數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)圖像及性質(zhì).ppt

二次函數(shù)復(fù)習(xí) 一 概念 形如y ax2 bx c a b c是常數(shù) a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 其中二次項(xiàng)為ax2 一次項(xiàng)為bx 常數(shù)項(xiàng)c 二次項(xiàng)的系數(shù)為a 一次項(xiàng)的系數(shù)為b 常數(shù)項(xiàng)c 1 下列函數(shù)中 哪些是二次函數(shù) 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 二次函數(shù)圖象及畫法 頂點(diǎn)坐標(biāo) 與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 與Y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及它關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) x1 0 x2 0 0 c c x1 x2 O x y c c 二 平移 配方 向左 向右 平移 m 個(gè)單位 向上 向下 平移 k 個(gè)單位 通過配方 1 將函數(shù)y x2 4x 5轉(zhuǎn)化成y a x m 2 k的形式 2 將函數(shù)y 2x2 4x 5轉(zhuǎn)化成y a x m 2 k的形式 1 由y 2x2的圖象向左平移兩個(gè)單位 再向下平移三個(gè)單位 得到的圖象的函數(shù)解析式為 2 由函數(shù)y 3 x 1 2 2的圖象向右平移4個(gè)單位 再向上平移3個(gè)單位 得到的圖象的函數(shù)解析式為 y 2 x 2 2 3 2x2 8x 5 y 3 x 1 4 2 2 3 3x2 30 x 70 3 拋物線y ax2向左平移一個(gè)單位 再向下平移8個(gè)單位且y ax2過點(diǎn) 1 2 則平移后的解析式為 y 2 x 1 2 8 4 將拋物線y x2 6x 4如何移動(dòng)才能得到y(tǒng) x2 逆向思考 由y x2 6x 4 x 3 2 5知 先向左平移3個(gè)單位 再向上平移5個(gè)單位 三 開口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 1 開口方向看a的值 2 求對(duì)稱軸 直線x m 直線x 3 求頂點(diǎn)坐標(biāo) m k 1 y x2 2 y x 1 2 3 y x 1 2 3 4 y 2 x 1 2 3 5 y 2x2 3 6 y 3x2 6x 5 1 求下列函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo) 7 y 2x2 4x 5 2 已知二次函數(shù)y x2 bx c的頂點(diǎn)坐標(biāo) 1 2 求b c的值 3 已知二次函數(shù)y x2 4x c的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上 求c的值 4 已知二次函數(shù)y x2 4x c的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線y 2x 1上 求c的值 求下列函數(shù)的最大值 或最小值 和對(duì)應(yīng)的自變量的值 y 2x2 8x 1 y 3x2 5x 1 四 如何求二次函數(shù)的最值 當(dāng)x m時(shí)y最小 大 k 3 y 2 x 1 2 3 4 y 2x2 3 2 已知二次函數(shù)y x2 4x c有最小值為2 求c的值 3 已知二次函數(shù)y 2x2 bx c 當(dāng)x 2時(shí)函數(shù)有最大值為2 求b c的值 五 函數(shù)的增減性 2 已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo) m k 通常設(shè)拋物線解析式為 3 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn) x1 0 x2 0 通常設(shè)解析式為 1 已知拋物線上的三點(diǎn) 通常設(shè)解析式為 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 六 求拋物線解析式常用的三種方法 一般式 頂點(diǎn)式 交點(diǎn)式或兩根式 1 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) 0 0 1 3 2 8 求下列條件下的二次函數(shù)的解析式 3 已知二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線x 3 并且經(jīng)過點(diǎn) 6 0 和 2 12 2 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 3 且圖象過點(diǎn) 3 2 七 判別a b c b2 4ac 2a b a b c的符號(hào) 1 a的符號(hào) 由拋物線的開口方向確定 開口向上 a 0 開口向下 a 0 2 C的符號(hào) 由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定 交點(diǎn)在x軸上方 c 0 交點(diǎn)在x軸下方 c 0 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) c 0 3 b的符號(hào) 由對(duì)稱軸的位置確定 對(duì)稱軸在y軸左側(cè) a b同號(hào) 對(duì)稱軸在y軸右側(cè) a b異號(hào) 對(duì)稱軸是y軸 b 0 4 b2 4ac的符號(hào) 由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定 與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) b2 4ac 0 與x軸有一個(gè)交點(diǎn) b2 4ac 0 與x軸無交點(diǎn) b2 4ac 0 練一練 已知y ax2 bx c的圖象如圖所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b 2a 2a b 0 2a b 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 0 1 1 2 填空 1 拋物線y x2 3x 2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 2 拋物線y 2x2 5x 3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 0 2 1 0 和 2 0 0 3 1 0 和 1 5 0 八 如何求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 3 坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)圍成的三角形面積是 3 75 九 如何求當(dāng)x為何值時(shí) y 0 y 0 y 0 0 