【數(shù)學(xué)分析課件@北師大】10三角級數(shù).pdf

1 級數(shù) 三角級數(shù)與 Fourier展開 2 三角級數(shù)的意義和定義 歐氏空間的 極限 形式 Hilbert空 間 級數(shù)理論的初始問題之一 具有廣泛的應(yīng)用 3 三角級數(shù) 定義 形式為 的函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 2 周期函數(shù) 其第n個部分和 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a n k kkn kxbkxa a xSn a xS 1 00 0 sincos 2 1 2 4 三角函數(shù)系 三角函數(shù)的正交性 T 2 1 sin cos 2 1 kkxkxT 0 5 三角級數(shù)的收斂性 三角級數(shù)的收斂性概念 點(diǎn)態(tài)收斂 點(diǎn)點(diǎn)收斂 幾乎點(diǎn)點(diǎn)收斂 一致收斂 依范數(shù)收斂或平均收斂 L收斂 依L 范數(shù)收斂 L p 收斂 依L p 范數(shù)收斂 6 Fourier級數(shù) 設(shè) L 稱 為 的Fourier系數(shù) 稱 為 的Fourier級數(shù) 1 sin 1 1 0 cos 1 nxdxxffb nnxdxxffa n n 1 0 sin cos 2 n nn nxfbnxfa fa 7 一致收斂性與Fourier級數(shù) 若三角級數(shù) 在 上一致收斂到 則它是 的Fourier級數(shù) 證明 利用三角函數(shù)系T的正交性和逐項(xiàng)積分 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 8 Riemann Lebesgue引理 設(shè) L 那么 證明 若 在 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則 一般情況 利用光滑函數(shù)在L 中對 的逼近就可 以了 0 sin lim cos lim dxxxfdxxxf 0sin 1 sin cos xdxxf xxf xdxxf 9 Bessel不等式 設(shè) L 那么 證明 若左邊的積分為無窮大 則這個不等 式成立 下面設(shè)積分有限 利用恒等式 然后在兩邊在 上積分除以 就行了 1 22 2 0 2 2 1 n nn fbfa fa dxxf 22 2 2 fSfSfffSf nnn 10 Fourier部分和 設(shè) L 其第n個Fourier部分和 其中 dttxDtf dttxktfxfS n n k n 1 cos 2 1 1 1 t tn kttD n k n 2 1 sin2 2 1 sin cos 2 1 1 11 Fourier部分和 續(xù) 我們總可以假設(shè) 是2 周期函數(shù) 由此可以 把 的第n個Fourier部分和寫成 記2 周期函數(shù)可積函數(shù)的全體為L2 卷積 設(shè) g是2 周期函數(shù) dttDtxfxfS nn 1 dttgtxfxgf 1 12 Fourier級數(shù)的局部化原理 設(shè) L2 0 x0 R 若 在I x0 為零 則 證明 令 0 lim 0 xfSn n 0 2 sin2 0 t t t txf tg 13 局部化原理證明 續(xù) 易見g L2 由Riemann Lebesgue引理 0 2 1 sin 1 0 ntdtntgxfSn 14 點(diǎn)收斂的Dini判別法 設(shè) L2 R 若作為t的函數(shù) 則 證明 由下式和Riemann Lebesgue引理 0 2 00 L t txftxf lim 0 xfSn n tdtn t txftxf xfSn 2 1 sin 2 sin2 2 0 00 0 15 Dini判別法常用的一個推論 設(shè) L2 分段光滑 即 在 上除去有限 多個點(diǎn)外處處有連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且在導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn)左右極限都存在且有限 則其Fourier級 數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收斂 也就是 2 sin cos 2 1 0 xfxf nxfbnxfa fa n nn 16 Fourier級數(shù)例1 考慮函數(shù) x x 2 x 0 2 有 有前面的推論 1 1 1 0 0 n