-41=除數商，210=除數商。210=2357，210的兩位數的約數有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余數41.所以除數是42或70.即要求的兩位數是42或70。例2 用一個自然數去除另一個整數，商40，余數是16.被除數、除數、商數與余數的和是933，求被除數和除數各是多少？解：被除數=除數商+余數，即被除數=除數40+16。由題意可知：被除數+除數=933-40-16=877，（除數40+16）+除數=877，除數41=877-16，除數=86141，除數=21，被除數=2140+16=856。答：被除數是856，除數是21。例3 某年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根據題意可知：有5天的星期數必然是星期四、星期五和星期六。這年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回數（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期幾？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），從星期日往回數5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數。這是一道古算題.它早在孫子算經中記有：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”關于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余數乘以70，用除以5的余數乘以21，用除以7的余數乘以15，再把三個乘積相加.如果這三個數的和大于105，那么就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合條件的最小自然數是23。例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數是23。方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。例6 一個數除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28適合前兩個條件。想：28+5，6？之后能滿足“7除余1”的條件？28+5，64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，適合條件的最小的自然數是148。例7 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數。解：想：2+3？之后能滿足“5除余3”的條件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能滿足“7除余4”的條件？8+3，53=53。符合條件的最小的自然數是53。歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當找到滿足某個條件的數后，為了再滿足另一個條件，需做數的調整，調整時注意要加上已滿足條件中除數的倍數。解這類題目還有其他方法，將會在有關“同余”部分講到。例8 一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個或7個，最后都剩2個.布袋中至少有小球多少個？解：2+5，71=37（個）37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37個。例9 69、90和125被某個正整數N除時，余數相同，試求N的最大值。分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余數相同（余數都是1）。但是19-15能被2整除.由此我們可以得到這樣的結論：如果兩個整數a和b，均被自然數m除，余數相同，那么這兩個整數之差（大-?。┮欢鼙籱整除。反之，如果兩個整數之差恰被m整除，那么這兩個整數被m除的余數一定相同。例9可做如下解答：三個整數被N除余數相同，N（90-69），即N21，N（125-90），即N35，N是21和35的公約數。要求N的最大值，N是21和35的最大公約數。21和35的最大公約數是7，N最大是7。習題四1.用一個自然數去除另一個自然數，不完全商是8，余數是16.被除數、除數、商、余數這四個數的和為463，求除數。2.某數除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個數最小是多少？3.某數除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以內這樣的數有哪幾個？4.用卡車運貨，每次運9袋余1袋，每次運8袋余3袋，每次運7袋余2袋.這批貨至少有多少袋？5.57、96、148被某自然數除，余數相同，且不為零.求284被這個自然數除的余數.習題四解答1.除數為47。2.58。3.共13個.有：67，139，211，283，355，427，499，571，643，715，787，859，931。4.163。5.11.第五講 奇數與偶數及奇偶性的應用一、基本概念和知識1.奇數和偶數整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。偶數通?？梢杂?k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。2.奇數與偶數的運算性質性質1：偶數偶數=偶數，奇數奇數=偶數。性質2：偶數奇數=奇數。性質3：偶數個奇數相加得偶數。性質4：奇數個奇數相加得奇數。性質5：偶數奇數=偶數，奇數奇數=奇數。習題五1.有100個自然數，它們的和是偶數.在這100個自然數中，奇數的個數比偶數的個數多.問：這些數中至多有多少個偶數？2.有一串數，最前面的四個數依次是1、9、8、7.從第五個數起，每一個數都是它前面相鄰四個數之和的個位數字.問：在這一串數中，會依次出現1、9、8、8這四個數嗎？3.求證：四個連續(xù)奇數的和一定是8的倍數。