二次函數(shù)的最值問題.doc

典型中考題（有關(guān)二次函數(shù)的最值）屠園實(shí)驗(yàn) 周前猛一、選擇題1 已知二次函數(shù)y=a（x-1）2+b有最小值 1，則a與b之間的大小關(guān)( )A. ab D不能確定答案：C2當(dāng)2xl時，二次函數(shù) y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）A、- B、 C、 D或-答案：C當(dāng)2xl時，二次函數(shù) y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，二次函數(shù)在2xl上可能的取值是x=2或x=1或x=m.當(dāng)x=2時，由 y=-（x-m）2+m2+1解得m=- ，此時，它在2xl的最大值是 ，與題意不符.當(dāng)x=1時，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2，此時y=-（x-2）2+5，它在2xl的最大值是4，與題意相符.當(dāng)x= m時，由 4=-（x-m）2+m2+1解得m=，當(dāng)m=此時y=-（x+）2+4.它在2xl的最大值是4，與題意相符；當(dāng)m=，y=-（x-）2+4它在2xl在x=1處取得，最大值小于4，與題意不符.綜上所述，實(shí)數(shù)m的值為.故選C 3 已知0x，那么函數(shù)y=-2x2+8x-6的最大值是（ ）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2該拋物線的對稱軸是x=2，且在x2上y隨x的增大而增大又0x，當(dāng)x=時，y取最大值，y最大=-2（-2）2+2=-2.5故選：C4、已知關(guān)于x的函數(shù).下列結(jié)論：存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0）點(diǎn)；函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸總有三個不同的交點(diǎn)；當(dāng)時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減??；若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負(fù)數(shù)。真確的個數(shù)是（ ）A,1個 B、2個 C 3個 D、4個答案：B分析：將（1，0）點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷；首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假；根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷；當(dāng)k=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當(dāng)k0時，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷.解：真，將（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0運(yùn)用方程思想；假，反例：k=0時，只有兩個交點(diǎn)運(yùn)用舉反例的方法；假，如k=1，當(dāng)x1時，先減后增；運(yùn)用舉反例的方法；真，當(dāng)k=0時，函數(shù)無最大、最小值；k0時，y最=，當(dāng)k0時，有最小值，最小值為負(fù)；當(dāng)k0時，有最大值，最大值為正運(yùn)用分類討論思想二、填空題：1、如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是 答案：122、已知直角三角形兩直角邊的和等于8，兩直角邊各為 時，這個直角三角形的面積最大，最大面積是 答案：4、4，8解：設(shè)直角三角形得一直角邊為x，則，另一邊長為8-x；設(shè)其面積為S.S= x(8-x)(0x4時，P（5，-2），當(dāng)m1時，P（-3，-14），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）； （3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0t4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過D作y 軸的平行線交AC于E，由題意可求得直線AC的解析式為， E點(diǎn)的坐標(biāo)為， 當(dāng)t=2時，DAC的面積最大， D（2，1）。4如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，線段EF在對角線AC上，EGAD，F(xiàn)HBC，垂足分別是G，H，且EG+FH=EF（1）求線段EF的長；（2）設(shè)EG=x，AGE與CFH的面積和為S，寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出S的最小值5如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)(C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N(1)求證：MNAB；(2)若AB的長為l0cm，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點(diǎn)C，使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由（1）由題中條件可得ACEDCB，進(jìn)而得出ACMDCN，即CM=CN，MCN是等邊三角形，即可得出結(jié)論；（2）可先假設(shè)其存在，設(shè)AC=x，MN=y，進(jìn)而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論解答（1）證明：ACD與BCE是等邊三角形，AC=CD，CE=BC，ACE=BCD，在ACE與DCB中，AC=CDACE=BCDCE=BCACEDCB（SAS），CAE=BDC，在ACM與DCN中，CAE=BDCAC=CDACM=DCNACMDCN，CM=CN，又MCN=180-60-60=60，MCN是等邊三角形，MNC=NCB=60即MNAB；（2）解：假設(shè)符合條件的點(diǎn)C存在，設(shè)AC=x，MN=y，6、如圖，在中，, 的面積為，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)(不與、重合)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)設(shè)以為折線將翻折，所得的與梯形重疊部分的面積記為y.（1）用x表示ADE的面積;（2）求出時y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出時y與x的函數(shù)關(guān)系式；（4）當(dāng)取何值時，的值最大？最大值是多少？解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 即 (2)BC=10 BC邊所對的三角形的中位線長為5當(dāng)0 時 （3）10時，點(diǎn)A落在三角形的外部,其重疊部分為梯形SADE=SADE= DE邊上的高AH=AH=由已知求得AF=5AF=AA-AF=x-5由AMNADE知（4）在函數(shù)中0x5 當(dāng)x=5時y最大為： 在函數(shù)中當(dāng)時y最大為：當(dāng)時，y最大為： 7、如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于C點(diǎn)，ABOCDEMXY且A（1，0）。（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)（2）判斷的形狀，證明你的結(jié)論。（3）點(diǎn)（m，0）是軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)+的值最小時，求m的值解：（1）將A（1，0）代入得，所以拋物線的解析式配方得：，所以頂點(diǎn)D（2）求出AC=，BC=，而AB=5，故為RT （3）作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)E（，0），連接DE交X軸于點(diǎn)M，通過兩點(diǎn)式可求得直線DE的解析式：，當(dāng)=0時，解得=（，0）即m=8如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo)分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值 （2）要弄清PC的長，實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值（3）當(dāng)PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解解：（1）B（4，m）在直線線y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，=（）2 a+b+6， 6=16a+4b+6解得a=2，b=-8拋物線的解析式為y=2x2-8x+6（2）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6），PC=（n+2）-（2n2-8n+6），=-2n2+9n-4，=-2（n-）2+，PC0，當(dāng)n=時，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則APC=90由題意易知，PCy軸，APC=45，因此這種情形不存在；ii）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則PAC=90如答圖3-1，過點(diǎn)A（，）作ANx軸于點(diǎn)N，則ON=，AN=過點(diǎn)A作AM直線AB，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，則：k+b= ，3k+b=0，解得k=-1，b=3直線AM的解析式為：y=-x+3 又拋物線的解析式為：y=2x2-8x+6 聯(lián)立式，解得：x=3或x=（與點(diǎn)A重合，舍去）C（3，0），即點(diǎn)C、M重合當(dāng)x=3時，y=x+