正余弦定理知識(shí)點(diǎn)權(quán)威總結(jié).doc

正余弦定理知識(shí)點(diǎn)權(quán)威總結(jié)：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、內(nèi)容1、正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有 3、推論a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;4、注意（1）在ABC中，已知A,a,b，討論三角形解的情況.先由可進(jìn)一步求出B；則C =180-(A+B),從而.（2）在ABC中，sinAsinB是AB的充要條件。（sinAsinBabAB）由余弦定理判斷三角形的形狀a2=b2+c2A是直角ABC是直角三角形，a2b2+c2A是鈍角ABC是鈍角三角形，a2b2+cA是銳角/ABC是銳角三角形。（注意：A是銳角/ ABC是銳角三角形 ，必須說(shuō)明每個(gè)角都是銳角）5、三角形面積公式三角形面積公式：； ，其中，為內(nèi)切圓半徑； ，為外接圓半徑6、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無(wú)解三種情況1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須ab才能有且只有一解；否則無(wú)解2.當(dāng)A為銳角時(shí)，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若absinA，則有兩解；（2）若a=bsinA，則只有一解；（3）若absinA，則無(wú)解注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且bsinAab時(shí)，有兩解；其他情況時(shí)則只有一解或無(wú)解（1）A為直角或鈍角（2） A為銳角7、解三角形的一般思路：（1）已知兩角及一邊，利用正弦定理求解；（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一；（3）已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解；（4）已知三邊，利用余弦定理求解.8、方法與技巧總結(jié)1、已知兩角A、B，一邊,由A+B+C=及，可求角C，再求、；2、已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知兩邊、及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理，求出另一邊的對(duì)角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通過(guò)求B時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解。二、例題精講&變式練習(xí)考點(diǎn)一：運(yùn)用正余弦定理解三角形例題1：在ABC中，a2，b6，A30，解三角形變式1：在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知A60，a，b1，則c等于()A1 B2 C.1 D.變式2：在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形規(guī)律小結(jié)：對(duì)于已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，或者已知兩個(gè)角以及任意一邊的情況下，套用正弦定理，可以直接求出對(duì)應(yīng)的角或邊考點(diǎn)二：運(yùn)用余弦定理解三角形例題2：在ABC中，已知，B=45，求b及A變式1：在ABC中，邊a，b的長(zhǎng)是方程x25x20的兩個(gè)根，C60，求邊c.規(guī)律小結(jié)：在已知兩邊及夾角可利用余弦定理求出第三邊；在已知三邊的情況下，可利用余弦定理求出任意邊所對(duì)的角?？键c(diǎn)三：利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的性狀及求取值范圍例2（1）（10上海文）若的三個(gè)內(nèi)角滿足則A一定是銳角三角形. B一定是直角三角形.C一定是鈍角三角形. D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角（2）在銳角ABC中，BC1，B2A，則的值等于_，AC的取值范圍為_解析：由正弦定理得. 即.2.ABC是銳角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范圍為(，) 答案：2(，)1在ABC中，若，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.2在ABC中，sin A，a10，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是()A. B(10，) C(0,10) D.答案D解析，csin C0c.3在ABC中，a2bcos C，則這個(gè)三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理：sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.4、在ABC中，cos2，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB， a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形 答案：B例題3：在中，若，試判斷形狀變式1：在中，已知，則為 三角形變式2：在ABC中，sin Asin Bsin C234，試判斷三角形的形狀變式3：在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀變式4：在三角形ABC中，若acosB=bcosA，試判斷這個(gè)三角形的形狀變式5：在ABC中，a，b，c分別表示三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形形狀解：由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=k則a=ksinA，b=ksinB代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k約分（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）sin2Asin（A+B）-sin（A-B）=sin2Bsin（A-B）+sin（A+B）利用和角公式，整理有sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosBsin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0sinAsinB（sin2A-sin2B）=0sinA0，sinB0所以sin2A=sin2B2A=2B 或2A+2B=180度A=B或A+B=90度所以是等腰三角形或直角三角形 規(guī)律小結(jié)：判斷三角形形狀的題型中，常常只給出三邊的關(guān)系，或者正余弦之間的關(guān)系式，那么，在做這類題型時(shí)，常常要將題目中的所有角度利用正余弦全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到特殊關(guān)系；或者將所有的邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系，再利用三角恒等公式或者輔助角公式進(jìn)行變換，最后得到特殊角，進(jìn)而求解考點(diǎn)四：面積問(wèn)題例3（2009浙江文）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值解析：（） w.w 又，而，所以，所以的面積為：（）由（）知，而，所以，所以1、在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； BDCA（II）若，求的值解 （1）因?yàn)?，又由得?（2）對(duì)于，又，或，由余弦定理得， 2、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。（I）求sinA的值； (II)設(shè)AC=，求ABC的面積。 解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定理，得：所以3在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c10，又知，求a、b及ABC的內(nèi)切圓半徑解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由，得a6，b8.