2011年高考數(shù)學(xué)試卷解析版-新課標(biāo)卷［文理兩份］

2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 2011 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué) 本試卷分第卷 (選擇題 )和第卷 (非選擇題 )兩部分。第卷 1 至 2 頁(yè)。第卷 3至 4 頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 。 第卷 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚， 并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)， 在試題卷上作答無(wú)效。 3第 卷共 題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （ 1）已知集合 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 3 , 5 , ,M N P M N 的子集共有 （ A） 2個(gè) （ B） 4 個(gè) （ C） 6 個(gè) （ D） 8個(gè) 解析：本題考查交集和子集概念，屬于容易題。顯然 P= 3,1 ，子集數(shù)為 22=4 故選 B （ 2）復(fù)數(shù) 512i i （ A） 2 i （ B） 12i （ C） 2 i （ D） 12i 解析：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬 容易題。 解法一：直接法 512i i 22121 215，故選 C 解法二：驗(yàn)證法 驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)與 1積，正好等于 5i 的便是答案。 （ 3）下列函數(shù)中，即是偶數(shù)又在 0, 單調(diào)遞增的函數(shù)是 A. 3 B. 1 C. 2 1 D. 2 解析：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題 可以直接判斷： 是 0, 的增函數(shù)，故選 B。 (4)2116 8的離心率為 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 A. 13B. 12C. 33D. 22解析 ;本題考查橢圓離心率的概念，屬于容易題，直接求 e=224 22 選 D。 。 （ 5）執(zhí)行右面得程序框圖，如果輸入的 N 是 6， 那么輸出的 p 是 （ A） 120 （ B） 720 （ C） 1440 （ D） 5040 解析：本題考查程序框圖，屬于容易題。 可設(shè) 11P, 2122,2 46 3,3 524 4,4 6120 5,5 67720 6,6 輸出 （ 6）有 3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為 （ A） 13(B) 12(C) 23(D) 34 解析：本題考查古典概型，屬于容易題。設(shè)三個(gè)興趣小組分別為 A,B,C. 他們參加情況共一下 9種情況，其中參加同一小組情況共 3中，故概 故選 A。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （ 7）已知角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x 上，則 = （ A） 45（ B） 35(C) 35(D) 45解析：本題考查三角公式，屬于容易題。 易知 =2， =51 .由 =2 1= 35 故選 B （ 8）在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示， 則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 解析：本題考查三視圖的知識(shí)，同時(shí)考察空間想象能力。屬于難題。 由正視圖和俯視圖可以判斷此幾何體前部分是一個(gè)的三棱錐，后面是一個(gè)圓錐，由此可選 D （ 9） 已知直線 的焦點(diǎn)，且與 C 的對(duì)稱軸垂直。 交于 A,12， P 為 C 的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則 面積為 （ A） 18 （ B） 24 （ C） 36 （ D） 48 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 解析：本題考查拋物線的方程，屬于中等題。 易知 2P=12，即 2，三角形的高是 P=6，所以面積為 36，故選 C。 （ 10） 在下列區(qū)間中，函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 解析：本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于中等題。只需驗(yàn)證端點(diǎn)值，凡端點(diǎn)值異號(hào)就是答案。故選 C。 （ 11）設(shè)函數(shù)，則 （ A） y= 在 單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線 對(duì)稱 （ B） y= 在 單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線 對(duì)稱 （ C） y= f (x) 在（ 0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線 x = 4對(duì)稱 （ D） y= f (x) 在（ 0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱 解析：本題考查三角函數(shù)的性 質(zhì)。屬于中等題。 解法一： f(x)= 2 x+2)= 2 f(x) 在（ 0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線 x = 2對(duì)稱。故選 D。 解法二：直接驗(yàn)證 由選項(xiàng)知 （ 0，2） 不是遞增就是遞減，而端點(diǎn)值又有意義，故只需驗(yàn)證端點(diǎn)值，知遞減，顯然 x = 4 不會(huì)是對(duì)稱軸 故選 D。 (12) 已知函數(shù) y= f (x) 的周期為 2，當(dāng) x 11， 時(shí) f (x) =么函數(shù) y = f (x) 的圖像與函數(shù) y = 圖像的交點(diǎn)共有 （ A） 10 個(gè) （ B） 9 個(gè) （ C） 8 個(gè) （ D） 1 個(gè) 解析：本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于難題。 本題可用圖像法解。易知共 10 個(gè)交點(diǎn) 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題 第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須回答。第 22 題 第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分。 （ 13）已知 a與 b 為兩個(gè)不共線的單位向量， 向量 a+b 與向量則 k= 。 解析：本題考查向量的基本運(yùn)算和性質(zhì)，屬于容易題。 解法一：直接法 (a+b)(0 展開(kāi)易得 k=1. 解法二：憑經(jīng)驗(yàn) k=1 時(shí) a+b, 量積為 0，易知 k=1. （ 14）若變量 x， y 滿足約束條件 則 z=x+2y 的最小值為 。 解析：本題考查線性規(guī)劃的基本知識(shí)，屬于容易題。只需畫(huà)出線性區(qū)域即可。 易得 z=x+2y 的最小值 為 （ 15） B=120， ， ，則 面積為 。 解析：本題考查余弦定理和面積公式，屬于容易題。 