當(dāng)x x1或x x2時(shí) y 0 當(dāng)xx2時(shí) y 0 當(dāng)x10 x1 x2 當(dāng)x x1或x x2時(shí) y 0 當(dāng)xx2時(shí) y 0 當(dāng)x1 x x2時(shí) y 0 2 已知二次函數(shù)y x2 4x 5 求當(dāng)x為何值時(shí) y 0 y 0 y 0 1 如圖求當(dāng)x為何值時(shí) y 0 y 0 y 0 十 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況 有兩個(gè)交點(diǎn) 有一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn) 當(dāng)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí) 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y 0時(shí)自變量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 有兩個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根 b2 4ac 0 有一個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 b2 4ac 0 沒有交點(diǎn) 沒有實(shí)數(shù)根 b2 4ac 0 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解 1 根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值 判斷方程ax2 bx c 0 a 0 a b c為常數(shù) 一個(gè)解的范圍是 3 x 3 23 3 23 x 3 24 3 24 x 3 25 3 25 x 3 26 例題分析 例1 已知一拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 2 且過點(diǎn) 1 2 求該拋物線的解析式 例2 已知拋物線 1 將函數(shù)化為的形式 2 說出該函數(shù)圖象可由拋物線如何平移得到 3 說出該函數(shù)的對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 最值情況 例2 已知二次函數(shù) 1 當(dāng)k為何值時(shí) 函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn) 2 當(dāng)k在什么范圍取值時(shí) 圖象的頂點(diǎn)在第四象限 例3 已知拋物線y x2 2x 8 1 求證 該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn) 2 若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A B 且它的頂點(diǎn)為P 求 ABP的面積 1 已知二次函數(shù)y ax2 5x c的圖象如圖 1 當(dāng)x為何值時(shí) y隨x的增大而增大 2 當(dāng)x為何值時(shí) y 0 3 求它的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo) 練一練 2 函數(shù)y ax2 ax 3x 1的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) 那么a的值和交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 9或1 3 寫出一個(gè)開口向下 對(duì)稱軸是直線x 3 且與y軸交于 0 2 的拋物線解析式 4 已知函數(shù)y x2 2x 3 結(jié)合圖象 試確定x取何值時(shí) y 0 y 0 y 0 5 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2 3 且圖象過點(diǎn) 3 2 1 求此二次函數(shù)的解析式 2 設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸交于A B兩點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 求線段OA OB的長(zhǎng)度之和 6 把拋物線y 3x2繞著它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后所得的圖象解析式是 y 3x2 7 已知二次函數(shù)y a x h 2 k的圖象過原點(diǎn) 最小值是 8 且形狀與拋物線y 0 5x2 3x 5的形狀相同 其解析式為 y 0 5 x 16 2 8 8 若x為任意實(shí)數(shù) 則二次函數(shù)y x2 2x 3的函數(shù)值y的取值范圍是 9 若拋物線y ax2 2x c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 2 3 則a c y 2 0 5 1 10 拋物線y 2x2 4x 1是由拋物線y 2x2 bx c向左平移1個(gè)單位 再向下平移2個(gè)單位得到的 則b c 11 已知拋物線y 2x2 bx 8的頂點(diǎn)在x軸上 則b 12 若二次函數(shù)y m 8 x2 2x m2 64的圖象過原點(diǎn) 則m 8 3 8 8 13 如果點(diǎn)P 1 a 和點(diǎn)Q 1 b 在拋物線y x2 1上 那么線段PQ的長(zhǎng)為 14 已知y x2 12 k x 12 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而增大 當(dāng)x 1時(shí) y隨x的增大而減小 則k的值為 2 10 15 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1 2 則a b c的值是 16 直線y 2x 3與拋物線y x2 3m 1 x 2m的對(duì)稱軸交于點(diǎn) 2 1 則m 2 1 17 拋物線y x m x 3 k m與拋物線y x 3 2 4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 則m k 18 已知二次函數(shù)的圖象過 2 0 6 0 兩點(diǎn) 且頂點(diǎn)在直線y 0 75x上 求此二次函數(shù)的解析式 9 y 0 75 x 4 2 3 選一選拋物線y x2 4x 3的對(duì)稱軸是 A直線x 1B直線x 1C直線x 2D直線x 2 2 拋物線y 3x2 1的 A開口向上 有最高點(diǎn)B開口向上 有最低點(diǎn)C開口向下 有最高點(diǎn)D開口向下 有最低點(diǎn) 3 若y ax2 bx c a 0 與軸交于點(diǎn)A 2 0 B 4 0 則對(duì)稱軸是 A直線x 2B直線x 4C直線x 3D直線x 3 4 若y ax2 bx c a 0 與軸交于點(diǎn)A 2 m B 4 m 則對(duì)稱軸是 A直線x 3B直線x 4C直線x 3D直線x 2 c B C A x 5 在同一直角坐標(biāo)系中 一次函數(shù)y ax c和二次函數(shù)y ax2 c的圖象大致為 B 例1 