一個高效的設計可變分數延遲濾波器使用第一一階微分器.doc

一個高效的設計可變分數延遲濾波器使用第一一階微分器 秀昌培，研究員，IEEE，并漸成井，高級會員，IEEE 1.介紹 在許多信號處理的應用中，需要一個采樣周期的分數的延遲。這些應用有數字接收機的時間調整、天線陣波束指向、語音編碼與合成、樂器造型、采樣速率轉換、時延估計、梳狀濾波器設計、模擬數字轉換等。1一10在指南論文 3 ， 4 提出了一個優(yōu)秀的分數延遲濾波器設計的調查。給定的可變分數延遲濾波器所需的頻率響應為 （1）延遲D是一個整數，并且p是一個變量或可調的分數在 - 0.5，0.5 。到目前為止，已經有幾種方法來設計可變分數延遲的有限脈沖響應濾波器。在文獻5中，用于近似本規(guī)范的杉木過濾器的傳遞函數被選擇如下： （2）式中an(p)是p 的m次多項式函數，即 （3） Farrow結構可調延遲p分數延遲濾波器用（3）替換（2），傳遞函數可以重寫作為 （4）式中。在文獻 5 一10 提出了幾種方法設計M + 1階子濾波器G（k）(k=0,1,2.M)。這樣濾波器H(z，p)接近所需的響應的Hd(w，p)。一旦M + 1子濾波器G（k）設計好，濾波器H（z，p）可以通過有效的Farrow結構實施，如文獻5圖1所示。 另一方面，數字微分器一直是一個非常有用的工具，在確定和估計一個給定信號的時間導數時。例如，在雷達和聲納應用中，使用微分器的位置測量計算速度和加速度，在文獻【11】。在生物醫(yī)學工程中，往往需要獲得高階導數的生物醫(yī)學數據，特別是在低頻范圍，在文獻【12】。到現在為止，已經開發(fā)了幾種方法來設計無限脈沖響應（IIR）和FIR數字微分器，如雷米茲交換算法，文獻【13】，濾波器法，文獻 14 ，最小二乘法，文獻 15 ， 16 ，二次規(guī)劃，文獻【17】，等。本文中，泰勒級數展開將用于將分數延時濾波器的設計問題轉變?yōu)橐粋€第一階微分器，以便于FIR和IIR微分器的設計可以直接應用到的分數延時濾波器。該結構在系數存儲方面是更有效的比圖1中的Farrow結構濾波器，因為只有一個一階微分器需要設計并不是M + 1子濾波器需要實現。最后，值得一提的是，實施一個分數延遲濾波器或插值的各階微分器的想法不是新提出的。有關的研究可以在 18 和 19 中找到。然而，在本文中，只使用單一的一階微分器的構思新穎。 2.設計方法在這一節(jié)中，我們將使用泰勒級數展開式將分數延遲濾波器的設計問題轉換為一個一階微分器的設計。其主要思想是基于以下證明。證明：如果一階微分器的頻率響應表示為和延遲D= Mn0，然后可以表明分數延遲濾波器Hd(w,p)可以被寫為式中M，n0為兩個任意整數，O（x）則表示一個術語，至少為零，當接近零。 證明:使用泰勒級數展開，可以表示為如下的多項式： （6）兩邊都乘以，我們可以得到以下等式：將D=Mn0代入（7）中，并且F（w）=，我們得到：由于分數階數p的范圍是【一0.5，0.5，當M非常大的時候，接近于零。因此，分數延遲濾波器的理想響應可近似以下形式：M越大，越接近。為了評估這種近似的性能，歸一化均方根誤差（NRMS）的定義為 很容易得出所以NRMS只取決于M和的選擇。表I列出當 = 0.9時，M取不同值時的各種NRMS。從這個結果，可以發(fā)現，當m5，NRMS小于0.1%。因此，當m5時能更好地接近理想響應?，F在，讓我們來描述如何設計一個近似的可變?yōu)V波器。從（9）我們看到，如果我們設計一個濾波器G（z）接近一階微分響應，那么，下面這個濾波器就很好地接近。基于（11），分數延遲濾波器可以由一階微分算子G（Z）和M實現圖2所示的整數延遲。因此，設計問題簡化為一階微分算子G（z）的設計。在文獻中，已經提出了幾種方法來設計FIR和IIR微分器G（z）文獻【13】【17】。一旦G（z）設計并插入到結構中，如圖2所示，我們可以很容易地調整分數，以獲得所需的延遲響應?，F在，結構圖1中所提出的Farrow結構和圖2中所提的方法在三個方面進行效率的比較。1） 計算復雜度：Farrow結構的M + 1子濾波器G（z），但是我們的結構有M 個G（z）濾波器和M個標量乘法。因此，兩者幾乎具有相同的運算復雜度。2） 濾波器時延：在Farrow結構，整數時延是固定的，預先指定的延遲，但我們的結構時延近似于Mn0。因此，當濾波器階數M比較大，所提出的結構的延遲比Farrow結構延遲時間長。3） 存儲要求：對于Farrow結構實現，有M + 1個子濾波器的系數要被存儲在存儲器中。然而，所提出的結構，只有一個單一的一階微分系數需要被存儲在存儲器中。因此，在濾波器系數的存儲條件上該結構比Farrow結構更有效。 3.設計實例 在這一部分中，例用MATLAB語言在IBM兼容的個人計算機來說明該設計方法的有效性。為了評估性能，最大絕對誤差和均方根誤差定義為其中誤差在這個例子中，參數被選擇為n0= 29，M= 7，= 0.9。因此，整數延遲D=Mn0 = 203?，F在，最小二乘法（文獻 16 ）是用來設計長度為2n0 + 1和通帶截止頻率的線性相位FIR微分器G（z）。圖3顯示了一階微分算子G（z）的幅度響應。顯然，G（z）在范圍【0，0.9】內接近理想反應w。通過將設計的微分器G（Z）插入如圖2所示的結構，可以得到可變分數延遲濾波器H（z，p）。圖4和5分別描述了可變分數延遲濾波器H（z，p）分貝刻度和組設計的幅度響應，延遲頻率范圍在 0，0.9 ，p在-0.5,0.5。最大絕對誤差為，均方根誤差為由于錯誤是非常小的，該規(guī)范是很好的。最后，相同的算法復雜度下比較所提出的結構與傳統(tǒng)的Farrow結構的性能是有趣的。因為濾波器Gk（z）在Farrow結構的非線性相位，要實現Gk（z）需要N + 1次的乘法。在上面的例子中，一階微分算子G（z）是長度為2n0+ 1的線性相位，所以實現微分器G（z）不需要乘法。因此，當我們選擇N+1 =n0，這兩個結構的濾波器具有相同的算術復雜度?，F在，用 7 中的傳統(tǒng)的加權最小二乘法設計Farrow結構中的濾波器Gk（z），規(guī)范N= 30，D = N / 2 = 15，均勻加權。結果，最大絕對誤差為4.778 x 10-3和均方根誤差為7.84510-4。因此，在相同的算法復雜度下，該結構比Farrow結構具有更小的設計錯誤。然而，Farrow結構的延遲是15，但我們的結構的延遲是Mn0 = 203。