故內(nèi)切圓的半徑為r2.4在ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若a2，C，cos ，求ABC的面積S.解：cos B2cos2 1，故B為銳角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以Sacsin B2.例題4：在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且=-.（1）求角B的大??；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面積.變式1：在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，則ABC的面積為 .變式2：在ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面積等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面積.變式3： 考點(diǎn)五：利用正余弦定理求角例4（2011屆稽陽(yáng)聯(lián)考）如右圖，在中，為邊上一點(diǎn)， （1）求的大??；解：（1） 由已知， 1.（2010山東文）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，,則角A的大小為 .【解析】由得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以?在ABC中，B60，最大邊與最小邊之比為(1)2，則最大角為()A45 B60 C75 D90答案C解析設(shè)C為最大角，則A為最小角，則AC120，1.tan A1，A45，C75.考點(diǎn)六：證明恒等式1：在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知。求證： 變式1：變式2：在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c。求證：在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c。求證：考點(diǎn)七：運(yùn)用余弦定與向量的綜合例題6：已知為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為若向量，向量，且.(1)求的值； (2)若，三角形面積，求的值：解：（1）向量，向量，且.， 3分得，又，所以. 5分（2），. 7分又由余弦定理得：.9分，所以. 12分考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)以及解三角形變式練習(xí)2、（1）求角B的大??；（2）求sinA+sinC的取值范圍 考點(diǎn)八：正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1（11浙江文）在中，角所對(duì)的邊分.若，則（ ）A B C -1 D 1 解:acosA=bsinB由正弦定理得sinAcosA=sinBsinBsinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1 故選D1.在ABC中，則A的取值范圍是 （A）（B） （C）（D）答案：C解析：由得，即，故，選C2.在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若ABC123，則abc等于()A123 B234 C345 D12答案A:B:C=1:2:3 A+B+C=180 A = 30，B = 60，C = 90 a:b:c = 1:3:2 3在ABC中，若tan A，C150，BC1，則AB_.答案解析tan A，A(0,180)，sin A.由正弦定理知，AB.4在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，則_，c_.答案126解析12.SABCabsin C612sin C18.sin C，12，c6.考點(diǎn)九：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1. 已知三角形ABC，B=450，AC= ， （1）求sinA；（2）求BC的長(zhǎng)；（3）若D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長(zhǎng)2. 設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b解：（）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC為銳角三角形得4. 在中， （）求的值；（）設(shè)，求的面積5. 設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4（）求邊長(zhǎng)a；（）若的面積，求的周長(zhǎng)(1)由正弦定理，asinB=bsinA=4所以 a2=(asinB)2+(acosB)2=25a=5(2)S=1/2*bcsinA=10c=5由cosB=3/5及余弦定理得b=(c2+a2-2cacosB)=25所以，周長(zhǎng)=5+5+25=10+25。6. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為.已知，且，求.7. 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，,，求B.8. 已知ABC的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角分析：先利用正弦定理題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化角的正弦，化簡(jiǎn)整理求得sin（A-）=sin（B+），進(jìn)而根據(jù)A，B的范圍，求得A-和B+的關(guān)系，進(jìn)而求得A+B=，則C的值可求9.ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD=33, ,.求AD.10.ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c己知（）求B；（）若11：在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且（）求A+B的值；（）若得值. (1)因?yàn)?AB為銳角,SinA=5/5,SinB=10/10 所以 cosA=25/5，cosB=310/10 所以 cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=2/2 所以A+B=/4(2)由 cos（A+B）=2/2 得 sinC=sin（A+B）=2/2 由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC,得 a=2b 又因?yàn)閍+b=2-1 解得a=32-4,b=3-22 所以c=35-21012、考點(diǎn)十：正余弦定理與向量、數(shù)列的綜合應(yīng)用3四、方法與技巧總結(jié)1、已知兩角A、B，一邊,由A+B+C=及，可求角C，再求、；2、已知兩邊、與其夾角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三邊、，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知兩邊、及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理，求出另一邊的對(duì)角B，由C=-(A+B)，求出，再由求出C，而通過(guò)求B時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解。五、課后作業(yè)1. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是 三角形.2. 在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，則的值為 .3. 在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面積為，則tanC為 .4. 在ABC中，a2-c2+b2=ab,則C= .5. 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=1,b=,c=,