n fbnfa nn 1 sin 2 2 0 n n nxx x 17 Fourier級數(shù)例1 續(xù) 下面是 和S5 的圖像 18 Fourier級數(shù)例2 考慮函數(shù) x cos x x 偶函數(shù) n n sin n n sin1 n cosn cos 1 cos cos 2 0 sin2 1 0 0 0 0 dxxx nxdxx fan fanfb n n 19 Fourier級數(shù)例2 續(xù)1 注意 x cos x x 處處連續(xù)且除了 在x 2k 1 處左右導(dǎo)數(shù)可能不等外 在其他點(diǎn) 都連續(xù)可導(dǎo) 因此 特別令x 0就得到 1 22 cos2 1 1sin n n n nx xfRx 1 22 2 1 1 sin n n n 20 Fourier級數(shù)例2 續(xù)2 由此得到 函數(shù)的余元公式 下面來證明 sin 11 1 0 1 22 2 1 1 1 1 0 n n n 21 Fourier級數(shù)例2 續(xù)3 在 函數(shù)的積分表達(dá)式中做代換t u 1 u 在第二個積分中做變量替換u 1 t 就得到 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 1 111 1 1 1 1 1 1 du u u du u u du u u u du uu u dttt 1 0 1 0 1 11 1 du u u du u u 22 Fourier級數(shù)例2 續(xù)4 注意 所以 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n nn n n n nn n duudu u u n duudu u u 1 11 1 1 1 n n nn 23 Fourier級數(shù)一致收斂的定理 記C2 為連續(xù)2 周期函數(shù)的集合 設(shè) C2 則 的Fourier級數(shù)絕對收斂 且 一致收斂到 證明 由 連續(xù)可導(dǎo) 的Fourier級數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收 斂到 再由 1 1 0fa n fbfb n fan nnnn 24 一致收斂的定理 續(xù) 因此 這就給出了結(jié)論 2 2 2 2 1 1 0 fa n fb fb n fan nn nn 25 Fej r和 設(shè) L2 Sk 為 的Fourier部分和稱 為 的Fourier級數(shù)的第n個Fej r 1880 1959 匈牙利 和 我們有 1 1 0 xfS n xf k n k n 1 1 0 xD n fxf k n k n 26 Fej r核 計(jì)算 由 所以 2 sin2 2 1 sin 1 1 1 1 00 t tk n tD n tF n k k n k n t n tn tkkttkt n k n k 2 1 sin2 1cos 1 1cos cos 2 1 sin 2 1 sin2 2 00 2 2 sin 2 1 sin 1 2 1 t t n n tFn 27 Fej r定理 設(shè) C2 為 的連續(xù)模函數(shù) 則當(dāng) n 10時 證明 取定x 記h t x t x t 2 x 有 n n fxfxfRx n ln 4 dttFthxfxf n n n n n n 1 ln ln 0 28 Fej r定理證明 續(xù)1 第一個積分的估計(jì) 注意 1 2 0 dttFn n n dttF n n dttFthdttFth n n n n n n n ln ln2 1 1 0 ln 0 ln 0 29 Fej r定理證明 續(xù)2 為了估計(jì)第二個積分 注意連續(xù)模函數(shù)的不 減性質(zhì)和三角不等式 所以 對于 0 srsrsr n n n nt n n n nt n n n nt t n n n nt t n n t ln ln 2ln 1 ln ln ln ln ln ln 30 Fej r定理證明 續(xù)3 第二個積分的估計(jì) 2 ln 2 2 ln ln ln 2 2 1 2 1 ln 2ln2 2 sin 1 2 2 1 sin ln 2ln2 1 1 t n n nt n n dt t n t n n nt n n dttFthdttFth n n n n n n n n n n 31 Fej r定理證明 續(xù)4 因此 n n n n nn nn n n nn nnn dt tn n nn n dttFth n n n n n ln 3 ln ln1 lnln2 ln ln1 lnlnlnln2 1ln ln1