人教A版選修11 2.1.1橢圓及其標準方程 課件（66張）.ppt

第二章圓錐曲線與方程2 1橢圓2 1 1橢圓及其標準方程 自主預習 1 橢圓的定義 1 定義 平面內(nèi)與兩個定點f1 f2的距離之和等于 大于 f1f2 的點的軌跡 2 焦點 兩個定點f1 f2 常數(shù) 3 焦距 兩焦點間的距離 f1f2 4 幾何表示 mf1 mf2 常數(shù) 且2a f1f2 2a 2 橢圓的標準方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 c2 即時小測 1 橢圓 1的左 右焦點分別為f1 f2 點p在橢圓上 若 pf1 4 則 pf2 解析 由橢圓的定義知 pf1 pf2 6 所以 pf2 6 pf1 6 4 2 答案 2 2 橢圓25x2 16y2 400的焦點坐標為 焦距為 解析 把方程化為標準形式為 1 可知焦點在y軸上 則a2 25 b2 16 所以c2 25 16 9 則c 3 所以焦點為 0 3 焦距為2c 6 答案 0 3 6 知識探究 探究點1橢圓的定義1 平面內(nèi)動點m到兩定點f1 f2的距離之和等于常數(shù) 2a 且2a f1f2 若2a f1f2 則m的軌跡是什么 若2a f1f2 則m的軌跡是什么 提示 當2a f1f2 時 點m的軌跡是線段f1f2 當2a f1f2 時 點m的軌跡不存在 2 確定橢圓的標準方程需要知道哪些量 提示 a b的值及焦點所在的位置 歸納總結(jié) 對橢圓定義的三點說明 1 橢圓是在平面內(nèi)定義的 所以 平面內(nèi) 這一條件不能忽視 2 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù) 而不能是變量 3 常數(shù) 2a 必須大于兩定點間的距離 否則軌跡不是橢圓 這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件 探究點2橢圓的標準方程1 在橢圓的標準方程中a b c一定成立嗎 提示 不一定 只要a b a c即可 b c大小關(guān)系不定 2 根據(jù)橢圓方程 如何確定焦點位置 提示 把方程化為標準形式 x2 y2的分母哪個大 焦點就在相應(yīng)的軸上 歸納總結(jié) 對橢圓標準方程的兩點認識 1 標準方程的幾何特征 橢圓的中心在坐標原點 焦點在x軸或y軸上 2 標準方程的代數(shù)特征 方程右邊為1 左邊是關(guān)于與的平方和 并且分母為不相等的正值 特別提醒 焦點所在坐標軸不同 其標準方程的形式也不同 類型一求橢圓的標準方程 典例 1 2016 武漢高二檢測 過點 3 2 且與 1有相同焦點的橢圓的方程是 2 根據(jù)下列條件 求橢圓的標準方程 1 兩個焦點坐標分別是 0 5 0 5 橢圓上一點p到兩焦點的距離和為26 2 經(jīng)過點兩焦點間的距離為2 焦點在x軸上 解題探究 1 典例1中已知橢圓的焦點在哪個軸上 提示 橢圓的焦點在x軸上 因為已知方程中x2項的分母較大 2 典例2 1 中焦點在y軸上的橢圓標準方程是怎樣的 典例2 2 中焦點在x軸上的橢圓標準方程是怎樣的 提示 1 1 a b 0 2 1 a b 0 解析 1 選a 由方程 1可知 其焦點的坐標為 0 即c 設(shè)所求橢圓方程為 1 a b 0 因為過點 3 2 代入方程得 1 a b 0 解得a2 15 a2 3舍去 故方程為 1 2 1 因為橢圓的焦點在y軸上 所以設(shè)它的標準方程為 1 a b 0 因為2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求橢圓方程為 1 2 設(shè)橢圓的標準方程為 1 a b 0 因為焦點在x軸上 2c 2 所以a2 b2 1 又橢圓經(jīng)過點所以 1 解得b2 3 所以a2 4 所以橢圓的標準方程為 1 延伸探究 將典例2 1 改為兩個焦點坐標分別是 5 0 5 0 其他條件不變 求橢圓的標準方程 解析 因為橢圓的焦點在x軸上 所以設(shè)它的標準方程為 1 a b 0 因為2a 26 所以a 13 又c 5 所以b2 a2 c2 144 所以所求橢圓方程為 1 方法技巧 求橢圓標準方程的方法利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 1 先確定焦點位置 2 設(shè)出方程 3 尋求a b c的等量關(guān)系 4 求a b的值 代入所設(shè)方程 特別提醒 若橢圓的焦點位置不確定 需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論 也可設(shè)橢圓方程為mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 變式訓練 求適合下列條件的橢圓的標準方程 1 焦點在x軸上 且a 4 c 2 2 經(jīng)過點a 0 2 和 解析 1 a2 16 c2 4 所以b2 16 4 12 且焦點在x軸上 故橢圓的標準方程為 1 2 設(shè)所求橢圓的標準方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 因為橢圓經(jīng)過a 0 2 和兩點 所以解得所以所求橢圓方程為x2 1 類型二橢圓的定義及應(yīng)用 典例 2016 濰坊高二檢測 設(shè)p是橢圓 1上一點 f1 f2是橢圓的焦點 若 f1pf2 60 求 f1pf2的面積 解題探究 1 你能寫出 pf1 pf2 與 f1f2 的大小嗎 提示 1 根據(jù)橢圓的定義即可寫出 2 在 f1pf2中 怎樣得到 f1f2 pf1 pf2 之間的關(guān)系式 提示 在 f1pf2中 利用余弦定理可以得到 f1f2 pf1 pf2 之間的關(guān)系式 解析 由橢圓方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 pf1f2中 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 即25 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 