2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)立體幾何專題題庫25.doc

3eud教育網(wǎng) 百萬教學(xué)資源，完全免費(fèi)，無須注冊(cè)，天天更新！301. 正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面三條對(duì)角線AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求證：AB1CA1.解析：方法1 如圖，延長B1C1到D，使C1DB1C1.連CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2 如圖，取A1B1、AB的中點(diǎn)D1、P.連CP、C1D1、A1P、D1B，易證C1D1平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1BD1，從而AB1A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1A1C.說明 證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；(3)證明直線平行于平面的垂線；(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：線段AB在側(cè)面上的射影長.解析： 如圖，取BC的中點(diǎn)D.ADBC，側(cè)面底面ABC，AD側(cè)面是斜線AB在側(cè)面的射影.又ABBC，BC.設(shè)BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx，解得：x.線段AB在側(cè)面的射影長為.303. 平面外一點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是A，BC在平面內(nèi)，ABA，ABC，求證:coscoscos.解析： 過A作BC于C，連AC.AA平面，BC垂直AC在平面內(nèi)的射線.BCAC，cos.又cos,cos，coscoscos.304. ABC在平面內(nèi)的射影是ABC，它們的面積分別是S、S，若ABC所在平面與平面所成二面角的大小為(090，則SScos.證法一 如圖(1)，當(dāng)BC在平面內(nèi)，過A作ADBC，垂足為D.AA平面，AD在平面內(nèi)的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SADBC，SADBC，cos,SScos.證法二 如圖(2)，當(dāng)B、C兩點(diǎn)均不在平面內(nèi)或只有一點(diǎn)(如C)在平面內(nèi)，可運(yùn)用(1)的結(jié)論證明SScos.305. 求證：端點(diǎn)分別在兩條異面直線a和b上的動(dòng)線段AB的中點(diǎn)共面.證明 如圖，設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ，PQ的中點(diǎn)是M，過M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，連結(jié)AQ，交平面于N.連結(jié)MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ內(nèi)，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可證NRb,RARB.即動(dòng)線段的中點(diǎn)在經(jīng)過中垂線段中點(diǎn)且和中垂線垂直的平面內(nèi).306. 如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1A1M.解析：不難看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲證A1MAB1，只要能證A1MAC1就可以了.證：連AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30， ACA1C1.設(shè)AC1A1，MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90 即AC1A1M.B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M，由三垂線定理得A1MAB1.評(píng)注：本題在證AC1A1M時(shí)，主要是利用三角函數(shù)，證+90，與常見的其他題目不太相同.307. 矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C點(diǎn)在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求證：CDAB；(2)求CD與平面ABD所成角的余弦值.(1)證明 如圖所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM為CD與平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，連接MN，則MNBD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得DMCDCDCAABAD23.CD與平面ABD所成角的余弦值為308. 空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，PBA45，PBC60，M為AB的中點(diǎn).(1)求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB平面PMC.解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解 PAAB，APB90在RtAPB中，ABP45，設(shè)PAa，則PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB與平面PAB所成的角PBC60，BC與平面PBA的角為60.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M為AB的中點(diǎn)，則ABPM，ABCM.AB平面PCM.說明 要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.309. 在空間四邊形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB與平面ABC所成角分別為30和45。(1)直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié)論；(2)若點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，求點(diǎn)P到直線AB的距離.解析：主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角，點(diǎn)面間距離等概念應(yīng)用，空間想象力及推理能力.解 (1)AB與PC不能垂直，證明如下：假設(shè)PCAB，作PH平面ABC于H，則HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分別為HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四邊形ACBH為矩形.HCAB，ACBH為正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA與平面ABC所成角分別為PBH，PAH.由已知PBH45，PAH30，與PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45BHPHh.PAH30，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三垂線定理有PEAB，PE是點(diǎn)P到AB的距離.在RtPHE中，PEh.即點(diǎn)P到AB距離為h.評(píng)析：此題屬開放型命題，處理此類問題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導(dǎo)出矛盾的就否定結(jié)論(反證法)，導(dǎo)不出矛盾的，就說明與條件相容，可采用演繹法進(jìn)行推理，此題(1)屬于反證法.310. 平面內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB，過A作SA平面，在半圓上任取一點(diǎn)M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影.(1)求證：NHSB.(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系?(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形?(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線?解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間想象力.解 (1)連AM，BM.AB為已知圓的直徑，如圖所示.AMBM，SA平面，MB，SAMB.AMSAA，BM平面SAM.AN平面SAM，BMAN.ANSM于N，BMSMM，AN平面SMB.AHSB于H，且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均為直角三角形.BM平面SAM，BMA，BMS均為直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均為直角三角形.SB平面AHN. SHA、BHA、SHN均為直角三角形綜上所述，圖中共有10個(gè)直角三角形.(4)由SA