2018年北京市豐臺(tái)區(qū)高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題及答案.doc

豐臺(tái)區(qū)20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí) 高三數(shù)學(xué)（理科） 2018.01第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則(A) (B) (C) (D) （2）“”是“”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件(D) 既不充分也不必要條件（3）在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是(A) 直線(B) 圓(C) 橢圓(D)雙曲線（4）若，滿足 則的最大值是(A) (B) (C) (D) （5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的的值在區(qū)間內(nèi)，那么輸出的屬于 (A) (B) (C) (D) （6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱的棱長為(A) (B) (C) (D) （7）過雙曲線，的一個(gè)焦點(diǎn)作一條與其漸近線垂直的直線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為(A) (B) (C) (D) （8）全集，非空集合，且中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對稱下列命題：若，則；若，則中至少有個(gè)元素；若，則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)；若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4第二部分 （非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知單位向量，的夾角為，則 （10）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù) （11）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字作答） （12）等差數(shù)列的公差為2，且，成等比數(shù)列，那么 ，數(shù)列的前9項(xiàng)和 （13）能夠說明“方程的曲線是橢圓”為假命題的一個(gè)的值是 （14）已知函數(shù) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有 個(gè)零點(diǎn)； 若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題共13分）在中，（）求角；（）若，求的值（16）（本小題共13分）某校為了鼓勵(lì)學(xué)生熱心公益，服務(wù)社會(huì)，成立了“慈善義工社”2017年12月，該校“慈善義工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動(dòng)的機(jī)會(huì)，學(xué)生可通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)報(bào)名參加活動(dòng)為了解學(xué)生實(shí)際參加這4次活動(dòng)的情況，該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表，其中“”表示參加，“”表示未參加學(xué)生人數(shù)公益活動(dòng)第1次第2次第3次第4次3020151210根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)，該校4000名學(xué)生中約有120名這4次活動(dòng)均未參加（）求，的值；（）從該校4000名學(xué)生中任取一人，試估計(jì)其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)的概率；（）已知學(xué)生每次參加公益活動(dòng)可獲得10個(gè)公益積分，任取該校一名學(xué)生，記該生2017年12月獲得的公益積分為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（17） （本小題共14分）在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，分別是，的中點(diǎn)， （）求證：/平面；（）求與平面所成角的正弦值； （）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由 （18）（本小題共13分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（19）（本小題共14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為 （）求的方程；（）設(shè)點(diǎn)在曲線上，軸上一點(diǎn)（在點(diǎn)右側(cè)）滿足平行于的直線與曲線相切于點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由（20）（本小題共13分）在數(shù)列中，若，是整數(shù)，且 ，且 （）若，寫出，的值； （）若在數(shù)列的前2018項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，求的最大值； （）若數(shù)列中，是奇數(shù)，證明：對任意，不是4的倍數(shù)（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）豐臺(tái)區(qū)20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)2018.01高三數(shù)學(xué)（理科）答案及評分參考 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案CABDADCC二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9 10 11 12， 13中任取一值即為正確答案 14 ， 注：第12，14題第一個(gè)空2分；第二個(gè)空3分。三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（15）（本小題共13分）解：（）因?yàn)?，所以 因?yàn)?， 所以 ， 所以 ， 所以 6分（）由，得 解得 由余弦定理可得 ， 解得 13分（16）（本小題共13分）解：（）依題意 ， 所以 因?yàn)?，所以， 4分（）設(shè)“從該校所有學(xué)生中任取一人，其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)”為事件， 則 所以從該校所有學(xué)生中任取一人，其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)的概率約為 8分（）可取， 9分； ； ； ；所以隨機(jī)變量的分布列為：0102030400.030.20.50.120.1512分所以 13分（17）（本小題共14分）（）證明：取中點(diǎn)，連接， 因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以 ，且 因?yàn)槭蔷匦危侵悬c(diǎn)，所以 ，所以為平行四邊形 所以 又因?yàn)?平面，平面，所以 平面 5分 （）解：因?yàn)槠矫妫?所以 ，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危匀鐖D建立直角坐標(biāo)系， 所以 ，所以 ，設(shè)平面的法向量為 ，因?yàn)?，所以 令 ，所以 ， 所以 8分又因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，所以 所以與平面所成角的正弦值為 10分（）解：因?yàn)閭?cè)棱底面，所以只要在上找到一點(diǎn)，使得，即可證明平面平面設(shè)上存在一點(diǎn)，則 ，所以 因?yàn)?，所以令 ，即，所以所以在存在一點(diǎn)，使得平面平面，且 14分（18）（本小題共13分） 解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?由 ，可得 或 4分當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間； 5分當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 6分當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：+0-所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 7分（）由（）知，當(dāng)時(shí)，符合題意 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即， 所以 ，所以 10分當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即 所以 ，所以 12分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 13分（19）（本小題共14分）解：（）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線 設(shè)的方程為， 則，即所以的軌跡方程為 5分（）設(shè)，則， 所以直線的斜率為 設(shè)與平行，且與拋物線相切的直線為，由 得 ， 由 得 所以，所以點(diǎn) 當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，整理得， 所以直線過點(diǎn) 12分當(dāng) ，即 時(shí)，直線的方程為 ，過點(diǎn) 綜上所述，直線過定點(diǎn) 14分（20）（本小題共13分）（）解：，所以， 3分（）解：（）當(dāng)，都是偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，代入得到是偶數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是偶數(shù)；如此下去，可得到數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是偶，偶，偶，偶，所以前2018項(xiàng)中共有0個(gè)奇數(shù)（）當(dāng)，都是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，代入得到是偶數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是奇數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是奇數(shù)；如此下去，可得到數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，所以前2018項(xiàng)中共有1346個(gè)奇數(shù)（）當(dāng)是奇數(shù)、是偶數(shù)時(shí)，理由同（），可得數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，所以前2018項(xiàng)中共有1345個(gè)奇數(shù)（）當(dāng)是偶數(shù)、是奇數(shù)時(shí)，理由同（），可得數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，所以前2018項(xiàng)中共有1345個(gè)奇數(shù)綜上所述，前2018項(xiàng)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值是1346 8分（）證明：因?yàn)槭瞧鏀?shù)， 所以由（）知，不可能都是偶數(shù)，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三種情況因?yàn)槭瞧鏀?shù)，且，所以也是奇數(shù)所以為偶數(shù)，且不是4的倍數(shù)因