《淺談多項(xiàng)式因式分解的方法》.doc

.貴州師范大學(xué)求是學(xué)院本科期末論文（設(shè)計(jì)）期末論文（設(shè)計(jì)）題目淺談多項(xiàng)式因式分解的方法 學(xué)生姓名： 何 娜 科任教師： 龍 偉 鋒 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2012級(jí) 學(xué) 號(hào)： 122008011013 2015年 12 月 10 日多項(xiàng)式因式分解的方法摘要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中以及上個(gè)學(xué)期的實(shí)習(xí)實(shí)踐中（上初三的數(shù)學(xué)課），常常遇到多項(xiàng)式因式分解問(wèn)題，本文對(duì)一元多項(xiàng)式因式分解的方法進(jìn)行了初步的探索，歸納了一元多項(xiàng)式因式分解的12種方法，給出具體實(shí)例，并對(duì)每種方法加以評(píng)論。關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式，因式分解 多項(xiàng)式在高等代數(shù)中的重要性使我們有必要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行深入研究。在高等代數(shù)中已經(jīng)證明了數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)的每一個(gè)次多項(xiàng)式都可以分解成這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)不可約多項(xiàng)式的乘積，并且表達(dá)式唯一（因式次序及零次因式的差異除外）。本文將對(duì)多項(xiàng)式因式分解的方法進(jìn)行總結(jié)歸納。多項(xiàng)式因式分解的方法很多，但具體到某一個(gè)多項(xiàng)式，要針對(duì)其特征，選取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍芴岣呓忸}的效率。所以我們要靈活掌握這些方法，這會(huì)為我們解題帶來(lái)很多方便。 求根法（參見(jiàn)文獻(xiàn)）設(shè)多項(xiàng)式=是整系數(shù)多項(xiàng)式，第一步 寫出首項(xiàng)系數(shù)的全部因數(shù)，；第二步 寫出常數(shù)項(xiàng)的全部因數(shù)，；第三步 用綜合除法對(duì)試驗(yàn)，確定的根；第四步 寫出的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例1 求=在有理數(shù)域上的因式分解式。解 先把它轉(zhuǎn)換成求=的有理根。的常數(shù)項(xiàng)和首項(xiàng)系數(shù)的全部因數(shù)分別為，與，,則需要檢驗(yàn)的有理數(shù)為，.由于=0，故-1是的根，且易知=.按照同樣的方法可求=的有理根，易知的有理根為，且是的單根。= =.例2 求=在有理數(shù)域上的因式分解式。解 先把它轉(zhuǎn)換成求=的有理根。由于是首項(xiàng)系數(shù)是1的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項(xiàng)-14的因數(shù)。由于-14的因數(shù)為，經(jīng)檢驗(yàn)知， ， ， ，.故2是的有理根，又由綜合除法，得2 1 -6 15 -14 2 -8 142 1 -4 7 0 2 -41 -2 3可見(jiàn)2是的單根，所以=. 待定系數(shù)法例3 求在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 的首項(xiàng)系數(shù)1的因子有，常數(shù)項(xiàng)-4的因子有，故的根有可能是，將其代入逐一檢驗(yàn)，得出-1和4是的有理根。不妨設(shè)=，利用多項(xiàng)式乘法法則將右邊展開(kāi)且合并同類項(xiàng)，得=.與進(jìn)行逐項(xiàng)比較，得.所以，= =. 重因式分離法（參見(jiàn)文獻(xiàn)）數(shù)域P上任一次數(shù)大于0的多項(xiàng)式都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)分解式 （*）其中為的首項(xiàng)系數(shù)，是P上首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式且兩兩互異，都是正整數(shù)。對(duì)（*）式兩邊求導(dǎo)，得 ，其中每個(gè)都不能整除，用輾轉(zhuǎn)相除法求出，則存在使 ，由此可見(jiàn)和具有完全相同的因式，差別只是中的因式的重?cái)?shù)為1，所以求 的因式就可以轉(zhuǎn)化成求的因式。例4 求多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 由， ，得 ，所以的不可約因式為.但是 ，由重因式定理，是 的4重因式，所以 .例5 求多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。 解 由=，用輾轉(zhuǎn)相除法，得=.于是 =.由于與有完全相同的不可約因式，可見(jiàn)有根1，-2，再用綜合除法1 1 2 -6 -8 17 6 -20 8 1 3 -3 -11 6 12 -81 1 3 -3 -11 6 12 -8 0 1 4 1 -10 -4 81 1 4 1 -10 -4 8 0 1 5 6 -4 -8 1 1 5 6 -4 -8 0 1 6 12 81 1 6 12 8 0 1 7 19 1 7 19 27可見(jiàn)1是的四重根，-2是的三重根。所以=. 利用矩陣的初等行變換法（參見(jiàn)文獻(xiàn)）因?yàn)?，并且滿足=，所以可根據(jù)以上過(guò)程求出，再用方法三求出多項(xiàng)式標(biāo)準(zhǔn)分解式。