4.把任意6個整數分別填入右圖中的6個小方格內，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數之和為偶數。5.如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內，全世界通話次數是奇數的那些人的總數為_。（A）必為奇數，（B）必為偶數，（C）可能是奇數，也可能是偶數。6.一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數是奇數的那些人的總人數是奇數還是偶數。7.有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7.你能否從中選出五張，使它們上面的數字和為20？為什么？8.有10只杯子全部口朝下放在盤子里.你能否每次翻動4只杯子，經過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？9.電影廳每排有19個座位，共23排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置.問：這種交換方法是否可行？10.由14個大小相同的方格組成下列圖形（右圖），請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個由兩個相鄰方格組成的長方形.習題五解答1.偶數至多有48個。2.提示：先按規(guī)律寫出一些數來，再找其奇、偶性的排列規(guī)律，便可得到答案：不會依次出現1、9、8、8這四個數。3.設四個連續(xù)奇數是2n1，2n3，2n5，2n7，n為整數，則它們的和是（2n+1）（2n3）（2n5）+（2n7）2n4168n+16=8（n+2）。所以，四個連續(xù)奇數的和是8的倍數。4.證明：設填入數分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假設要證明的結論不成立，則有：偶數奇數，假設不成立，命題得證。5.應選擇（B）.參考例3。6.是偶數.參考例3。7.不能.因為5個奇數的和為奇數，不可能等于20。8.能.例如第一次 78910第二次 3456第三次 2345第四次 13 459.這種交換方法是不可行的.參考例12。10.利用黑白相間染色方法可以證明：不可能剪成由7個相鄰兩個方格組成的長方形，因為圖形中一種顏色有8格，另一種顏色有6格，而每個相鄰兩個方格組成的長方形是一黑格一白格，7個這樣的長方形共7黑格7白格.與圖形相矛盾.第六講 能被30以下質數整除的數的特征大家知道，一個整數能被2整除，那么它的個位數能被2整除；反過來也對，也就是一個數的個位數能被2整除，那么這個數本身能被2整除.因此，我們說“一個數的個位數能被2整除”是“這個數能被2整除”的特征.在這一講中，我們通過尋求對于某些質數成立的等式來導出能被這些質數整除的數的特征。為了敘述方便起見，我們把所討論的數N記為：有時也表示為我們已學過同余，用mod2表示除以2取余數.有公式：Na0（mod2）Na1a0（mod4）Na2a1a0（mod8）Na3a2a1a0（mod16）這幾個公式表明一個數被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除時，如何求余數。此外，被3（9）整除的數的特征為：它的各位數字之和可以被3（9）整除.我們借用同余記號及一些運算性質來重新推證一下.如（mod9），如果，N=a3a2a1a0=a31000+a2100+a110+a0a3（9991）a2（99+1）a1（9+1）+a0（a3+a2+a1+a0）+（a3999+a299+a19），那么，等式右邊第二個括號中的數是9的倍數，從而有Na3a2+a1+a0（mod9）對于mod3，理由相仿，從而有公式：N（a3a2a1a0）（mod9），N（+a3a2a1a0）（mod3）。對于被11整除的數，它的特征為：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減小）能被11整除。先看一例.N=31428576，改寫N為如下形式：N=67（11-1）5（991）8（1001-1）2（99991）4（100001-1）+1（999999+1）+3（10000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+711+59981001+29999+4100001+1999999310000001。由于下面這兩行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍數，所以N=6-75-82-41-3（mod11）。小學生在運算時，碰上“小減大”無法減時，可以從上面N的表達式最后一行中“借用”11的適當倍數（這樣，最后一行仍都是11的倍數），把它加到“小減大”的算式中，這樣就得到：N116-75-82-41-33（mod11）?，F在總結成一般性公式（推理理由與例題相仿）.則N（a0-a1+a2-a3a4-a5a6-a7+）（mod11）或者：N（a0+a2+a4+）-（a1+a3+a5+）（mod11）（當不夠減時，可添加11的適當倍數）。因此，一個自然數能被11整除的特征是：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數的情況。下面研究被7、11、13整除的數的特征。有一關鍵性式子：71113=1001。所以N能被7、11、13整除，相當于能被7、11、13整除.總結為公式：（mod11）；（mod13）當倍數）。表述為：判定某數能否被7或11或13整除，只要把這個數的末三位與前面隔開，分成兩個獨立的數，取它們的差（大減?。?，看它是否被7或11或13整除。此法則可以連續(xù)使用。例：N=31428576.判定N是否被11整除。因為822不能被11整除，所以N不能被11整除。例：N215332.判定N是否被7、11、13整除。由于117139，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。此方法的優(yōu)點在于當判定一個較大的數能否被7或11或13整除時，可用減法把這個大數化為一個至多是三位的數，然后再進行判定。