初中數(shù)學(xué)九年級(上冊)《一元二次方程》熱門應(yīng)用題.doc

WORD格式整理一元二次方程的熱門應(yīng)用題一、面積問題例1張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運(yùn)輸箱，且此長方體運(yùn)輸箱底面的長比寬多2米現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？解：設(shè)這種運(yùn)輸箱底部寬為x米，則長為（x+2）米依題意，得x（x+2）1=15化簡，得x2+2x-15=0解之，得x1=3，x2=-5（不合題意，舍去）所以這種運(yùn)輸箱底部長為5米，寬為3米由長方體展開圖知，購買的矩形鐵皮面積為（5+2）（3+2）=35（米2）故購回這張矩形鐵皮要花3520700元錢點(diǎn)評：本題要深刻理解題意中的已知條件，弄清各數(shù)據(jù)的相互關(guān)系，布列方程，并正確決定一元二次方程根的取舍問題解決此類問題要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題二、數(shù)字問題兩個數(shù)的和等于6,積等于8,求這兩個數(shù).三、銷售利潤問題例2某種新產(chǎn)品進(jìn)價是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價（元）與產(chǎn)品的日銷量（件）始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系：（1）請你根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)表述出每件售價提高的數(shù)量（元）與日銷量減少的數(shù)量（件）之間的關(guān)系（2）在不改變上述關(guān)系的情況下，請你幫助商場經(jīng)理策劃每件商品定價為多少元時，每日盈利可達(dá)到1 600元？解：（1）由表格中數(shù)量關(guān)系可知：該產(chǎn)品每件售價上漲1元，其日銷量就減少1件（2）設(shè)每件產(chǎn)品漲價x元，則銷售價為（130+x）元，日銷量為（70-x）件由題意，得（130+x）-120（70-x）=1 600，解得x1=x2=30，130+30=160（元）答：每件商品定價為160元時，每日盈利達(dá)到1 600元點(diǎn)評：隨著市場經(jīng)濟(jì)的日益繁榮，市場競爭更是激烈因此，“銷售問題”還將是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，還會被搬上中考試卷這不僅較好地鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而且讓同學(xué)們真正體會到數(shù)學(xué)的寶貴價值值得說明的是，第（2）小題還可以用表格中其它兩組數(shù)據(jù)列出方程，結(jié)果相同，同學(xué)們不妨試一試四、旅游消費(fèi)問題例3（南通市）據(jù)2005年5月8日南通日報報道：今年“五一”黃金周期間，我市實(shí)現(xiàn)旅游收入再創(chuàng)歷史新高，旅游消費(fèi)呈現(xiàn)多樣化，各項(xiàng)消費(fèi)所占比例如下圖所示，其中住宿消費(fèi)為3 438.24萬元（1）求我市今年“五一”黃金周期間旅游消費(fèi)共多少億元？旅游消費(fèi)中各項(xiàng)消費(fèi)的中位數(shù)是多少萬元？（2）對于“五一”黃金周期間的旅游消費(fèi)，如果我市2007年要達(dá)到3.42億元的目標(biāo)，那么，2005年到2007年的平均增長率是多少？解：（1）由圖知，住宿消費(fèi)為3 438.24萬元，占旅游消費(fèi)的22.62，所以消費(fèi)共3 438.2422.6215 200（萬元）=1.52（億元）所以交通消費(fèi)為15 20017.562 669.12（萬元）所以我市今年“五一”黃金周期間旅游消費(fèi)中各項(xiàng)消費(fèi)的中位數(shù)是（3 438.242 669.12）23 053.68（萬元）（2）設(shè)2005年到2007年旅游消費(fèi)的年均增長率為x，則1.52（1+x）2=3.42得x1=0.5=50，x2=-2.5（舍去）所以2005年到2007年旅游消費(fèi)的平均增長率為50點(diǎn)評：本題考查通過統(tǒng)計圖獲取信息的能力及用方程的思想解決實(shí)際問題的能力第（2）小題求年平均增長率，因此屬增長率問題在解答這類題時應(yīng)該掌握其基本關(guān)系式：結(jié)果量（增長率）n基礎(chǔ)量；結(jié)果量（1-降低率）n基礎(chǔ)量（其中n為增長或降低次數(shù)）五、節(jié)約與環(huán)保問題例4（宜昌課改實(shí)驗(yàn)區(qū)）我國人均用紙為28公斤，每個初中畢業(yè)生離校時大約有10公斤廢紙；用1噸廢紙造出來的再生好紙，所能節(jié)約的造紙木材相當(dāng)于18棵大樹，而平均每畝森林只有50至80棵這樣的大樹（1）若我市2005年初中畢業(yè)生中環(huán)保意識較強(qiáng)的5萬人，能把自己離校時的全部廢紙送到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？（2）宜昌市從2001年初開始實(shí)施天然林保護(hù)工程，到2003年初成效顯著，森林面積大約由1 374.094萬畝增加到1 500.545萬畝假設(shè)該地區(qū)年用紙量的15%可以作為廢紙回收利用，并且森林面積年均增長率保持不變，請你按宜昌市總?cè)丝跒?15萬人計算：在從2005年初到2006年初這一年度內(nèi)，我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護(hù)的森林面積之和最多可能達(dá)到多少畝（精確到1畝）？