四面體外接球的球心、半徑求法.doc

.四面體外接球的球心、半徑求法1、 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼浚洪L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即【例題】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為的長(zhǎng)即： 所以球的表面積為2、 出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，, 因?yàn)?所以知所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心 所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。3、 出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解【例題】：已知在三棱錐中，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標(biāo)系 由平面知識(shí)得 設(shè)球心坐標(biāo)為 則,由空間兩點(diǎn)間距離公式知 解得 所以半徑為【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式：4、 四面體是正四面體 圖1處理球的“內(nèi)切”“外接”問題 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。作為這種特殊的位置關(guān)系在高考中也是考查的重點(diǎn)，但同學(xué)們又因缺乏較強(qiáng)的空間想象能力而感到模糊。解決這類題目時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置及球心的位置，畫好截面圖是關(guān)鍵，可使這類問題迎刃而解。 一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題例1.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為正四面體的表面積正四面體的體積， 在中，即，得，得【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為 ( 為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系。例2設(shè)棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.圖2解：平面，由此，面面.記是的中點(diǎn)，從而.平面，設(shè)球是與平面、平面、平面都相切的球.如圖2，得截面圖及內(nèi)切圓不妨設(shè)平面，于是是的內(nèi)心.設(shè)球的半徑為，則，設(shè),.,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，滿足條件的球最大半徑為. 練習(xí)：一個(gè)正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：）【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)棱錐的對(duì)稱性確定內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)位置，作出截面圖是解題的關(guān)鍵。圖3圖4圖5二、球與棱柱的組合體問題1 正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2 與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3 正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。例3.在球面上有四個(gè)點(diǎn)、.如果、兩兩互相垂直，且,那么這個(gè)球的表面積是_.解：由已知可得、實(shí)際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點(diǎn)的三條棱，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，連結(jié)過點(diǎn)的一條對(duì)角線，則過球心，對(duì)角線 練習(xí)：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）4構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，則，正三棱柱的高為，由中，得， ，練習(xí)：正四棱柱的各頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，求正四棱柱的側(cè)面積的最大值。（答案為：）【點(diǎn)評(píng)】“內(nèi)切”和“外接”等有關(guān)問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，是解決這類問題的最佳途徑。勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為時(shí)，它的外接球半徑為。平面向量重點(diǎn)知識(shí)回顧1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母、等表示；平面向量的坐標(biāo)表示：分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，。；若，則，3.零向量、單位向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為； 長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行.向量、平行，記作.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6向量的基本運(yùn)算（1） 向量的加減運(yùn)算幾何運(yùn)算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進(jìn)行。坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2) (2) 平面向量的數(shù)量積 ： ab=cos設(shè)a =(x1,y1), b =(x2,y2)則ab=x1x2+y1y2（3）兩個(gè)向量平行的充要條件 = 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則 x1y2-x2y1=0（4）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是 =0設(shè) =(x1,y1)， =(x2,y2)，則 x1x2+y1y2=0.向量的加法、減法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： -= + (-)；差向量的意義： = , =, 則=- 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則，。向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)7實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）|=|；（2）0時(shí)與方向相同；cos2x，則x的取值范圍是（ ）A.x|2kx2k+，kZ B.x|2k+x2k+，kZC.x|kxk+，kZ D.x|k+xk+，kZ18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2xsin2x0，所以2k+2x2k+，kZ.