如N987654321.判定N能否被13整除？而654=5013+4，所以原數不能被13整除.如直接計算，很費力：987654321=75973409134。下面研究可否被17、19整除的簡易判別法.回顧對比前面，由等式100171113的啟發(fā)，才有簡捷的“隔位相減判整除性”的方法.對于質數17，我們有下面一些等式：176102，1759=1003，17588=9996，175882=99994，我們不妨從1759=1003出發(fā)。因此，判定一個數可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數與前面隔出數的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除。例：N=31428576，判定N能否被17整除。而429=2517+4，所以N不能被17整除。例：N2661027能否被17整除？又935=5517。所以N可被17整除。下面來推導被19整除的簡易判別法。尋找關鍵性式子：1952=988，1953=1007.因此，判定一個數可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數的7倍的差（大減小）是否被19整除。例：N123456789可否被19整除？又6033119+14，所以N不能被19整除。例：N=6111426可否被19整除？又57=319，所以N可被19整除：32165419=6111426。下面來推導被23、29整除的簡易判別法。尋找關鍵性式子，隨著質數增大，簡易法應該在N的位數多時起主要作用，現有2343510005，29345=10005，由此啟發(fā)得到一個末四位隔開的方法：因此，判定一個數可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出數的5倍的差（大減?。┦欠癖?3或29整除。例：N6938801能否被23或29整除？又53362323223298，所以很快判出N可被23及29整除。最后，如讀者還想尋找以上數的更簡明判別法，或被31以上質數整除的判別法，都是可以去探索的.把這一節(jié)得到的公式簡列于下：（可在上述這些同余式的右端加上相應質數的適當倍數）.后兩式沒有證明，讀者不難從999=3727，9923132啟發(fā)出“隔位加”的判別法。習題六1.公式1003=1759曾用于推導判定被17整除的公式，請說明公式也是判定被59整除的簡便公式。2.說明公式也是判定被53整除的簡便公式。3.61是質數，并且10004=61164，你能利用這一等式導出判定被61整除的簡便公式嗎？4.67是質數，1005=6715，請證明：（可在右端加上67的適當倍數）。5.9947114，71是質數，請導出判定被71整除的公式。6.N=31428576可否被37整除？習題六解答 （10071953）6.N31428576314285763200443236（mod37）.所以不可以。7.x=1。9N.所以，可以整除6，不能整除9。第七講 行程問題這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強的題目.為此，我們需要先回顧一下已學過的基本數量關系：路程=速度時間；總路程=速度和時間；路程差=速度差追及時間。習題七1.晶晶每天早上步行上學，如果每分鐘走60米，則要遲到5分鐘，如果每分鐘走75米，則可提前2分鐘到校.求晶晶到校的路程？2.甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.5米，丙每分鐘走75米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙與乙相遇后，又經過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？3.A、B兩輛汽車同時從甲、乙兩站相對開出，兩車第一次在距甲站32公里處相遇，相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里處相遇，甲、乙兩站間相距多少公里？4.周長為400米的圓形跑道上，有相距100米的A、B兩點，甲、乙兩人分別從A、B兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉身與甲同向而跑，當甲跑到A時，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么追上乙時，甲共跑了多少米（從出發(fā)時算起）？5.老王從甲城騎自行車到乙城去辦事，每小時騎15千米，回來時改騎摩托車，每小時騎33千米，騎摩托車比騎自行車少用1.8小時，求甲、乙兩城間的距離。6.速度為快、中、慢的三輛汽車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面一個騎車人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，現在知道快車每小時24公里，中速車每小時20公里，那么慢車每小時行多少公里？7.在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次,問兩人各跑一圈需要幾分鐘？習題七解答1.解法1：（605+752）（7560）=30（分鐘），60（30+5）=2100（米），或75（302）=2100（米）。解法2：設路程為x米。x2100（米）。2.解法l：乙丙相遇時間：（6075）2（67.560）=36（分鐘）。東西兩鎮(zhèn)之間相距多少米？（67.575）36=5130（米）解法2：設東西兩鎮(zhèn)之間相距x米，x=5130（米）。3.A、B共行3個全程，則有：解法1：設全程為x公里，（x-32+x-64）232，x=64322，x80（公里）。解法2：設全程為x公里x-32=（64+32）2，x=80（公里）.解法3：643232（公里），32+32322=32+32+1680（公里）。4.乙從相遇點C跑回B點時，甲從C過B到A，他比乙多跑了100米.乙從B到C時，甲從A到C，說明A到C比B到C多100米.