解：（1）5萬名初中畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)為5104101 0001880=112.5（畝）（2）設(shè)2001年到2003年初我市森林面積年均增長率為x，則1 374.094（1+x）2=1 500.45故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045（舍去）所以2005年初到2006年初全年新增森林面積：1500.545104（1+4.5）24.5737 385（畝）又全市回收廢紙所能保護(hù)的森林面積最多為4151042851 00018506 275（畝）新增森林面積和保護(hù)森林面積之和為：737 385+6 275=743 660（畝）A北東B點(diǎn)評：此例不僅考查了同學(xué)們解答實(shí)際應(yīng)用問題的能力，還對同學(xué)們發(fā)揚(yáng)節(jié)約精神、增強(qiáng)環(huán)保意識起到潛移默化的作用六、航海問題某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行,一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南向北航行,它能偵察出周圍50海里(包括50海里)范圍內(nèi)的目標(biāo).如圖,當(dāng)該軍艦行至A處時,電子偵察船正位于A處的正南方向的B處,瓶AB=90海里.如果軍艦和偵察船仍按原來速度沿原方向繼續(xù)航行,那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦 ?如果能,最早何時能偵察到?如果不能,請說明理由.七、圖表信息應(yīng)用問題 單一圖象信息的應(yīng)用問題：例1美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設(shè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，某市城區(qū)近幾年來通過拆舊房，植草、栽樹，修建公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加，如圖1，（1）根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：2005年底的綠地面積為 公頃；比2004年底增加了 公頃；在2003年、2004年、2005年這三年中綠地面各增加最多的一年是 。（2）為了滿足城市發(fā)展的需要，計劃在2007年底使綠地面積達(dá)到72.6公頃，試求2006年、2007年兩年綠地面積的年平均增長率。解析：環(huán)境保護(hù)是當(dāng)今社會的一個熱點(diǎn)點(diǎn)問題。本題主要考查在閱讀、理解、讀圖的基礎(chǔ)上用一元二次方程解決實(shí)際問題的能力。認(rèn)真觀察圖象從中獲取有用的信息是解題的關(guān)鍵。解：（1）60，4，2004；（2）設(shè)平均增長率為，由題意得，即。（不合題意舍去）。答：略。多個圖象信息的應(yīng)用問題：例2某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，第年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積=），該開發(fā)區(qū)2003年至2005年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積統(tǒng)計結(jié)果如圖2（1），（2）請根據(jù)上面兩圖所提供的信息解答下面問題：（1）該區(qū)2004和2005兩年中哪一年比上年增加的住房面積多？多增加了多少？（2）由于經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，預(yù)計2007年底，該區(qū)居民將增加2萬人，住房面積要達(dá)到13平方米/人，試求2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達(dá)到百分之幾？解析：由于此題是兩個圖象的組合，所以應(yīng)把兩個圖形結(jié)合起來獲取獲取信息。解：（1）2005年比2004年增加住房面積2010-189.6=27.2；2004年比2005增加住房面積189.6-179=19.8；多增加了：27.2-19.8=7.4（萬平方米）。（2）設(shè)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達(dá)到x,由題意得：，即，解得：，（不合題意舍去）。所以2006和2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達(dá)到。一元二次方程應(yīng)用新題型一、條件探求型例1要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一面墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m（1）求雞場的長與寬各是多少？（2）題中，墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？