有余弦定理得 1 2 0 0222 c o 所以 ，有面積公式得 S=43151 9 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （ 16）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的163，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 。 解析：本題考查球內(nèi)接圓錐 問(wèn)題，屬于較難的題目。 由 圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的163 得1634 22 所以 23則小圓錐的高為 ,2R 大圓錐的高為 23R ，所以比值為31三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 （ 17）（本小題滿分 12 分） 已知等比數(shù)列 13a ，公比 13q。 （ I） n 項(xiàng)和，證明： 12 nn （ 3 1 3 2 3l o g l o g l o a a a ，求數(shù)列 解析：本題考查等比數(shù)列基本知識(shí)和等差數(shù)列的基本知識(shí)。 （ I） 31 13131 12 nn （ 1 3 2 3l o g l o g l o a a a =-（ 1+2+3+ +n） =- 2 )1( 數(shù)列 通項(xiàng)公式 為 1( 18）（本小題滿分 12 分） 如 圖 ， 四 棱 錐 P 中 ， 底 面 平 行 四 邊 形 。2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 6 0 , 2 ,D A B A B A D P D o 底面 。 （ I）證明： D （ 1D，求棱錐 D 的高。 解： （ ）因?yàn)?6 0 , 2D A B A B A D , 由余弦定理得 3D 從而 底面 得 以 平面 故 ）過(guò) D 作 E，由 （ I） 知 底面 所以 面 平面 以 面 題設(shè)知 ，則 3 ,， 由 D 3,即 棱錐 D 的高 為23（ 19）（本小題 12 分） 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于 102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為 分配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了 100 件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： （）分別估計(jì)用 A 配方， B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （）已知用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn) y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值 t 的關(guān)系式為 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 估計(jì)用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0 的概率，并求用 B 配方生產(chǎn)的上述 100 件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)。 解：本題考查概率的基 本知識(shí)，屬于容易題。 （） 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，用 A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為100822= 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為1001032= 所以用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 （） 由條件知， 用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0 的概率 當(dāng)且僅當(dāng) t 94,由試驗(yàn)結(jié)果知， t 94 的頻率為 以 用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0 的概率估計(jì) 值為 用 B 配方生產(chǎn)的上述 100 件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)為 4422542 =） 2 （ 20）（本小題滿分 12 分） 在平面直角坐標(biāo)系 ， 曲線 2 61y x x 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 （）求 圓 C 的方程； （） 若圓 C 與直線 0x y a 交與 A， B 兩點(diǎn)，且 B ，求 a 的值。 解析：本題考查圓的方程和直線和圓的關(guān)系。 （） 曲線 2 61y x x 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（ 0,1）（ 3 ）0,22 故可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（ 3， t）則有 22122 +解得 t=1,則圓的半徑為 313 22 t 所以圓的方程為 913 22 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （） 設(shè) A( ),11 ),22 0x y a 2 913 22 消去 12)82(2 22 由已知可得判別式 =560 由韋達(dá)定理可得 421，212221 由 B 可得 11 22。所以 2 0)( 22121 a 由 可得 a=足 0，故 a= （ 21）（本小題滿分 12分） 已知函數(shù) 1a x ，曲線 ()y f x 在點(diǎn) (1, (1)f 處的切線方程為2 3 0 。 （）求 a 、 b 的值； （） 證明： 當(dāng) 0x ，且 1x 時(shí)， 1x 。 解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念和幾何意義， （）221( l n )( ) ( 1 )x 由于直線 2 3 0 的斜率為 12，且過(guò)點(diǎn) (1,1) ，故 (1) 1, 1(1) ,2 即 1, 1,22ba b 解得 1a ， 1b 。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 （） 由 （） 知 f(x)= ,11ln xx x 所以 22考慮函數(shù) 則 h (x)= 2222 1122 所以 x 1時(shí) h (x) 0 而 h(1)=0 故 x 1,0 時(shí) h(x)0 可得 1x x ，1 h(x)0,故 13q。 由122 3 1得122 3 1a a q，所以1 13a。 故數(shù)列 通項(xiàng)式為 3n。 （ ）3 1 3 2 3 nl o g l o g . . . l o a a a (1 2 . )( 1 )2 故 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1nb n n n n 121 1 1 1 1 1 1 1 2. . . 2 ( ( 1 ) ( ) . . . ( ) )2 2 3 1 1b b n n n 所以數(shù)列 1n 項(xiàng)和為 21(18)(本小題滿分 12 分 ) 如圖，四棱錐 ，底面 平行四 邊形， 0 ,D底面 ( )證明： ( )若 D，求二面角 余弦值。 