例6 求在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 由易見(jiàn)，=，又因?yàn)?，所以 . 利用行列式的性質(zhì)（參見(jiàn)文獻(xiàn)）在高等代數(shù)中，行列式是一個(gè)較好的工具，我們可以巧妙地運(yùn)用行列式的相關(guān)性質(zhì)對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.我們知道二階行列 =，由此啟發(fā)，可以將一個(gè)多項(xiàng)式F表示成2個(gè)新的多項(xiàng)式的差，而每個(gè)新的多項(xiàng)式又可表成2個(gè)多項(xiàng)式的乘積，即F=MN-PQ，也即是F=,這樣就把多項(xiàng)式F轉(zhuǎn)換成二階行列式的形式，然后再對(duì)這個(gè)二階行列式進(jìn)行初等變換，提出因式。例7 對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。解 原式= = = = =. 把轉(zhuǎn)化為 ，而不是其它形式，是為了在接下來(lái)的初等變換中，提出公因子。這種化為二階行列式進(jìn)行因式分解的方法技巧性較強(qiáng)，關(guān)鍵在于如何把原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成恰當(dāng)?shù)亩A行列式，操作有點(diǎn)難度，不便通用。下面介紹一種比較一般的方法。對(duì)任意的一元n次多項(xiàng)式均可寫成n階行列式的形式在此基礎(chǔ)上，利用行列式性質(zhì)，通過(guò)降階和提取公因式的方法分解。例8 對(duì)多項(xiàng)式=進(jìn)行因式分解。解 =-=. 利用單位根的性質(zhì)（參見(jiàn)文獻(xiàn)）復(fù)數(shù)1的n次根，即多項(xiàng)式的n個(gè)復(fù)根，稱為n次單位根。n次單位根是。單位根在復(fù)數(shù)域中有特殊的地位，具有許多獨(dú)特的性質(zhì)。下面我們利用它來(lái)求多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域或有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例9 求在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 因?yàn)椋韵惹笤趯?shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。的8個(gè)單位根是， ，其中是實(shí)根，其余都是虛根，與共軛，與共軛，與共軛。又由于，所以在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為=.從而得到在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為=.值得注意的是，利用單位根分解因式的方法局限性很大，僅適用于和在指定數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。 利用復(fù)根進(jìn)行分解（參見(jiàn)文獻(xiàn)）形如多項(xiàng)式，在中的因式分解利用復(fù)根進(jìn)行分解。因?yàn)?，其中?的次單位根。又因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式復(fù)根共軛出現(xiàn)，而， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，均為根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只有1為根，即當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，有=；同理 ,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，無(wú)實(shí)根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只有-1為根，即當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=.例10 求出復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的分解式。解 由=0得，則，。即 ，.所以復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的分解式分別為= =. 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次是偶數(shù)的多項(xiàng)式的因式分解方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)）設(shè)多項(xiàng)=，把的各項(xiàng)除以，并轉(zhuǎn)化為方程得再用換元法,令，再將其代入，求出、的值，再寫出的分解式。例11 在實(shí)數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解 把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程 .用換元法,令，有，代入得 ，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ， .所以 = . 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次是奇數(shù)的多項(xiàng)式的因分解方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)）這種多項(xiàng)式的特點(diǎn)是-1是它們的根。設(shè)這種多項(xiàng)式為，=，再用方法八求出的分解式。例12 在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式.