由橢圓的定義得10 pf1 pf2 即100 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 得3 pf1 pf2 75 所以 pf1 pf2 25 所以 pf1 pf2 sin60 延伸探究 1 將典例中的 f1pf2 60 改為 f1pf2 30 其余條件不變 求 f1pf2的面積 解析 由橢圓方程知 a2 25 b2 所以c2 所以c 2c 5 在 pf1f2中 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos30 即25 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 由橢圓的定義得10 pf1 pf2 即100 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 得 2 pf1 pf2 75 所以 pf1 pf2 75 2 所以 pf1 pf2 sin30 2 2 將典例中橢圓的方程改為 1 其余條件不變 求 f1pf2的面積 解析 pf1 pf2 2a 20 又 f1f2 2c 12 由余弦定理知 2c 2 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 即144 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 所以 pf1 pf2 sin60 方法技巧 橢圓定義的應(yīng)用技巧 1 橢圓的定義具有雙向作用 即若 mf1 mf2 2a 2a f1f2 則點m的軌跡是橢圓 反之 橢圓上任意一點m到兩焦點的距離之和必為2a 2 涉及曲線上的點到焦點的距離問題時 應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解 拓展延伸 橢圓中的焦點三角形橢圓上一點p與橢圓的兩個焦點f1 f2構(gòu)成的 pf1f2 稱為焦點三角形 解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題 通常要利用橢圓的定義 結(jié)合正弦定理 余弦定理等知識求解 補償訓練 如圖所示 已知橢圓的方程為 1 若點p是橢圓上第二象限內(nèi)的點 且 pf1f2 120 求 pf1f2的面積 解題指南 由橢圓定義和余弦定理可求得三角形邊長 解析 由已知a 2 b 所以c 1 f1f2 2c 2 在 pf1f2中 由余弦定理 得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 2 pf1 f1f2 cos120 即 pf2 2 pf1 2 4 2 pf1 由橢圓定義 得 pf1 pf2 4 即 pf2 4 pf1 將 代入 解得 pf1 所以即 pf1f2的面積是 類型三與橢圓有關(guān)的軌跡問題 典例 1 2016 合肥高二檢測 已知點m在橢圓 1上 mp 垂直于橢圓焦點所在的直線 垂足為p 并且m為線段pp 的中點 則p點的軌跡方程為 2 一動圓與已知圓o1 x 3 2 y2 1外切 與圓o2 x 3 2 y2 81內(nèi)切 試求動圓圓心的軌跡方程 解題探究 1 典例1中動點p與哪個動點有關(guān) 本題可采用什么方法求動點p的軌跡方程 提示 動點p與點m有關(guān) 因為點m在已知橢圓上運動 所以本題可采用代入法求動點p的軌跡方程 2 典例2中兩圓內(nèi)切時能得到什么條件 提示 兩圓內(nèi)切時 兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差 解析 1 設(shè)點p的坐標為 x y m點的坐標為 x0 y0 因為點m在橢圓 1上 所以 1 因為m是線段pp 的中點 所以把代入 1 得 1 即x2 y2 36 所以點p的軌跡方程為x2 y2 36 答案 x2 y2 36 2 兩定圓的圓心和半徑分別為o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 設(shè)動圓圓心為m x y 半徑為r 則由題設(shè)條件可得 mo1 1 r mo2 9 r 所以 mo1 mo2 10 而 o1o2 6 10 故由橢圓的定義知 m在以o1 o2為焦點的橢圓上 且a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 故動圓圓心的軌跡方程為 1 方法技巧 解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的兩種方法 1 定義法 用定義法求橢圓方程的思路是 先觀察 分析已知條件 看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義 若符合橢圓的定義 則用待定系數(shù)法求解即可 2 相關(guān)點法 代入法 有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的 只要把所求動點的坐標 轉(zhuǎn)移 到另一個動點在運動中所遵循的條件中去 即可解決問題 這種方法稱為相關(guān)點法 易錯警示 求軌跡方程時注意求得的方程中的自變量的取值范圍 變式訓練 已知圓a x 3 2 y2 100 圓a內(nèi)一定點b 3 0 圓p過點b且與圓a內(nèi)切 如圖 求圓心p的軌跡方程 解析 設(shè) pb r 因為圓p與圓a內(nèi)切 圓a的半徑為10 所以兩圓的圓心距 pa 10 r 即 pa pb 10 而 ab 6 所以 pa pb ab 所以圓心p的軌跡是以a b為焦點的橢圓 所以2a 10 2c ab 6 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 25 9 16 所以圓心p的軌跡方程為 1 補償訓練 已知兩定點f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 與 pf2 的等差中項 求動點p的軌跡方程 解析 因為 f1f2 是 pf1 和 pf2