分析：第（2）小題著眼于作為條件出現(xiàn)的常數(shù)a，探索這一條件對題目的解有何影響，需根據(jù)第（1）小題的結(jié)果進(jìn)行研究 解：（1）設(shè)平行于墻的一邊長為xm，則另一邊的長為，根據(jù)題意，得，解得x1=15，x2=20當(dāng)x=15時，；當(dāng)x=20時，答：略（2）由題意可知：當(dāng)a15時，此題無解；當(dāng)15a20時，此題只有一個解；當(dāng)a20時，此題有兩解二、方案設(shè)計型例2 某中學(xué)有一塊長為am，寬為bm的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2米的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形小場地建成草坪（1）如圖1，請分別寫出每條道路的面積（用含a或含b的代數(shù)式表示）；（2）已知ab=21，并且四塊草坪的面積之和為312m2，試求原來矩形場地的長與寬各為多少米？（3）在（2）的條件下，為進(jìn)一步美化校園，根據(jù)實(shí)際情況，學(xué)校決定對整個矩形場地作如下設(shè)計（要求同時符合下述兩個條件）：條件：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平行），并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2；條件：整個矩形場地（包括道路、草坪、花圃）為軸對稱圖形請你畫出符合上述設(shè)計方案的一種草圖（不必說明畫法與根據(jù)），并求出每個菱形花圃的面積解：（1）這兩條道路的面積分別為2am2與2bm2（2）設(shè)b=xm，則a=2xm，依題意，得x2x-（2x+4x-4）312整理，得x2-3x-154=0，解得x1=14，x2=-11（舍去）所以b=14，a=2x=28即矩形的長為28m，寬為14m（3）符合設(shè)計方案的一種草圖如圖2所示，其中四個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃的面積分別相等設(shè)AEx，則FB=14-2-x=12-x（m），（m）依題意，得解得x=7（m）所以大菱形花圃的面積為（m2），小菱形花圃的面積為（m2）（注：其他符合設(shè)計方案的三種花圃見圖3，圖4，圖5，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2）三、創(chuàng)意自編型例3 編一道關(guān)于增長率的一元二次方程應(yīng)用題，并解答編題要求：（1）題目完整，題意清楚；（2）題意與方程的解都要符合實(shí)際；分析：題目只給出大致的編題要求，可視為一種情境，除此以外的內(nèi)容，諸如條件、解法、結(jié)果等均未確定，需要自行設(shè)置，屬于綜合開放題的范疇 因?yàn)槭蔷庮}，我們可以先根據(jù)要求列出方程，為了使應(yīng)用題好編并且便于計算，盡量使題目中的已知數(shù)據(jù)和結(jié)果都是整數(shù)，比如預(yù)定方程為：100（1+x）2=144據(jù)此編一道應(yīng)用題為：某鋼廠7月份產(chǎn)值為100萬元，計劃9月份產(chǎn)值可達(dá)144萬元 那么，這兩個月的產(chǎn)值平均每月的增長率是多少？一元二次方程解法的綜合應(yīng)用一、與不等式知識的綜合應(yīng)用例1證明關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0不論m為何值時，都是一元二次方程分析：方程含二次項(xiàng)系數(shù)，要證明“不論m為何值時，方程都是一元二次方程”，只需證明二次項(xiàng)系數(shù)m2-8m+17的值不等于0證明：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)m2-8m+17m2-8m+16+1=（m-4）2+1，又因?yàn)椋╩-4）20，所以（m-4）210，即m2-8m+170所以不論m為何值時，原方程都是一元二次方程二、與題目中隱含條件的綜合應(yīng)用例2若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+3m2x+（m+3）（m-1）=0有一個根是0，則m的值為（）-3或13或-1-31分析：由題意知，0是方程的根，故由根的定義知：x=0滿足方程，所以把x=0代入原方程，得（m+3）（m-1）=0，故m=-3或m=1，但題設(shè)明確指出是關(guān)于x的一元二次方程，因此隱含了條件m-10，即m1，故正確答案為C三、與三角形三邊關(guān)系定理的綜合應(yīng)用例3請根據(jù)下面的解題過程回答問題一個三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，第三邊長是整數(shù)acm，且a滿足a2-10a+21=0，求三角形的周長解：由已知可得4a10，即a為5，6，7，8，9，（第一步）當(dāng)a=5時，代入a2-10a+21=52-105+210，故a=5不是方程的根，同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根，a=7是方程的根（第二步），所以ABC的周長為3+7+7=17（cm）上述過程中，第一步是根據(jù)_，第二步應(yīng)用了_的數(shù)學(xué)思想，確定a的大小是根據(jù)_答案：依次為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；分類討論；方程根的定義說明：上述解題過程中使用分類討論的方法比較繁瑣