解得k+xk+，kZ（注：此題也可用降冪公式轉(zhuǎn)化為cos2xcos2x得sin2x1sin2x，sin2x.因此有sinx或sinx.由正弦函數(shù)的圖象（或單位圓）得2k+x2k+或2k+x2k+（kZ），2k+x2k+可寫作（2k+1）+x（2k+1）+，2k為偶數(shù)，2k+1為奇數(shù)，不等式的解可以寫作n+xcotB.tancos D.sincos23.答案：A圖413解法一：因?yàn)闉榈诙笙藿牵瑒t2k2k（kZ），即為第一象限角或第三象限角，從單位圓看是靠近軸的部分如圖413，所以tancot.解法二：由已知得：2k2k，kk，k為奇數(shù)時(shí)，2n2n（nZ）；k為偶數(shù)時(shí)，2n2n（nZ），都有tancot，選A.評(píng)述：本題主要考查象限角的概念和三角函數(shù)概念，高于課本.24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinx（01在區(qū)間0，上的最大值是，則 .24.答案： 解析：01 T2 f（x）在0，區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)f（x）maxf（）即2sin 又01 解得25.（2002北京文，13）sin，cos，tan從小到大的順序是 .25.答案：cossintan 解析：cos0，tantan 0x時(shí)，tanxxsinx0 tansin0 tansincos26.（1997全國(guó)，18）的值為_.26.答案：2解析：.評(píng)述：本題重點(diǎn)考查兩角差的三角公式、積化和差公式、半角公式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).27.（1996全國(guó)，18）tan20+tan40+tan20tan40的值是_.27.答案： 解析：tan60=，tan20+tan40=tan20tan40，tan20+tan40+tan20tan40=.28.（1995全國(guó)理，18）函數(shù)ysin（x）cosx的最小值是 .28.答案： 解析：ysin（x）cosxsin（2x）sinsin（2x）當(dāng)sin（2x）1時(shí)，函數(shù)有最小值，y最?。?）.評(píng)述：本題考查了積化和差公式和正弦函數(shù)有界性（或值域）.29.（1995上海，17）函數(shù)ysincos在（2，2）內(nèi)的遞增區(qū)間是 .29.答案： 解析：ysincossin（），當(dāng)2k2k（kZ）時(shí)，函數(shù)遞增，此時(shí)4kx4k（kZ），只有k0時(shí)，（2，2）.30.（1994全國(guó)，18）已知sincos，（0，），則cot的值是 .30.答案：解法一：設(shè)法求出sin和cos，cot便可求了，為此先求出sincos的值.圖414將已知等式兩邊平方得12sincos變形得12sincos2，即（sincos）2又sincos，（0，）則，如圖414所以sincos，于是sin，cos，cot.解法二：將已知等式平方變形得sincos，又（0，），有cos0sin，且cos、sin是二次方程x2x0的兩個(gè)根，故有cos，sin，得cot.評(píng)述：本題通過考查三角函數(shù)的求值考查思維能力和運(yùn)算能力，方法較靈活.31.（2000全國(guó)理，17）已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?31.解：（1）ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinxcosx）1cos2xsin2x（cos2xsinsin2xcos）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ.所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為x|xk，kZ.（2）將函數(shù)ysinx依次進(jìn)行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖象.評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力.32.（2000全國(guó)文，17）已知函數(shù)ysinxcosx，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?32.解：（1）ysinxcosx2（sinxcoscosxsin）2sin（x），xRy取得最大值必須且只需x2k，kZ，即x2k，kZ.所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x2k，kZ（2）變換的步驟是：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到函數(shù)y2sin（x）的圖象；經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)ysinxcosx的圖象.評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力.33.（1995全國(guó)理，22）求sin220cos250sin20cos50的值.33.解：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70sin70sin70.評(píng)述：本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力.34.（1994上海，21）已知sin，（，），tan（），求tan（2）的值.34.解：由題設(shè)sin，（，），可知cos，tan又因tan（），tan，所以tan2tan（2）35.（1994全國(guó)理，22）已知函數(shù)f（x）=tanx，x（0，），若x1、x2（0，），且x1x2，證明f（x1）f（x2）f（）.35.證明：tanx1tanx2因?yàn)閤1，x2（0，），x1x2，所以2sin（x1x2）0，cosx1cosx20，且0cos（x1x2）1，從而有0cos（x1x2）cos（x1x2）1cos（x1x2），由此得tanx1tanx2，所以（tanx1tanx2）tan 即f（x1）f（x2）f（）.36.已知函數(shù)求它的定義域和值域； 求它的單調(diào)區(qū)間； 判斷它的奇偶性； 判斷它的周期性.解（1）x必須滿足sinx-cosx0，利用單位圓中的三角函數(shù)線及，kZ 函數(shù)定義域?yàn)?，kZ 當(dāng)x時(shí)， 函數(shù)值域?yàn)椋?）定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,不具備奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函數(shù)f(x)最小正周期為2注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以、象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)；以、象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)37. 求函數(shù)f (x)=的單調(diào)遞增區(qū)間解：f (x)= 令,y=,t是x的增函數(shù),又00,2kpt2kp+ (kZ),2kp2kp+ (