跑道周長400米，所以B到C是100米，A到C是200米。乙每跑100米，甲就多跑100米.要使甲、乙從C點開始，再次相遇，甲要比乙多跑一圈，也就是說，乙跑400米時，甲跑800米與乙第二次相遇，再加上甲從A到C的200米，甲共跑了1000米。 6.快車每分鐘行多少米：2400060=400（米）.中速車每分鐘行相差米數：（24002000）（106）=100（米）。三輛汽車與騎車人的路程差：慢車每小時行多少千米：7.設用字母a表示甲速，用字母b表示乙速（ab）。（a+b）4=（ab）12ab=21（甲、乙速度比是21）第八講 流水行船問題船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量（速度、時間、路程）的關系在這里將要反復用到.此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式：順水速度=船速+水速，（1）逆水速度=船速-水速.（2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速，是指水在單位時間里流過的路程.順水速度和逆水速度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據加減法互為逆運算的關系，由公式（l）可以得到：水速=順水速度-船速，船速=順水速度-水速。由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。這就是說，只要知道了船在靜水中的速度，船的實際速度和水速這三個量中的任意兩個，就可以求出第三個量。另外，已知船的逆水速度和順水速度，根據公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到：船速=（順水速度+逆水速度）2，水速=（順水速度-逆水速度）2。例1 甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。分析 根據題意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本數量關系先求出順水速度和逆水速度，而順水速度和逆水速度可按行程問題的一般數量關系，用路程分別除以順水、逆水所行時間求出。解：順水速度：2088=26（千米/小時）逆水速度：20813=16（千米/小時）船速：（26+16）2=21（千米/小時）水速：（2616）2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。例2 某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？分析 要想求從乙地返回甲地需要多少時間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。解：從甲地到乙地，順水速度：15+3=18（千米/小時），甲乙兩地路程：188=144（千米），從乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小時），返回時逆行用的時間：1441212（小時）。答：從乙地返回甲地需要12小時。例3 甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時？分析 要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間.并能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎上再用和差問題解法求出水速。解：輪船逆流航行的時間：（35+5）2=20（小時），順流航行的時間：（355）2=15（小時），輪船逆流速度：36020=18（千米/小時），順流速度：36015=24（千米/小時），水速：（2418）2=3（千米/小時），帆船的順流速度：12315（千米/小時），帆船的逆水速度：123=9（千米/小時），帆船往返兩港所用時間：36015360924+40=64（小時）。答：機帆船往返兩港要64小時。下面繼續(xù)研究兩只船在河流中相遇問題.當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出，它們單位時間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和.這是因為：甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速沒有關系。同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，也只與路程差和船速有關，與水速無關.這是因為：甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。如果兩船逆向追趕時，也有甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。這說明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉化為已學過的相遇和追及問題來解答。例4 小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發(fā)現并調過船頭時，水壺與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？分析 此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順水中的速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等于水速，所以速度差=船順水速度-水壺飄流的速度=（船速+水速）-水速=船速.解：路程差船速=追及時間24=0.5（小時）。答：他們二人追回水壺需用0.5小時。例5 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發(fā)相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，甲