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總結(jié) 三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì) 三轉(zhuǎn)角算法 三彎矩算法 三次樣條插值函數(shù)的概念 三次樣條插值 三次樣條插值 學(xué)習(xí)目標(biāo) 知道三次樣條插值函數(shù)的概念 會(huì)求三次樣條插值函數(shù) 進(jìn)行誤差分析 高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象 但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑 但導(dǎo)數(shù)值不容易提取 找到 舉例 1汽車 船的外形設(shè)計(jì) 流體力學(xué)等要求流線型 光滑 2木樣條的來(lái)源 三次樣條插值函數(shù)的概念一 背景 數(shù)學(xué)里的樣條 Spline 一詞來(lái)源于它的直觀幾何背景 繪圖員或板金工人常用彈性木條或金屬條加壓鐵 構(gòu)成樣條 固定在樣點(diǎn)上 在其它地方讓它自由彎曲 然后畫下長(zhǎng)條的曲線 稱為樣條曲線 樣條曲線實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成 在連接點(diǎn)擊樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念 相同數(shù)據(jù)3次樣條插值與Lagrange插值效果比較CubicSplineInterpolationLagrange 定義2 8 三次樣條函數(shù) 多項(xiàng)式 即具有連續(xù)的一階 二階導(dǎo)數(shù) 滿足下述條件 的一個(gè)3次樣條函數(shù) 二 樣條函數(shù)的定義 提出問(wèn)題 如何計(jì)算 誤差估計(jì) 問(wèn)題的提法 給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造3次樣條函數(shù) 滿足插值條件 構(gòu)造方法 S x 應(yīng)具有如下形式并且滿足條件 2 42 和 2 43 分析 4n個(gè)待定系數(shù) 從而S x 共須4n個(gè)獨(dú)立條件確定 內(nèi)部條件 S和S S 在n 1個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù) 即滿足條件 2 43 因而 2 43 給出了3 n 1 個(gè)條件 2 43 已有條件 共有 個(gè)條件 要唯一確定 還必須附加2個(gè)條件 2 42 提供了n 1個(gè)獨(dú)立條件 邊界條件 附加2個(gè)條件 有多種給法 最常見(jiàn)的給法是 a 簡(jiǎn)支邊界 導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式 M關(guān)系式 特別地 自然邊界 三次自然樣條 b 固支邊界 導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式 m關(guān)系式 2 44 2 45 第3種邊界條件 周期邊界條件 為周期函數(shù) 此時(shí)稱 為周期樣條函數(shù) 這樣 由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件 就能得出4n個(gè)方程 可以惟一確定4n個(gè)系數(shù) 從而得到三次樣條插值函數(shù)S x 在各個(gè)子區(qū)間 xi xi 1 上的表達(dá)式S xi i 1 2 但是 這種做法當(dāng)n較大時(shí) 計(jì)算工作很大 不便于實(shí)際應(yīng)用 因此我們希望找到一種簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法 且 定理2 8 3次樣條插值函數(shù)存在唯一 2 給定邊界條件 則 于 存在 推導(dǎo)方法 該方法即為3次樣條插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示 該方法即為3次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示 三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示 三次樣條插值函數(shù)可以有多種表達(dá)式 有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí) 使用更方便 在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在處的彎矩 并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān) 故稱用表示的算法為三彎矩算法 2 3 2三彎矩算法 由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為 對(duì)上式積分 得 再積分 得 由條件 確定積分常數(shù) 將上式代入 2 48 得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式 由上討論可知 只要確定Mj j 0 1 n 這n 1個(gè)值 就可定出三樣條插值函數(shù)S x 為了確定Mj j 0 1 n 對(duì)S x 求導(dǎo)得 2 55 上式兩邊同乘以 即得方程 若記 2 56 所得方程可簡(jiǎn)寫成 2 58 即 2 57 三彎矩方程 這是一個(gè)含有n 1個(gè)未知數(shù) n 1個(gè)方程的線性方程組 要完全確定Mi i 0 1 n 的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件 這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要 根據(jù)插值區(qū)間 a b 的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來(lái)補(bǔ)充 由 2 53 得 由 2 54 得 則令j 0 令j n 2020 3 10 25 可編輯 2 若 已知 代入方程 2 58 只需解n 1個(gè)方程 3 對(duì)第三類邊界條件 兩邊同除以 j n j n j 0 令 得 又由 三彎矩方程可寫為 說(shuō)明 1 方程組 2 59 2 61 系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣 因此方程組 2 59 2 61有唯一解 2 Mj在力學(xué)上為細(xì)梁在xj處截面處的彎矩 且彎矩與相鄰的兩個(gè)彎矩有關(guān) 故方程組 2 59 2 61 稱為三彎矩方程 Mj在數(shù)學(xué)上稱為曲率 實(shí)際上 方程組 2 59 2 61 的系數(shù)矩陣是一類特殊的矩陣 在后面線性方程組的解法中 將專門介紹這類方程組的解法和性質(zhì) 例2 14設(shè)在節(jié)點(diǎn)上 函數(shù)的值為 試求三次樣條插值函數(shù) 滿足條件 解 1 利用方程組 2 56 進(jìn)行求解 可知 對(duì)第一類邊界條件 代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式 2 50 經(jīng)化簡(jiǎn)有 仍用方程組進(jìn)行求解 不過(guò)要注意的不同 由于和已知 故可以化簡(jiǎn)得 由此解得 將代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式 2 50 經(jīng)化簡(jiǎn)有 例2 15已知的函數(shù)值如下 x1245f x 1342 在區(qū)間 1 5 上求三次樣條插值函數(shù)S x 使它滿足邊界條件 解 這是在第二種邊界條件下的插值問(wèn)題 故確定的方程組形如 2 60 所示 由已知邊界條件 有則得求解的方程組為 根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與 則得方程組 解得 又 即得S x 在各子區(qū)間上的表達(dá)式 由式 2 51 知 S x 在上的表達(dá)式為 代入式 2 50 將代入上式化簡(jiǎn)后得 同理S x 在上的表達(dá)式為 S x 在上的表達(dá)式為 故所求的三次樣條插值函數(shù)S x 在區(qū)間上的表達(dá)式為 2 3 3三轉(zhuǎn)角算法 根據(jù)Hermite插值函數(shù)的唯一性和表達(dá)式可設(shè)S x 在區(qū)間 xi xi 1 i 0 1 n 1 的表達(dá)式為 對(duì)S x 求二次導(dǎo)數(shù)得 于是有 同理 考慮S x 在 xi 1 xi 上的表達(dá)式 可以得到 利用條件 得 方程組 2 63 是關(guān)于的方程組 有個(gè)未知數(shù) 但只有個(gè)方程 可由 2 44 2 46 的任一種邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程 由此可解得m1 m2 mn 1 從而得S x 的表達(dá)式 2 64 對(duì)于邊界條件 2 45 兩個(gè)方程則m1 m2 mn 1滿足方程組 對(duì)于邊界條件 2 44 可導(dǎo)出兩個(gè)方程 2 65 若令 則 2 62 和 2 65 可合并成矩陣形式 2 66 可解出 從而得S x 的表達(dá)式 由 2 62 和 2 67 可解出 方程組