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凹凸函數(shù)的性質(zhì) 1 營山中學(xué) 四川營山 637700 2營山駱市中學(xué) 四川營山 638150摘要：若函數(shù)f(x)為凹函數(shù)，則 若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，則從而使一些重要不等式的證明更簡明。中圖分類號(hào)： 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)號(hào)： 文章編號(hào)：高二數(shù)學(xué)不等式，教材上只要求學(xué)生掌握兩個(gè)數(shù)的均值不等式，教材上的閱讀材料中，證明了三個(gè)數(shù)的均值不等式，從而推廣到多個(gè)數(shù)的情形。學(xué)有余力的學(xué)生，會(huì)去證多個(gè)數(shù)的情形。仿照書上去證，幾乎不可能。下面介紹凹凸函數(shù)的性質(zhì)，并用來證明之，較簡便易行。凹函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的下方，則函數(shù)f(x)叫做凹函數(shù)。如圖（一）凸函數(shù)定義 若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的上方，則函數(shù)f(x)叫做凸函數(shù)。如圖（二）性質(zhì)定理 若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則 若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則 證明：若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，如下圖 點(diǎn)P（）在f(x)上設(shè)過P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b 則 （1）f(x) 是凹函數(shù)，切線在函數(shù)圖像下方; (2)由（1），（2）得若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，如下圖 點(diǎn)P（）在f(x)上設(shè)過P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b 則 （1）f(x) 是凸函數(shù)，切線在函數(shù)圖像上方; (2)由（1），（2）得定理證明過程要結(jié)合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高斯不等式。均值不等式： （）證明： y=lgx 是凸函數(shù) 即 （）高斯不等式： （）證明： (x0)是凹函數(shù) 即 （）以上兩個(gè)不等式的證明，非常簡明，下面再舉幾個(gè)性質(zhì)定理應(yīng)用的例子。例1 A、B、C為三角形三內(nèi)角，求證sinA+sinB+sinC 證明：A、B、C為三角形三內(nèi)角A+B+C= A0 B0 C0又 y=sinx (0x)是凸函數(shù) 即 SinA+sinB+sinC例2 求證 證明： 為凹函數(shù) 例3 求證 （k） 證明： （k）為凹函數(shù) 通過

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