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的最大值是2 圖象頂點(diǎn)在直線y x 1上 并且圖象經(jīng)過點(diǎn) 3 6 求a b c 解 二次函數(shù)的最大值是2 拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2又 拋物線的頂點(diǎn)在直線y x 1上 當(dāng)y 2時(shí) x 1 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 2 設(shè)二次函數(shù)的解析式為y a x 1 2 2又 圖象經(jīng)過點(diǎn) 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函數(shù)的解析式為y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 綜合創(chuàng)新 1 已知拋物線y ax2 bx c與拋物線y x2 3x 7的形狀相同 頂點(diǎn)在直線x 1上 且頂點(diǎn)到x軸的距離為5 請(qǐng)寫出滿足此條件的拋物線的解析式 解 拋物線y ax2 bx c與拋物線y x2 3x 7的形狀相同 a 1或 1又 頂點(diǎn)在直線x 1上 且頂點(diǎn)到x軸的距離為5 頂點(diǎn)為 1 5 或 1 5 所以其解析式為 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5 2 若a b c 0 a 0 把拋物線y ax2 bx c向下平移4個(gè)單位 再向左平移5個(gè)單位所到的新拋物線的頂點(diǎn)是 2 0 求原拋物線的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原拋物線的圖象經(jīng)過 1 0 2 新拋物線向右平移5個(gè)單位 再向上平移4個(gè)單位即得原拋物線 答案 y x2 6x 5 練習(xí)1 已知拋物線y ax2 bx 1的對(duì)稱軸是x 1 最高點(diǎn)在直線y 2x 4上 1 求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 2 求拋物線解析式 3 求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 解 二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x 1 圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1又 圖象的最高點(diǎn)在直線y 2x 4上 當(dāng)x 1時(shí) y 6 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 1 6 例2 已知拋物線y ax2 bx c與x軸正 負(fù)半軸分別交于A B兩點(diǎn) 與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C 若OA 4 OB 1 ACB 90 求拋物線解析式 解 點(diǎn)A在正半軸 點(diǎn)B在負(fù)半軸OA 4 點(diǎn)A 4 0 OB 1 點(diǎn)B 1 0 又 ACB 90 OC 2 點(diǎn)C 0 2 設(shè)y a x x 得 a a y x x 問題2這位同學(xué)身高1 7m 若在這次跳投中 球在頭頂上方0 25m處出手 問 球出手時(shí) 他跳離地面的高度是多少 嘗試成功 如圖 有一次 我班某同學(xué)在距籃下4m處跳起投籃 球運(yùn)行的路線是拋物線 當(dāng)球運(yùn)行的水平距離2 5m時(shí) 達(dá)到最大高度3 5m 然后準(zhǔn)確落入籃圈 已知籃圈中心到地面的距離為3 05m 3 05m 2 5m 3 5m 問題1建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 求拋物線的解析式 4m 試一試 你知道嗎 平時(shí)我們?cè)谔K時(shí) 繩甩到最高處的形狀可近似的看為拋物線 如圖所示 正在甩繩的甲 乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4米 距地面均為1米 學(xué)生丙 丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1米 2 5米處 繩子甩到最高處時(shí) 剛好通過他們的頭頂 已知學(xué)生丙的身高是1 5米 請(qǐng)你算一算學(xué)生丁的身高 1m 2 5m 4m 1m 甲 乙 丙 丁 0 1 4 1 1 1 5 練習(xí) 在矩形荒地ABCD中 AB a BC b a b 0 今在四邊上分別選取E F G H四點(diǎn) 且AE AH CF CG x 建一個(gè)花園 如何設(shè)計(jì) 可使花園面積最大 D C A B G H F E a b b 2 如圖 在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆 圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃 設(shè)花圃的寬AB為x米 面積為S平方米 1 求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍 2 當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大 最大值是多少 3 若墻的最大可用長(zhǎng)度為8米 則求圍成花圃的最大面積 解 1 AB為x米 籬笆長(zhǎng)為24米 花圃寬為 24 4x 米 3 墻的可用長(zhǎng)度為8米 2 當(dāng)x 時(shí) S最大值 36 平方米 S x 24 4x 4x2 24x 0 x 6 0 24 4x 84 x 6 當(dāng)x 4m時(shí) S最大值 32平方米 3 某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條產(chǎn)品加工生產(chǎn)線 若不計(jì)維修 保養(yǎng)費(fèi)用 預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬 該生產(chǎn)線投產(chǎn)后 從第1年到第x年的維修 保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y 萬元 且y ax2 bx 若第1年的維修 保養(yǎng)費(fèi)用為2萬元 到第2年為6萬元 1 求y的解析式 2 投產(chǎn)后 這個(gè)企業(yè)在第幾年就能收回投資 解 1 由題意 x 1時(shí) y 2 x 2時(shí) y 2 4 6 分別代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 設(shè)g 33x 100 x2 x 則g x2 32x 100 x 16 2 156 由于當(dāng)1 x 16時(shí) g隨x的增大而增大 故當(dāng)x 4時(shí) 即第4年可收回投資 問題4 某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)40元一個(gè)的某種商品按50元一個(gè)售