分析 這是與首末兩項(xiàng)等距離的系數(shù)相等而最高次數(shù)是奇數(shù)，所以是的根，從而原多項(xiàng)式可以化為.下面分解多項(xiàng)式.把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程.用換元法, 令，有，代入得 ，即 ，解之得 ，于是 或 ，解之得 ，。所以 = =.所以=.10 各項(xiàng)系數(shù)和等于0的多項(xiàng)式的因式分解（參見(jiàn)文獻(xiàn)）這種多項(xiàng)式的特點(diǎn)是1是它們的根。設(shè)這種多項(xiàng)式為，=，再對(duì)進(jìn)行因式分解。例13 在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解 多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)和為1+2+5+4-12=0，因此,必為=0的根，因此由綜合除法可得1 1 2 5 4 -121 3 8 12 1 3 8 12 0所以多項(xiàng)式可化為 .接著對(duì)進(jìn)行因式分解，我們先把它轉(zhuǎn)化為求=的有理根。由于是首項(xiàng)系數(shù)是1的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項(xiàng)12的因數(shù)。由于12的因數(shù)為，顯然，1，2，3，4，6，12不是的有理根，又經(jīng)檢驗(yàn)知， ， ， ， ，.故-2是的有理根。又由綜合除法，得-2 1 3 8 12 -2 -2 -12-21160-2 21 -18可見(jiàn)，-2是單根。所以 =.所以 =.例14 在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式.分析 這是與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)成相反數(shù)，必然有系數(shù)和等于0，所以1是的根，所以多項(xiàng)式可以化為 ，下面分解多項(xiàng)式 .把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程.用換元法 ,令，有 ，代入得，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ，.所以 = =.故 = =.11 一元三次多項(xiàng)式因式分解的方法1 (分組分解法) （參見(jiàn)文獻(xiàn)）此方法是通過(guò)加項(xiàng)、減項(xiàng)或者拆項(xiàng)把一元三次多項(xiàng)式分解成二組，然后分別進(jìn)行因式分解，再提取公因式，整理后再進(jìn)行分解。例15 將多項(xiàng)式=在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。解 原式= = =.12 一元三次多項(xiàng)式因式分解的方法2( 賦10還原法) （參見(jiàn)文獻(xiàn)）這種方法實(shí)質(zhì)是一種探索性猜想與演繹。我們猜想此多項(xiàng)式的分解式可能是三個(gè)一次因式的乘積，也可能是一個(gè)一次因式與一個(gè)二次因式的乘積，再通過(guò)特例來(lái)進(jìn)行演繹以驗(yàn)證猜想的合理性。這里令代入計(jì)算出結(jié)果，再將其分解成各個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積，經(jīng)試探之后，合理組合成三個(gè)因數(shù)或者二個(gè)因數(shù)的乘積，然后把它拆成10（或者10的倍數(shù)）與其余數(shù)的和或者差，再把10還原成，經(jīng)多次探索、驗(yàn)證之后可得到答案。例16 將多項(xiàng)式在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。解 設(shè)=，則=616=,注意到的系數(shù)為1，可將重新組合得=，猜想=，經(jīng)驗(yàn)證可知，此分解是正確的。例17 將多項(xiàng)式在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。解 設(shè)=，則=1899=,因?yàn)?11是質(zhì)數(shù)，不能再分解。經(jīng)探索可知，原多項(xiàng)式不可能分解成三個(gè)一次因式的乘積，可將適當(dāng)重新組合成 =，猜想=，經(jīng)驗(yàn)證可知，此分解是正確的。以上我們介紹了一元多項(xiàng)式因式分解的方法。其中方法一（求根法）：書寫簡(jiǎn)潔，思路清晰，不容易出錯(cuò)，但它必須建立在多項(xiàng)式有有理根的基礎(chǔ)上，且若多項(xiàng)式需要檢驗(yàn)的因子很多，而每個(gè)因子都要做一次相應(yīng)的除法，這就給計(jì)算增加了一些麻煩，所以當(dāng)可能的有理根比較少時(shí)采用綜合除法；方法二（待定系數(shù)法）：比較基礎(chǔ)，也比較直接，但會(huì)涉及求解方程組，計(jì)算量往往也不小，只有預(yù)先觀察多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，同時(shí)找出多項(xiàng)式的有理根，才能有效降低待定系數(shù)法的難度；方法三（重因式分離法）及方法四（矩陣的初等行變換法）是線性代數(shù)中的兩個(gè)基本方法，用途非常廣泛，但它們都是建立在多項(xiàng)式有重因式的基礎(chǔ)上，如果多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的話，這兩種方法都無(wú)法使用；方法五（行列式法）和方法六（單位根法）的觀念比較新穎，但技巧性較強(qiáng)，操作有一定的難度，即是說(shuō)，我們?cè)谶M(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，行列式法和單位根法可以作為備用方法，但不是首選方法。本文還列出了典型且特殊的多項(xiàng)式分解因式的方法，如方法七至方法十二。參考文獻(xiàn) 段學(xué)復(fù)，聶靈沼，等高等