2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)立體幾何專題題庫25.doc_第1頁
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文檔簡介

3eud教育網(wǎng) 百萬教學(xué)資源,完全免費(fèi),無須注冊(cè),天天更新!301. 正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面三條對(duì)角線AB1、BC1、CA1中,AB1BC1.求證:AB1CA1.解析:方法1 如圖,延長B1C1到D,使C1DB1C1.連CD、A1D.因AB1BC1,故AB1CD;又B1C1A1C1C1D,故B1A1D90,于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD,因此AB1A1C.方法2 如圖,取A1B1、AB的中點(diǎn)D1、P.連CP、C1D1、A1P、D1B,易證C1D1平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1BD1,從而AB1A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1A1C.說明 證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線,證明線面垂直常采用下列方法:(1)利用線面垂直的定義;(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線;(3)證明直線平行于平面的垂線;(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.302. 已知:正三棱柱ABCABC中,ABBC,BC2,求:線段AB在側(cè)面上的射影長.解析: 如圖,取BC的中點(diǎn)D.ADBC,側(cè)面底面ABC,AD側(cè)面是斜線AB在側(cè)面的射影.又ABBC,BC.設(shè)BBx,在Rt中,BEBD,.E是BBC的重心.BEBCx,解得:x.線段AB在側(cè)面的射影長為.303. 平面外一點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是A,BC在平面內(nèi),ABA,ABC,求證:coscoscos.解析: 過A作BC于C,連AC.AA平面,BC垂直AC在平面內(nèi)的射線.BCAC,cos.又cos,cos,coscoscos.304. ABC在平面內(nèi)的射影是ABC,它們的面積分別是S、S,若ABC所在平面與平面所成二面角的大小為(090,則SScos.證法一 如圖(1),當(dāng)BC在平面內(nèi),過A作ADBC,垂足為D.AA平面,AD在平面內(nèi)的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SADBC,SADBC,cos,SScos.證法二 如圖(2),當(dāng)B、C兩點(diǎn)均不在平面內(nèi)或只有一點(diǎn)(如C)在平面內(nèi),可運(yùn)用(1)的結(jié)論證明SScos.305. 求證:端點(diǎn)分別在兩條異面直線a和b上的動(dòng)線段AB的中點(diǎn)共面.證明 如圖,設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ,PQ的中點(diǎn)是M,過M作平面,使PQ平面,且和AB交于R,連結(jié)AQ,交平面于N.連結(jié)MN、NR.PQ平面,MN,PQMN.在平面APQ內(nèi),PQa,PQMN,MNa,a,又PMMQ,ANNQ,同理可證NRb,RARB.即動(dòng)線段的中點(diǎn)在經(jīng)過中垂線段中點(diǎn)且和中垂線垂直的平面內(nèi).306. 如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,BAC30,BC1,AA1,M是CC1的中點(diǎn),求證:AB1A1M.解析:不難看出B1C1平面AA1C1C,AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲證A1MAB1,只要能證A1MAC1就可以了.證:連AC1,在直角ABC中,BC1,BAC30, ACA1C1.設(shè)AC1A1,MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90 即AC1A1M.B1C1C1A1,CC1B1C1,B1C1平面AA1CC1,AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M,由三垂線定理得A1MAB1.評(píng)注:本題在證AC1A1M時(shí),主要是利用三角函數(shù),證+90,與常見的其他題目不太相同.307. 矩形ABCD,AB2,AD3,沿BD把BCD折起,使C點(diǎn)在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求證:CDAB;(2)求CD與平面ABD所成角的余弦值.(1)證明 如圖所示,CM面ABD,ADAB,CDAB(2)解:CM面ABDCDM為CD與平面ABD所成的角,cosCDM作CNBD于N,連接MN,則MNBD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得DMCDCDCAABAD23.CD與平面ABD所成角的余弦值為308. 空間四邊形PABC中,PA、PB、PC兩兩相互垂直,PBA45,PBC60,M為AB的中點(diǎn).(1)求BC與平面PAB所成的角;(2)求證:AB平面PMC.解析:此題數(shù)據(jù)特殊,先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解 PAAB,APB90在RtAPB中,ABP45,設(shè)PAa,則PBa,ABa,PBPC,在RtPBC中,PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中,AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB,BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB與平面PAB所成的角PBC60,BC與平面PBA的角為60.(2)由上知,PAPBa,ACBC2a.M為AB的中點(diǎn),則ABPM,ABCM.AB平面PCM.說明 要清楚線面的垂直關(guān)系,線面角的定義,通過數(shù)據(jù)特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)解題捷徑.309. 在空間四邊形ABCP中,PAPC,PBBC,ACBC.PA、PB與平面ABC所成角分別為30和45。(1)直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié)論;(2)若點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,求點(diǎn)P到直線AB的距離.解析:主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角,點(diǎn)面間距離等概念應(yīng)用,空間想象力及推理能力.解 (1)AB與PC不能垂直,證明如下:假設(shè)PCAB,作PH平面ABC于H,則HC是PC在平面ABC的射影,HCAB,PA、PB在平面ABC的射影分別為HB、HA,PBBC,PAPC.BHBC,AHACACBC,平行四邊形ACBH為矩形.HCAB,ACBH為正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH,且PB,PA與平面ABC所成角分別為PBH,PAH.由已知PBH45,PAH30,與PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45BHPHh.PAH30,HAh.矩形ACBH中,AB2h.作HEAB于E,HEh.PH平面ACBH,HEAB,由三垂線定理有PEAB,PE是點(diǎn)P到AB的距離.在RtPHE中,PEh.即點(diǎn)P到AB距離為h.評(píng)析:此題屬開放型命題,處理此類問題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立,然后“執(zhí)果索因”,作推理分析,導(dǎo)出矛盾的就否定結(jié)論(反證法),導(dǎo)不出矛盾的,就說明與條件相容,可采用演繹法進(jìn)行推理,此題(1)屬于反證法.310. 平面內(nèi)有一個(gè)半圓,直徑為AB,過A作SA平面,在半圓上任取一點(diǎn)M,連SM、SB,且N、H分別是A在SM、SB上的射影.(1)求證:NHSB.(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系?(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形?(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線?解析:此題主要考查直線與直線,直線與平面的垂直關(guān)系及論證,空間想象力.解 (1)連AM,BM.AB為已知圓的直徑,如圖所示.AMBM,SA平面,MB,SAMB.AMSAA,BM平面SAM.AN平面SAM,BMAN.ANSM于N,BMSMM,AN平面SMB.AHSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知,SA平面AMB,BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系(3)SA平面AMB,SAB、SAM均為直角三角形.BM平面SAM,BMA,BMS均為直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均為直角三角形.SB平面AHN. SHA、BHA、SHN均為直角三角形綜上所述,圖中共有10個(gè)直角三角形.(4)由SA

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