解析 1： （ ）因?yàn)?6 0 , 2D A B A B A D , 由余弦定理得 3D 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 從而 底面 得 以 平面 故 ）如圖，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線 x 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 1,0,0A , 0 3, 0B ， , 1, 3, 0C , 0,0,1P 。 ( 1 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 1 ) , ( 1 , 0 , 0 )A B P B B C u u uv u u v u u 平面 法向量為 n=（ x,y,z），則 00n B 即 3030 因此可取 n=( 3,1, 3) 設(shè)平面 法向量為 m，則 00m C 可取 m=（ 0， 3 ） 4 2 7c o s ,727 故二面角 余弦值為 277（ 19）（本小題滿分 12 分） 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于 102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品， 現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為 A 配方和 B 配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了 100 件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： （）分別估計(jì)用 A 配方， B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （ ）已知用 B 配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn) y(單位：元 )與其質(zhì)量指標(biāo)值 t 的關(guān)系式z x P C B A D y 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 為 從用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為 X（單位：元），求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 .（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率） 解析：（）由試驗(yàn)結(jié)果知，用 A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為 22 8 =所以用A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 由試驗(yàn)結(jié)果知，用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 3 2 1 0 0 100 ，所以用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 ）用 B 配 方 生 產(chǎn) 的 100 件 產(chǎn) 品 中 ， 其 質(zhì) 量 指 標(biāo) 值 落 入 區(qū) 間 9 0 , 9 4 , 9 4 , 1 0 2 , 1 0 2 , 1 1 0的頻率分別為 ,054,此 X 的可能值為 ,4 P(X= P(X=2)= P(X=4)=即 X 的分布列為 X 的數(shù)學(xué)期望值 2 20）（本小題滿分 12 分） 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知點(diǎn) A(0, B 點(diǎn)在直線 y = ， M 點(diǎn)滿足 / M A A B M B B A M 點(diǎn)的軌跡為曲線 C。 （）求 C 的方程； （） P 為 C 上的動(dòng)點(diǎn)， l 為 C 在 解析 ; ( )設(shè) M(x,y),由已知得 B(x,A(0, 所以 （ 1, (0, (x, 再由題意可知（ 0, 即（ 4 (x,0. X 4 P 011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 所以 曲線 C 的方程式為 y=142. ( )設(shè) P(x0,曲線 C： y=142 上一點(diǎn)，因?yàn)?y =12x,所以 l 的斜率為 12l 的方程為0 0 01 ()2y y x x x ，即 20 0 02 2 0x x y y x 。 則 o 點(diǎn)到 l 的距離 20020| 2 |4001 24，所以 20 2022001 4142 ( 4 ) 2 ,244 當(dāng) 20x=0 時(shí)取等號(hào)，所以 o 點(diǎn)到 l 距離的最小值為 2. （ 21）（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 1a x ，曲線 ()y f x 在點(diǎn) (1, (1)f 處 的 切 線方 程 為2 3 0 。 （）求 a 、 b 的值； （）如果當(dāng) 0x ，且 1x 時(shí)， 1，求 k 的取值范圍。 解析：（）221( l n )( ) ( 1 )x 由于直線 2 3 0 的斜率為 12，且過(guò)點(diǎn) (1,1) ，故 (1) 1, 1(1) ,2 即 1, 1,22ba b 解得 1a ， 1b 。 （）由（）知 f ( )1xx ，所以 22l n 1 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 2 l n )11x k k xf x xx x x x 。 考慮函數(shù) ( ) 2 x x 2( 1)( 1)( 0)x，則 22( 1 ) ( 1 ) 2( ) k x x 。 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 (i)設(shè) 0k ，由 222( 1 ) ( 1 )( ) k x x 知，當(dāng) 1x 時(shí)， ( ) 0， h(x)遞減。而 (1) 0h 故當(dāng) (0,1)x 時(shí)， ( ) 0，可得21 ( ) 01 ； 當(dāng) x （ 1， + ）時(shí)， h（ x） 0 從而當(dāng) x0,且 x 1 時(shí)， f（ x） -（1lnx x+0，即 f（ x） 1lnx x+（ 00,故 h (x） 0,而 h（ 1） =0，故當(dāng) x （ 1，k11）時(shí)， h（ x） 0，可得211x h（ x） 0,而 h（ 1） =0，故當(dāng) x （ 1， + ）時(shí)， h（ x） 0，可得211x h（ x） 0,與題設(shè)矛盾。 綜合得， k 的取值范圍為（ - ， 0 點(diǎn)評(píng) ;求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解。若求導(dǎo)后不易得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時(shí)，就要使用參數(shù)討論法了。即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意。求的答案。此題用的便是后者。 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。 （ 22）（本小題滿分 10 分）選修 4何證明選講如圖， D ， 的邊 的點(diǎn)，且不與 的頂點(diǎn)重合。已知 長(zhǎng)為 m ， 長(zhǎng)為 n, 長(zhǎng)是關(guān)于 x 的方程2 1 4 0x x m n 的兩個(gè)根。 （）證明： C ， B ， D ， E 四點(diǎn)共圓； （）若 90A ，且 4, 6，求 C ， B ， D ， E 所在圓的半徑。 解析：（ I）連接 據(jù)題意在 ， A D A B m n A E A C 即 而 因此 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 理兩份 所以